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出版者:高等教育出版社

作者:Б. А. 杜布洛文

出品人:

页数:303

译者:胥鸣伟

出版时间:2007-4

价格:45.80元

装帧:平装

isbn号码:9787040214345

丛书系列:俄罗斯数学教材选译系列

图书标签:

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现代几何学：方法与应用（第三卷） 本书聚焦于现代几何学在多个前沿领域的核心应用与方法论的深度探讨，尤其侧重于拓扑学、微分几何以及代数几何在解决具体数学问题和揭示物理世界结构中的关键作用。 第一部分：高级拓扑学与流形理论 本卷的开篇部分深入剖析了代数拓扑学中的若干关键概念及其在复杂空间分析中的应用。我们首先回顾了同调论和上同调论的现代发展，不仅仅局限于经典的奇异同调，而是着重讨论了德拉姆上同调在微分几何中的桥梁作用，以及通过庞加莱对偶性将拓扑不变量转化为代数形式的强大工具。 随后，章节详细阐述了纤维丛理论及其在微分几何中的基础地位。通过对向量丛、主丛和联络的精确定义和性质分析，读者将理解纤维丛如何为曲面上向量场的分布、联络的演化以及黎曼曲率的计算提供框架。特别地，本书花费大量篇幅讲解了陈类（Chern Classes）的构造及其拓扑和几何意义。我们探讨了如何利用陈-西蒙斯形式（Chern-Simons Forms）来定义流形上的拓扑量子场论的初始结构，并展示了这些不变量如何区分看似相似的拓扑空间。 此外，本书对微分流形的结构进行了更为精细的刻画。讨论范围扩展到辛几何（Symplectic Geometry）的基础。辛结构作为一种特殊的非退化、闭合的二形式，在经典力学（哈密顿力学）的重构中展现出深刻的几何本质。我们引入了泊松括号的几何起源，并初步探讨了托普夫流形（Torelli Manifolds）和卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）的构造，特别是它们在弦理论背景下的重要性，但侧重于其纯数学的拓扑和代数性质的连接。 第二部分：微分几何的深度拓展：黎曼几何与曲率 第三卷的核心部分致力于黎曼几何的深度发展，超越了对曲率符号的初步认识，进入到对测地线流的动力学分析和更复杂的曲率张量研究。 在测地线部分，我们不仅讨论了测地线方程的求解，还引入了指数映射（Exponential Map）和切丛（Tangent Bundle）上的动力学系统。利用庞加莱截面理论，我们分析了黎曼曲面上测地线在不同拓扑结构下的行为模式，包括对庞加莱-霍普夫定理（Poincaré-Hopf Theorem）的现代解释。 关于曲率，本书详述了里奇曲率（Ricci Curvature）的意义，并将其与流形体积的局部变化联系起来。通过魏因斯坦因公式（Weinstein's Formula），我们探讨了曹-陈的里奇流（Ricci Flow）的初步思想，即如何利用曲率的演化来“熨平”流形的奇异点，使之趋向于一个更均匀的几何形态。重点分析了里奇平坦（Ricci-Flat）度量的构造，如闵科夫斯基空间之外的卡拉比度量的局部存在性证明。 本章的亮点是对规范场论（Gauge Theory）中几何语言的运用。我们使用杨-米尔斯理论的框架，将电磁场和更复杂的规范场描述为纤维丛上的联络。讨论了霍普夫定理在规范理论中的体现，以及阿蒂亚-辛格指标定理（Atiyah-Singer Index Theorem）的几何直观——它如何通过拓扑不变量（如陈类）来计算微分方程解的空间的维度。 第三部分：代数几何与几何的代数化 现代几何学的另一支柱是代数几何，本书在第三卷中展示了代数方法如何精确地处理几何对象。我们从概形理论（Scheme Theory）的现代视角出发，深化对代数簇的理解。 首先，对射影空间（Projective Space）的描述从古典的齐次坐标扩展到更抽象的语言，包括阿贝尔概形（Abelian Schemes）的基本性质。本书重点阐述了谱序列（Spectral Sequences）在连接不同层次上同调群之间的复杂关系中的应用，这是现代代数拓扑与代数几何相互渗透的关键技术。 随后，章节转向研究模空间（Moduli Spaces）。我们探讨了如何通过对特定几何对象的分类（如椭圆曲线或向量丛）来构造一个“空间”，这个空间上的点代表了这些几何对象的等价类。这部分内容强调了格罗布纳基（Gröbner Bases）在判断两个代数方程组的解集是否几何等价中的实用性，以及如何用它来计算特定模空间的维度。 最后，本书将视角投向霍奇理论（Hodge Theory），它成功地将复流形上的拓扑不变量（霍奇群）与代数几何中的对象（代数闭子集的上同调）联系起来。通过霍奇分解，我们揭示了紧致Kähler流形的几何结构如何被其复结构所约束，这是连接代数几何、微分几何和拓扑学的深层理论基础。本书详细分析了韦伊猜想（Weil Conjectures）在有限域上代数簇的Zeta函数方面的几何解释，展示了代数几何如何深入到数论的核心。 总结： 《现代几何学：方法与应用（第三卷）》旨在为读者提供一个全面而深入的视角，理解拓扑学、微分几何和代数几何如何交织在一起，共同构筑起现代数学的宏伟殿堂。本书强调了严谨的理论推导与其实际在数学物理、拓扑量子场论以及代数数论中的应用连接，是进阶研究者的必备参考。

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这本**《现代几何学：方法与应用（第三卷）》**的阅读体验，怎么说呢，就像是攀登一座宏伟的山脉。你带着前两卷积累的知识和对更高层次理解的渴望，开始攀登这第三座高峰。初看目录，那些陌生的拓扑空间、微分流形的概念，以及它们在代数几何和物理学中的具体应用，立刻让人感到一种迎面而来的挑战感。作者的叙述风格极其严谨，每一步推导都像是在铺设一座坚实的逻辑桥梁，不容许有丝毫的松懈。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采用的“历史回溯”法，他总是先展示一个古典几何问题是如何在现代框架下得到更深刻、更简洁的解决，这使得枯燥的理论学习过程充满了“原来如此”的顿悟感。然而，这种深度也意味着对读者基础知识的极高要求，如果对基础的线性代数和拓扑学概念不够熟练，光是跟上作者的思路就可能需要频繁地查阅前述章节甚至外部资料。尽管如此，当你最终掌握了某个复杂定理的精妙结构时，那种清晰、无懈可击的美感是无与伦比的。它不是一本用来快速浏览的休闲读物，而是需要你投入时间、细细品味的智力盛宴，每一个符号、每一个定义都承载着数学家们数十年探索的结晶。这本书的价值在于它为你打开了通往理论前沿的一扇门，尽管门后的风景需要你用汗水去丈量。

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坦白讲，我是在一个研究项目中需要用到黎曼几何的特定工具时才翻开这本书的第三卷的。我的期望是能找到一些关于曲率张量和测地线方程的直接应用案例，毕竟书名里带着“应用”二字。实际阅读下来，我的感受是复杂的。理论的构建部分依然是教科书级别的严密，结构清晰得令人赞叹，尤其是在介绍纤维丛理论那几章，作者将抽象的向量场的概念与切空间联系得丝丝入扣。但是，关于“应用”的部分，我个人感觉略显不足，或者说，它的“应用”标准非常高。它展示的更多是数学结构之间深层次的、理论层面的联系，比如它如何优雅地解决了某些拓扑分类问题，而不是直接告诉我们如何在工程模拟或数据分析中快速套用公式。对于像我这样急需具体操作指南的“应用型”读者来说，这本书更像是一部关于“如何思考几何问题”的哲学指南，而非一本“如何计算”的工具手册。它要求你先将问题抽象到几何的纯粹形态，才能看到其应用的光芒。因此，如果读者期待的是快速上手、即插即用的内容，可能会感到一些挫败感。这本书更像是通往更深层理论的必经之路，而不是终点站。

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这本书的装帧和排版绝对是艺术品级别的，这在厚重的数学专著中是难得一见的享受。纸张的质感很好，即便是长时间阅读也不会让人感到眼睛疲劳。更重要的是，书中图表的绘制极其精妙，特别是在讨论高维流形上的概念时，作者没有选择过于复杂的、令人眼花缭乱的三维示意图，而是巧妙地运用了降维投影和辅助截面的方式来辅助理解，这种对读者视觉体验的尊重是值得称赞的。我特别喜欢它在定理证明后面的附注部分，那里通常会穿插一些关于该理论发展历史的小故事，或者对比不同学派对同一概念的不同表述。这些“花絮”极大地缓解了主干内容的艰深感，让阅读过程变得人性化了许多。它让人感觉作者不只是一个冷峻的数学家，更像是一位耐心的导师，在严肃的教学之余，还愿意分享一些幕后的趣闻。对我个人而言，这种兼顾了理论的尖锐和阅读体验的舒适的编排方式，是这本书超越一般教材，成为可以珍藏的参考书的关键因素。

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这第三卷的难度曲线，简直像是法国大革命的某些阶段——高潮迭起，中间有漫长而平静的铺垫期，然后突然来一个关于奇异点的爆发性章节，让人措手不及。我发现，这本书的叙事节奏感非常强。作者在处理基础概念（如度量空间的扩展）时，会采取极度详尽、一步一步的分解方式，耐心到有点像是在对初学者解释；但一旦进入到微分拓扑与流形上的张量分析部分，笔锋陡然一转，进入了高度浓缩和符号化的表达模式。这导致我每次阅读都会经历一个“适应期”的切换。有时候，我不得不停下来，花上大半天时间去消化一个包含十几个希腊字母和上下标的公式，然后才能继续跟上作者关于“存在性证明”的简洁论述。这种强烈的对比，虽然保证了理论的完备性，但也对读者的专注力提出了极高的要求。它似乎默认读者已经将前两卷的内容内化为本能反应，否则很容易在理论跳跃时迷失方向。对我而言，每一次成功的跨越都像是一次对心智极限的挑战与拓展。

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我一直认为，衡量一本顶尖数学著作的标准，不仅在于它教授了多少知识，更在于它塑造了读者多少解决问题的思维模式。从这个角度看，**《现代几何学：方法与应用（第三卷）》**无疑是成功的。它不仅仅是在陈述“是什么”和“如何证明”，更是在潜移默化中灌输一种纯粹的、抽象的数学美学。比如，当探讨到可微流形上的光滑函数空间的完备性问题时，作者引入的那些巧妙的正则化技巧，并非仅仅是为了证明某个定理的成立，其背后更蕴含着一种将不连续的、粗糙的对象“平滑化”的强大哲学思想。这种思想的渗透性，远超书本的物理边界。我发现，自己在处理其他领域的复杂系统建模时，也开始不自觉地运用书中那种“先找到内在结构，再定义合适的操作”的几何化视角。这本书的强大之处在于，它培养的不是一个公式的执行者，而是一个几何思想的构建者。它要求你用一种全新的、更具结构感的透镜去看待现实世界的问题，是一种对思维结构的深度重塑。

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读了莫尔斯理论那一块，讲的太直观太简洁了，结合了米尔诺的书一起看的，有空把其他部分也补一补

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现代几何的证明方法可以从最为直观的几何性质来证明，也可以通过分析证明；一个逆否的定理证明的方法是完全不同的。德拉姆定理的层论证明

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