俄罗斯平面几何问题集 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:大连理工大学出版社

作者:波拉索洛夫

出品人:

页数:772

译者:周春荔

出版时间:2009-8

价格:88.00元

装帧:

isbn号码:9787560329222

丛书系列:

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现代代数与群论基础：结构、变换与对称性 本书特色： 本书旨在为读者提供一个深入且严谨的现代代数核心概念——群论的全面介绍。我们着重于构建清晰的理论框架，并辅以大量精心挑选的例证和习题，帮助读者从直观理解过渡到形式化证明的能力培养。全书内容组织遵循逻辑递进的原则，从最基础的代数结构出发，逐步引入群、子群、陪集、正规子群、商群，直至同态与同构，并对环与域的基础概念进行简要探讨，为后续更高级的代数研究奠定坚实基础。 第一部分：代数结构与基本概念的奠基 本书伊始，我们将探讨构成所有代数结构的基础——集合与运算。在第一章：集合论基础与二元运算中，我们首先回顾必要的集合论知识，特别是笛卡尔积、函数与关系。随后，重点分析二元运算的性质，如封闭性、结合律、交换律以及单位元和逆元的存在性。通过考察整数集 $mathbb{Z}$、有理数集 $mathbb{Q}$、实数集 $mathbb{R}$ 在加法和乘法下的表现，读者将初步建立对“代数结构”这一抽象概念的直观认识。 第二章：群的定义与初步性质 标志着本书核心内容的开启。我们正式引入群的四个公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），并立即探讨这些公理所蕴含的必然结论，例如单位元和逆元的唯一性、左右消去律的成立等。本章详细分析了多个重要的群实例，包括： 1. 整数加法群 $(mathbb{Z}, +)$： 最基础的无限阿贝尔群。 2. 非零有理数集在乘法下的群 $(mathbb{Q}^, imes)$： 对比加法群，理解乘法运算的特性。 3. 矩阵群： 特别关注可逆矩阵群 $GL(n, F)$，引入矩阵乘法的非交换性，从而引出非阿贝尔群的概念。 4. 模运算群： 有限群的初探，如 $mathbb{Z}_n$ 及其加法群结构。 第二部分：子群、陪集与群的阶 在理解了群的基本定义后，我们转向研究群的内部结构。第三章：子群 专注于集合如何继承其父群的群结构。我们详细阐述了子群判别法的应用，并探讨了子群在特定运算下的封闭性。同时，本书特别引入了平凡子群与非平凡子群的概念，并用实例说明子群的嵌套关系。 第四章：循环群与生成元 将视角集中于由单个元素生成的群。我们深入分析了循环群的结构：任何循环群都是阿贝尔群，并且其结构完全由生成元的阶决定。本章的核心在于理解“阶”的概念，包括元素 $a$ 的阶 $|a|$ 的定义，以及 $a^k = e$ 的充要条件。通过考察矩阵的幂运算，读者可以清晰地看到有限阶元素与无限阶元素在循环群中的表现差异。 第五章：陪集与拉格朗日定理 是群论中最具影响力的定理之一。在讲解陪集（左陪集与右陪集）时，我们强调了陪集划分群的非交性与完全性。随后，我们严谨地证明了拉格朗日定理：有限群的任一群的阶必须整除该群的阶。本书通过大量的具体例子，展示了拉格朗日定理在判断群结构和元素阶数方面的强大约束力。我们还会引入柯西定理的初步结论。 第三部分：群的同态、同构与正规结构 第六章：正规子群与商群 引入了区分群结构的关键概念——正规子群。我们探讨了正规子群的等价定义（如 $gHg^{-1} = H$），并说明了只有正规子群才能用于构造商集上的良定义运算。商群（或因子群）的构造是群论中的一次抽象飞跃，本书详细展示了如何利用正规子群 $N$ 构造 $G/N$，并分析了商群的代数结构。例如，如果 $G$ 是阿贝尔群，那么任何子群都是正规子群，且 $G/N$ 依然是阿贝尔群。 第七章：群同态与群同构 将抽象代数建立在结构保持的联系上。同态的定义强调了运算的保持性。我们深入讨论了同态的性质，例如核（Kernel）和像（Image）的性质，其中核是群 $G$ 的一个正规子群。同构则被定义为可逆的同态，它意味着两个群在代数结构上是完全等价的。本章通过大量的实例（如矩阵的行列式函数作为群同态），帮助读者区分“结构相似”与“结构等价”。 第八章：同构定理 是群论的巅峰成果之一。我们将重点阐述第一同构定理（或称基本同构定理），即 $G/ ext{ker}(phi) cong ext{Im}(phi)$，它为理解商群与同态像之间的内在联系提供了强大的工具。本书将该定理置于核心地位，并辅以对其他同构定理（第二、三同构定理）的简要介绍，以展示其在简化复杂群结构分析中的应用。 第四部分：初步拓展 第九章：环与域的基础 简要地将读者的视野从群扩展到更丰富的代数结构——环。我们介绍了环的定义（具有两个运算的代数结构），并着重分析了满足交换律、单位元和零因子的环的特性。域作为特殊类型的环（所有非零元素在乘法下构成群），被引入作为解方程的基础环境。通过对比整数环 $mathbb{Z}$、有理数域 $mathbb{Q}$ 和有限域 $mathbb{Z}_p$，读者能够预见到代数结构在解析不同数学对象时的普适性。 全书结构总结： 本书结构设计确保读者在不被复杂的拓扑学或高级分析概念分心的情况下，完全掌握群论的核心骨架。每一章都包含大量的计算题和证明题，旨在培养读者严谨的数学思维和形式化表达能力。学习完本书，读者将能够熟练运用群论的工具分析对称性问题，并为进阶学习环论、域论及表示论做好充分准备。

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这本书的封面设计倒是挺简洁，那种冷峻的、带着点前苏联时期风格的字体，一下子就抓住了我的眼球。我其实对数学，特别是几何学，一直抱有一种既敬畏又好奇的复杂情感。拿到这本书的时候，我其实是有点忐忑的，生怕里面的内容过于晦涩，最终只能束之高阁。然而，翻开目录，我发现它似乎并没有把我直接推向那些高深的定理证明，而是用一种非常务实的态度，把一些经典的、甚至是有些“老掉牙”的平面几何问题摊在了我的面前。这让我感到一种亲切感，就像是遇到了一位经验丰富的老教师，他没有急着展示他高深的学问，而是先从最基础、最核心的那些概念入手，让你把地基打牢。我尤其欣赏它在引入新概念时所采用的图示方式，那些线条的交错、角度的标记，都清晰得让人过目不忘。它似乎在低语：几何的本质，在于视觉的把握和逻辑的推演，而非单纯的符号堆砌。我期待着接下来的解题过程，希望它能带我重温那些被遗忘在记忆角落的几何美感。

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说实话，我购买这本书的初衷，更多的是想寻找一种“心流”体验。现代生活节奏太快，我们的大脑总是被各种碎片化的信息轰炸，很难沉静下来进行一次深入的、线性的思考。这本书的出现，就像是一股清流，强迫你去放慢脚步。它里面的每一道题，都不是那种一眼就能看出解法的“送分题”，它们更像是精妙的迷宫，需要你耐心地、一步步地去探索路径。我尝试着做完了前几章的习题，过程可谓是跌宕起伏。有那么几次，我被困在一个死胡同里，烦躁得差点想扔下笔，但每当灵光一闪，找到那个关键的辅助线或旋转变换的时候，那种豁然开朗的愉悦感，是任何电子游戏都无法比拟的。它训练的不仅仅是你的数学能力，更是你的耐心和对“细节”的敏感度。这本书的价值，不在于你最终能解出多少道题，而在于你在这个解题的过程中，你的思维是如何被重塑和强化的。我感觉我的专注力，在不知不觉中得到了极大的提升。

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我是一个业余的几何爱好者，平时主要通过网络论坛和一些零散的电子资料来学习。坦白地说，网上的资源大多是零散且缺乏体系的，很多时候你只能看到解法，却不知道这个解法背后的思想根源是什么。这本书最让我称道的一点，就是它的“系统性”。它似乎按照某种内在的逻辑链条，将不同类型的平面几何问题进行了精心的编排。从基础的三角形、圆的性质，逐步过渡到更复杂的共轭、反演等高级技巧。这种由浅入深的组织方式，极大地降低了学习的门槛，同时也保证了学习的深度。我发现，当我遇到一个看似全新的问题时，这本书中已经介绍过的某个基本引理或技巧，总能以一种意想不到的方式派上用场。这说明编者在内容的选取和编排上，是经过深思熟虑的，他们不是简单地堆砌题目，而是在构建一个完整的知识网络。对于想要系统性梳理自己几何知识体系的人来说，这本书简直是不可多得的宝藏。

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这本书的排版和装帧质量，说实话，比我预期的要好上不少。虽然内容是纯粹的数学推导，但阅读体验同样重要。纸张的质感非常舒服，拿在手里有一定的分量感，不是那种轻飘飘的劣质印刷品。更关键的是，那些数学符号和图形的印刷清晰度极高，这一点对于几何学习者至关重要。你知道，在处理那些涉及细微角度或复杂交点的问题时，如果图画模糊不清，那就太令人抓狂了。这本书在这方面做得非常到位，无论是垂直线、平行线，还是那些弧线和切线，都描绘得精准无比。这种对细节的尊重，也间接体现了作者对数学严谨性的追求。我甚至愿意花时间，对照书中的图示，在草稿纸上重新绘制一遍关键的步骤，因为那种实体书的触感和清晰的视觉反馈，是电子阅读器无法替代的沉浸式体验。它让你感觉自己是在和“真理”进行对话，而不是在屏幕上滑动信息流。

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我一直认为，好的数学教材，应该具有一种“时间跨度”的价值，即它所教授的知识和思维方式，能够穿越时代而不衰减。这本书里的许多问题，虽然可能起源于上个世纪，甚至更早，但它们所蕴含的几何直觉和逻辑推理能力，在今天的任何高阶数学分支中都依然是基石。我最近在研究一些拓扑学的基础概念时，突然发现，那些看似抽象的映射和形变，其核心的“空间想象力”，正是通过练习这类扎实的平面几何问题得以培养起来的。这本书就像是一套武术的“扎马步”训练，虽然看起来基础且枯燥，却是未来高难度动作得以施展的前提。它强迫你用最纯粹的几何语言去理解世界，去观察事物之间的内在联系。读完它，我感觉我的“几何直觉”被大大激活了，看任何二维图形时，脑海中都会自动浮现出各种潜在的辅助线和变换的可能性。这种底层能力的提升，才是这本书带给我最宝贵的财富。

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