微分几何入门与广义相对论（上册·第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:梁灿彬

出品人:

页数:442

译者:

出版时间:2006

价格:59.00元

装帧:平装

isbn号码:9787030164605

丛书系列:现代物理基础丛书

图书标签:

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《拓扑学基础与流形几何入门》 第一部分：拓扑学的基石 本书旨在为读者构建严谨的拓扑学基础，这是理解现代几何学和微分几何的必要前提。我们从最直观的点集拓扑概念入手，逐步深入到更抽象的结构。 第一章：度量空间与拓扑空间 首先，我们将探讨度量空间的概念。通过引入距离函数，我们能够清晰地定义开球、闭球以及收敛性。这为后续的拓扑概念提供了具体的实例和直观的理解。我们将详细分析欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中度量的性质，并讨论完备性、紧致性和连通性的度量空间版本。 在此基础上，我们引入抽象的拓扑空间。一个拓扑空间由一个集合 $X$ 和一组定义在 $X$ 上的子集族 $ au$（称为拓扑）构成。我们将重点讨论开集、闭集的定义，以及由任意基（Base）或局部基（Local Base）生成拓扑的方法。重点分析了哈尔测度（Hausdorff space）的性质，这是后续微分几何中讨论流形结构的关键假设。 第二章：连续性、同胚与连通性 连续函数的拓扑定义是本章的核心。我们将证明拓扑空间之间的连续映射等价于原像下开集保持开集。在此基础上，我们引入同胚（Homeomorphism）的概念，它代表着拓扑性质上的等价。通过大量的例子，如开区间与半开区间之间的非同胚性，来加深读者对同胚概念的理解。 连通性是拓扑空间的一个基本性质。我们将区分路径连通性与一般连通性，并证明在豪斯多夫空间中，紧致子集的闭包仍是紧致的。此外，我们将探讨分离公理，特别是 $T_1$ 和 $T_2$（豪斯多夫）空间的性质，并展示它们在构造局部结构时的重要性。 第二章：紧致性与积空间 紧致性是拓扑学中一个极其重要的概念，它保证了在有限步骤内可以覆盖一个集合。我们将从开覆盖的角度严格定义紧致性，并探讨其在度量空间中的等价刻画——林德勒夫性质与可数紧致性。我们将详细证明 Heine-Borel 定理在有限维欧几里得空间中的应用。 积拓扑的构造是研究高维空间的基础。我们讨论了有限个拓扑空间的乘积的拓扑结构，并分析了 Tychonoff 定理，该定理表明任意拓扑空间的任意乘积在紧致性上的推广。 第二部分：流形几何的引入口 在具备了坚实的拓扑学背景后，本书开始转向微分几何的核心对象——流形。流形是局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间，它们是描述几何对象和物理学理论的数学框架。 第三章：流形的构造与实例 我们将严格定义 $n$ 维流形（Manifold）的概念，它要求空间中的每一点都拥有一个邻域，该邻域与 $mathbb{R}^n$ 上的开集同胚。我们将重点讨论光滑结构（Differentiable Structure）的概念，这涉及到坐标变换的平滑性要求，即要求坐标变换是无穷可微的。 本书提供了丰富的流形实例。从最基础的圆周 $S^1$、球面 $S^n$ 到更复杂的环面 $T^2$ 和实射影空间 $mathbb{RP}^n$。我们将分析拓扑学性质如何影响这些空间的几何结构。特别是，我们将讨论 $S^n$ 的拓扑性质，并初步引入其上的微分结构。 第四章：切空间与向量场 流形上的几何研究需要“局部切线空间”的概念。我们引入切空间 $T_pM$ 的精确定义，它描述了流形 $M$ 在点 $p$ 处所有可能方向的集合。我们将通过邻域上的函数和它们在 $p$ 点的导数来构造切空间，并证明其是向量空间。 向量场是流形上的一个重要构造，它为流形上的“运动”提供了数学模型。我们将研究向量场如何作用于函数，并讨论向量场的局部坐标表示。通过切空间的线性结构，我们可以理解向量场之间的线性组合和李括号（Lie Bracket）的初步概念，这为后续的李群理论奠定基础。 第五章：张量场与微分形式 本章将向量场推广到更普遍的张量场。我们从协变向量（1-形式）开始，定义了张量积的构造，并讨论了 $(k, l)$ 型张量的定义。张量场是研究流形上曲率和度量结构的基础工具。 随后，我们引入微分 $k$-形式。微分形式是描述流形上积分和微分方程的关键工具。我们将定义楔积（Wedge Product），并展示 $k$-形式如何在坐标系变换下保持其几何意义不变。我们将详细分析外部微分（Exterior Derivative） $mathrm{d}$ 的性质，特别是 $mathrm{d}^2 = 0$ 这一核心特性，这直接预示了德拉姆上同调的诞生。 结论与展望 本书在扎实的拓扑学基础上，为读者提供了理解和操作光滑流形的必备工具。所介绍的切空间、向量场和微分形式是进行更高级几何研究，如黎曼几何和拓扑场论的起点。通过本书的学习，读者将为深入探索更高阶的几何结构做好准备。

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估计一般读梁老师书的同学都是梁老师的学生，所以嘛，动笔评论先辈只有我这种不太招老师喜欢的×××才干的出来（还写的津津有味）。呵呵，这书的第一版上下册我都仔细读过（实际上是我们的课本，习题都做过）。做理论不懂现代几何是不行的，就像不懂微积分就连普物也不可...  

评分☆☆☆☆☆

最近我在网上看了梁灿彬教授的微分几何与广义相对论视频讲座，感觉不错就顺便买了本教材。前几天正好把微分几何入门部分学完，尽管他主要是对物理系的学生讲的，像单位分解之类的大定理都没有证明，但很多地方还是颇有心得，下面我就简单小结一下。 书中比较注重微分...  

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好书是好书，就是微分几何入门部分太过简略，例子太少，一大堆概念往那里一放，我这样笨的人就觉得发晕。总是看了后面再去翻前面，老是记不住相关概念。只好用费曼学拓扑学的方法去摩想数学上的实例，可惜毕竟赶不上大师，有些结论是在摩想不出，结果就象鬼打墙那样在前几章转...  

评分☆☆☆☆☆

梁老师的讲微分几何的讲得不错，但是不做题的话，感觉到了后面就会发愣了。 听了到了tensor那里的时候就开始有了无力感。 刚刚在台湾大学公开课网站上发现有微分几何的视频教程。。 我想。。每个老师讲课的方法和风格都会有所不同，多听听其他老师的课，或许更容易打通！！ ...  

评分☆☆☆☆☆

梁老师的讲微分几何的讲得不错，但是不做题的话，感觉到了后面就会发愣了。 听了到了tensor那里的时候就开始有了无力感。 刚刚在台湾大学公开课网站上发现有微分几何的视频教程。。 我想。。每个老师讲课的方法和风格都会有所不同，多听听其他老师的课，或许更容易打通！！ ...  

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这本厚厚的书摆在桌上，光是掂量一下重量，就能感受到作者倾注的心血。我一开始是冲着“微分几何入门”来的，毕竟想搞懂现代物理，那些弯曲时空的概念是绕不过去的坎。书里对基础的铺陈，可以说是极其细致入微。它没有一上来就抛出那些艰涩的张量分析，而是从最直观的欧氏空间中的曲线和曲面讲起，用大量的图示和几何直觉来引导读者。我特别欣赏作者对于坐标系变换的讨论，那种步步为营的推导，让原本抽象的雅可比矩阵变得触手可及。读完前几章，我感觉自己对“切空间”和“联络”有了比以前清晰得多的图像感，而不是仅仅停留在符号运算的层面。尤其是关于黎曼度量的引入，作者用了非常巧妙的方式，将度量张量与内积的概念紧密结合，为后续理解曲率奠定了坚实的基础。对于自学的人来说，这种由浅入深的讲解方式，无疑是极大的福音，它有效降低了初学者面对高等微分几何时的心理门槛，让人有信心一直翻下去。

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如果说有什么地方需要改进，或许是在某些特定领域的应用案例上可以更加丰富。虽然理论推导无可挑剔，但在某些前沿课题的实例展示上略显保守，比如对于现代宇宙学中暗物质或暗能量模型如何通过修改引力场方程来尝试解释的最新进展，似乎没有给予足够的篇幅。当然，考虑到这是一本旨在打下坚实基础的教材，过度追求时新性可能会牺牲深度，所以这只是一个略带个人倾向的看法。总而言之，对于任何希望真正掌握广义相对论背后的几何语言，并且不满足于只停留在形式主义操作的进阶学习者来说，这本教材提供了无与伦比的深度和清晰度。它不是一本快速翻阅的读物，而是一部需要你投入时间、反复咀嚼的经典之作，其价值绝对对得起它所占据的案头空间。

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关于广义相对论的部分，这本书的处理方式相当稳健和经典。它没有急于展示爱因斯坦场方程的最终形态，而是花了大量的篇幅来搭建物理框架。我个人认为，作者对“等效原理”和“测地线运动”的阐述是全书的亮点之一。他非常细致地解释了为什么在弯曲时空中，自由落体的物体会沿着测地线运动，这其中涉及到变分原理的运用，作者的推导过程清晰得令人赞叹。那些看似复杂的核心概念，如里奇张量和能量动量张量，都被放在一个逻辑严密的体系中进行介绍。我特别喜欢他强调物理直觉与数学形式之间的相互印证，而不是让读者死记硬背那些公式。书中对于光锥结构和因果关系的几何描述，也极具启发性，帮助我理解了黑洞视界这类极端情况下的时空特性。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和细节处理，也体现了专业水准。字体选择大气沉稳，公式的间距和对齐都非常舒服，长时间阅读下来眼睛不容易疲劳。更重要的是，作者在书中穿插了大量的“历史注记”和“背景补充”部分。这些补充内容并非无关紧要的赘述，而是巧妙地解释了某些数学概念是如何在物理学的推动下发展起来的，或者某一特定理论的局限性。比如，关于惯性系和加速系的区分，书中引用了早期理论物理学家的争论，这使得学习过程不再枯燥。这些“花边”信息，极大地增强了阅读的趣味性和深度，让我感觉自己不只是在学习一个学科，而是在追溯一段波澜壮阔的科学史。可以说，这本书在保持严谨性的同时，也成功地营造了一种引人入胜的学术氛围。

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真正让我眼前一亮的是书中对拓扑概念的穿插运用。很多入门书籍为了图省事，往往把拓扑和微分几何硬生生地割裂开来，导致读者对流形的概念理解得过于“光滑化”，缺乏对整体结构的认识。但这本书显然避免了这种弊端。它在介绍流形结构时，引入了开集、映射的连续性等拓扑基础，使得读者能够明白，为什么我们需要引入“图册”的概念来“平铺”弯曲的空间。我记得有段关于紧致性和连通性的讨论，作者结合了球面和环面这两个经典例子，生动地展示了拓扑性质如何影响物理模型的选择。这种将全局观念融入局部微分结构的叙事策略，极大地拓宽了我的视野。它不再是单纯的数学工具书，更像是一本引导你思考空间本质的哲学读本。每当我感到那些微积分的细节让人头晕脑胀时，回顾一下拓扑的视角，总能迅速找回方向感和对整体空间的敬畏之心。

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配上视频，好好学习

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三个月从微分几何到黑洞热力学，太刺激了

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还不如直接读陈省身的《微分几何讲义》

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很数学的写法

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呵~呵~