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出版者:Princeton University Press

作者:H. Blaine Lawson

出品人:

页数:440

译者:

出版时间:1990-2-1

价格:USD 130.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780691085425

丛书系列:

图书标签:

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现代拓扑学基础：流形、纤维丛与陈类 作者： [虚构作者姓名 A] & [虚构作者姓名 B] 出版社： [虚构出版社名称] 出版年份： [虚构年份] --- 内容简介 《现代拓扑学基础：流形、纤维丛与陈类》是一部全面、深入且富有洞察力的专著，旨在为高等数学、理论物理学以及相关工程领域的研究人员和高年级研究生提供一套坚实的现代微分拓扑学理论框架。本书的核心关注点在于微分流形的内在结构、向量丛与纤维丛的构造与分类，以及陈类（Chern Classes）在拓扑不变量和几何结构中的核心应用。 本书摒弃了传统教科书中对点集拓扑的冗长铺垫，而是直接切入微分几何的精髓，强调概念的几何直觉与严谨的代数拓扑工具的结合。全书共分七个主要部分，结构清晰，逻辑递进。 第一部分：微分流形的几何基础 本部分首先建立微分拓扑学的基本语言。重点讨论光滑结构的定义与例子，特别是嵌入定理和浸没定理在理解子流形嵌入空间中的重要性。我们深入探讨切丛（Tangent Bundle）的构造，将其视为研究局部线性化的关键工具。此外，还详细分析了向量场及其流的性质，包括李括号在流形上的定义与几何意义。 一个关键的章节专门用于讨论张量场。我们不仅介绍了张量在切空间上的定义，还扩展到更一般的张量丛，并详细阐述了联络（Connection）的概念，包括仿射联络和黎曼联络的定义。通过外微分（Exterior Differentiation）和李导数（Lie Derivative）的引入，我们为后续的拓扑不变量的计算打下代数基础。 第二部分：微分形式与德拉姆上同调 此部分是全书的核心工具之一。我们系统地发展了微分形式的代数结构——楔积（Wedge Product）和外微分算子 $mathrm{d}$。重点在于理解 $mathrm{d}^2 = 0$ 这一基本性质如何直接导出德拉姆上同调群 $H_{mathrm{dR}}^k(M)$。 我们详尽证明了德拉姆定理，将其与奇异上同调联系起来，展示了微分形式如何成为研究流形拓扑性质的有效语言。书中包含大量关于流形上的积分、霍奇分解（在紧致黎曼流形上）的应用实例，以及对拓扑空间的开集如何通过上同调群被“捕获”的深刻讨论。 第三部分：纤维丛与主丛 纤维丛理论是理解流形上附加结构（如度量、联络）的必要视角。本部分从抽象的丛空间定义出发，严格定义了纤维丛、局部平凡性和丛同态。 重点研究了两种至关重要的丛： 1. 向量丛（Vector Bundles）：特别是与流形相关的切丛、余切丛和张量丛。 2. 主丛（Principal Bundles）：作为向量丛的“骨架”，讨论了G-丛和纤维丛的结构群的概念。我们详细分析了庞加莱截面定理（Poincaré-Cartan Theorem）在确定截面存在性上的作用。 本章还引入了丛的拉回（Pullback of Bundles）操作，展示了如何从一个流形上的丛转移到其子流形或商空间上的相关丛结构。 第四部分：联络与曲率的几何意义 基于前面对纤维丛和联络的讨论，本部分将重点放在曲率（Curvature）的计算与解释上。我们首先定义联络的曲率形式 $Omega$，并展示它是如何衡量一个联络偏离“平坦”程度的。 对于黎曼流形，我们专注于里奇曲率（Ricci Curvature）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature），这些是广义相对论和几何分析中的基本量。书中包含了对高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem）的详细推导，将其视为曲率与拓扑的经典桥梁。对于主丛上的联络，我们引入了杨-米尔斯理论中至关重要的概念——霍特定理（Hodge Theory）在流形上的应用。 第五部分：陈类理论的建立 陈类是利用向量丛的结构来定义流形拓扑不变量的最有力工具。本部分将从General Linear Group $mathrm{GL}(n, mathbb{C})$ 的表示开始，系统地构建陈-西蒙斯（Chern-Simons）形式和陈氏示性类（Chern Characteristic Classes）。 我们详细阐述了拓扑学中的定义（基于商空间和纤维丛的分类空间 $B G$）与微分几何中的定义（基于曲率形式和示性类公式，如Weil代数）。书中包含了Whitney 移移性质的严格证明，以及陈-韦伊同态（Chern-Weil Homomorphism），该同态是连接微分几何和代数拓扑的关键所在。 第六部分：向量丛的示性类及其应用 本章深入探讨了主要的示性类： 1. 陈类 $c_k(E)$：作为最重要的复向量丛示性类。 2. 欧拉类 $c_1(TM)$：作为切丛的特殊情况，与流形上的向量场零点性质的深刻关联。 3. 庞加莱对偶与陈类：讨论了如何通过对陈类进行配对积分，得到流形上的（实数或整数）拓扑不变量。 我们重点分析了同伦不变性和截面存在性与陈类之间的关系。例如，如何利用第一陈类判断一个复向量丛是否存在全纯截面。 第七部分：拓扑不变量的计算与高级主题 最后一部分将理论应用于具体计算和前沿研究。我们详细演示了如何使用塞耳-韦伊公式（Seer-Weyl Formula）计算特定流形（如球面、环面、复射影空间）的德拉姆上同调群和陈类。 此外，本章还简要介绍了与陈类相关的其他重要概念，包括汤姆类（Thom Class）、自同构群的结构，以及阿蒂亚-辛格指标定理的拓扑视角（仅作概述，指出陈类在其中扮演的核心角色）。本书的案例分析部分特别关注了Kähler 流形上的霍奇理论和陈类之间的优美关系。 --- 本书特点 严格性与直觉的平衡： 在保持数学严谨性的同时，通过大量的几何图示和物理类比来激发读者的直觉理解。 工具导向： 将微分形式、联络和示性类视为解决拓扑问题的实用工具集，而非纯粹的代数结构。 前沿关联： 紧密追踪了微分拓扑在广义相对论、规范场论和代数几何中的最新进展。 丰富的练习： 每章末尾附有精心设计的练习题，难度从巩固基础到探索研究方向不等。 《现代拓扑学基础》不仅是课堂教材，更是微分几何和拓扑物理领域研究人员必备的案头参考书。

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坦白说，刚拿到这本厚厚的书时，我内心是有点惴惴不安的，毕竟“几何”这个词本身就带有一种令人望而生畏的学术重量。然而，这本书的叙事节奏掌握得极其老道。它没有一开始就抛出那些令人头皮发麻的微分方程，而是巧妙地通过一些历史轶事和直观的物理类比，为我们铺设了一条通往深层理论的坚实桥梁。那种感觉就像是有一个非常耐心的、博学的向导，带着你穿越一片迷雾森林，他知道何时该放慢脚步，何时该指出远方的地标。我喜欢它在讨论拓扑学与微分几何交汇点时的那种高屋建瓴的视野，它让你看到不同数学分支之间是如何相互支撑，共同构建起一个宏大的知识体系的。对于我这种非专业背景的爱好者来说，这种“讲故事”式的引导，远比冷冰冰的定义要有效得多，它让那些晦涩的定理活了起来，拥有了血肉和骨骼。

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这本书简直是为那些渴望在纯粹的数学美学中遨游的灵魂准备的！我一打开扉页，那种严谨而又充满艺术气息的排版就深深吸引了我。它不像某些枯燥的教科书那样只有冰冷的公式堆砌，而是用一种近乎诗意的语言，带领我们探索那些看似抽象的几何概念。作者似乎非常擅长于捕捉数学结构中最微妙的韵律感，使得即便是初次接触这些复杂理论的读者，也能从中感受到一种内在的和谐。我尤其欣赏它在引入新概念时所采取的循序渐进的方式，每一步的推导都像是精心编排的舞蹈，每一步的逻辑跳跃都恰到好处，既保留了学术的深度，又避免了不必要的晦涩。读完一个章节，我常常会合上书本，闭目沉思许久，那种在脑海中重构复杂形体和内在联系的体验，简直令人心旷神怡。它不仅仅是在教你知识，更是在培养你的一种全新的空间思维方式，让你对“弯曲”和“扭曲”有了更深层次的理解。

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这本书的排版设计简直是数学书籍中的一股清流。我们都知道，在处理高维空间或复杂流形时，插图是至关重要的，而这本书在这方面做到了极致。那些剖面图、矢量场图，无一不精准而富有洞察力，它们不仅仅是用来解释公式的辅助工具，本身就是一种视觉上的陈述。每一个图例都经过深思熟虑，用最简洁的线条勾勒出最复杂的关系。我注意到作者在引用参考文献时也极为审慎，每一步的理论发展都有迹可循，这极大地增强了文本的可信度和研究价值。更让我惊喜的是，它在某些章节中穿插了对现代物理学，比如广义相对论中时空弯曲处理的联系，这种跨学科的触角，让这本书的价值远超出了纯粹的数学范畴，它提供了一个理解宇宙结构的全新视角，让人感到知识的边界正在被不断拓宽。

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我很少看到一本如此专注于细节而又不失宏大叙事的专业书籍。它仿佛是一位经验丰富的老工匠，在向你展示如何打磨一件完美的几何艺术品。书中的论证逻辑清晰到近乎冷酷，每一个前提都必须被充分建立，每一个结论的得出都经得起最苛刻的检验。我特别留意了它在处理奇异点和边界条件时的处理方式，那是许多同类书籍容易敷衍了事的地方，但在这里，作者给予了足够的篇幅和深度来剖析这些“麻烦制造者”。这种对数学严密性的极致追求，让人感到非常踏实和敬佩。阅读这本书的过程，更像是一场马拉松式的智力攀登，需要持续的专注力和毅力，但每当你攻克一个难点，那种成就感是无与伦比的。它无疑是为那些对几何学有着近乎偏执的探求精神的读者量身打造的。

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这本书的难度曲线设置得非常精妙，它似乎在不断地挑战读者的认知极限，但又总能在你即将迷失方向时，为你提供一个关键的数学工具箱。那些关于曲率张量的推导过程，乍一看像是天书，但作者通过反复的类比和对基础概念的再强调，硬生生地将这些抽象的运算“具象化”了。我个人最欣赏的是它对“不变性”这一核心主题的探讨，如何从不同的坐标系和变换中，提取出事物本质的属性。这种深刻的哲学思辨与严谨的数学证明交织在一起，形成了一种独特的阅读体验。读完它，我感觉自己的“数学直觉”得到了显著的提升，不再是单纯地记背公式，而是开始思考为什么是这个公式，它背后蕴含着怎样的几何意义。对于那些希望从“知道如何做”跃升到“理解为什么”的进阶学习者来说，这本书无疑是宝藏级别的存在。

评分☆☆☆☆☆

比起黎曼几何，这书里的内容对于现代数学要显得重要的多，是为了介绍指标定理，却也不尽限于此，从Clifford代数开始，K-theory 和 Soblev空间的一系列理论都讲得很好，主要是讲解的这些工具性的内容最后为指标定理的证明都起了作用，比起单独的去念这些理论，这种方式无疑要有趣也有用的多

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比起黎曼几何，这书里的内容对于现代数学要显得重要的多，是为了介绍指标定理，却也不尽限于此，从Clifford代数开始，K-theory 和 Soblev空间的一系列理论都讲得很好，主要是讲解的这些工具性的内容最后为指标定理的证明都起了作用，比起单独的去念这些理论，这种方式无疑要有趣也有用的多

评分☆☆☆☆☆

对目前的我来说太难了点，没读懂多少。要求是Artin级别的抽象代数，还得知道点微分几何，一路到指标定理。发现一旦涉及表示论我脑子就不怎么转了…

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对目前的我来说太难了点，没读懂多少。要求是Artin级别的抽象代数，还得知道点微分几何，一路到指标定理。发现一旦涉及表示论我脑子就不怎么转了…

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比起黎曼几何，这书里的内容对于现代数学要显得重要的多，是为了介绍指标定理，却也不尽限于此，从Clifford代数开始，K-theory 和 Soblev空间的一系列理论都讲得很好，主要是讲解的这些工具性的内容最后为指标定理的证明都起了作用，比起单独的去念这些理论，这种方式无疑要有趣也有用的多