具体描述
《几何与拓扑的概念导引》致力于对几何与拓扑的基本概念的解释及基本理论的综述，内容涉及古典几何、微分流形与李群、微分几何、拓扑学、代数曲线。《几何与拓扑的概念导引》叙述较为细致，语言较为通俗，需要的预备知识较少，特别注意从直观的几何现象入手讲解抽象的概念，尽量介绍本学科与其他学科的关系，以便照顾更多的读者群体。《几何与拓扑的概念导引》是了解近代几何与拓扑学的导引，可作为大学数学系及其他有关专业的研究生的公共课教材，也可以用作自学者的入门读物。
作者简介
目录信息
1.1 引言 1
1.2 仿射坐标变换 3
1.3 超平面 6
1.4 二次超曲面 8
1.5 仿射变换群 13
1.6 仿射几何学大意 19
1.7 等距变换群 21
1.8 体积问题 24
1.9 射影平面 27
1.10 射影变换 31
1.11 群在集合上的作用 35
第 2 章 微分流形 38
2.1 引言 38
2.2 R^n 中的映射的连续概念 39
2.3 R^n 中的映射的微分概念 43
2.4 隐函数定理 48
2.5 正则超曲面 52
2.6 微分流形 57
2.7 可微映射 64
2.8 切映射 66
2.9 子流形 71
2.10 单位分解 73
第 3 章 切丛与向量场 75
3.1 切丛与向量场的基本知识 75
3.2 相流 80
3.3 李导数与括号积 84
3.4 弗罗贝尼乌斯定理 89
第 4 章 微分形式 93
4.1 代数预备知识——对偶空间 93
4.2 余切空间 98
4.3 1 次微分形式 102
4.4 代数预备知识——外积 105
4.5 一般微分形式 109
4.6 外微分运算 112
4.7 链上的积分 117
4.8 斯托克斯公式 123
4.9 流形上的积分 125
4.10 应用——辛形式 129
第 5 章 李群 133
5.1 基本概念 133
5.2 若干重要的例子 140
5.3 李群的表示 144
5.4 李群 SU(2) 与 S0(3) 149
5.5 李群在流形上的作用 154
5.6 应用——力学中的对称性 158
第 6 章 微分几何的基本概念 160
6.1 曲率概念速成 160
6.2 联络与平行移动 165
6.3 黎曼流形的概念 172
6.4 黎曼流形上的相容联络 177
6.5 几点注释 183
6.6 纤维丛的概念 185
6.7 活动标架法 190
6.8 自然界中的联络 196
第 7 章 从微分流形看拓扑学 199
7.1 引言 199
7.2 德拉姆上同调 200
7.3 同伦 205
7.4 德拉姆上同调的同伦型不变性 211
7.5 计算方法——正合序列 214
7.6 同调群 218
7.7 德拉姆定理 226
7.8 庞加莱对偶、映射度、相交数 229
7.9 应用 237
7.10 再谈纤维丛 241
7.11 几点注释 245
第 8 章 代数曲线浅说 252
8.1 代数预备知识——极大理想与素理想 252
8.2 仿射代数簇 256
8.3 平面代数曲线 261
8.4 奇异点 264
8.5 射影代数簇 268
8.6 再谈平面代数曲线 272
8.7 黎曼曲面简介 276
8.8 几点注释 284
附录 291
参考文献 298
索引 300
· · · · · · (收起)
读后感
不知道短评那几个是怎么想的，这样的纲要式科普书也能被捧得这么高？什么都是点到即止，蜻蜓点水，那要这本书还有什么用？ 既然是现代数学丛书里面的一员，就要想点样子，这个作为科普还算勉勉强强，至少比张景中之流要好一些，但是作为现代数学教材真是让人发笑。 突然想起来...
评分不知道短评那几个是怎么想的，这样的纲要式科普书也能被捧得这么高？什么都是点到即止，蜻蜓点水，那要这本书还有什么用？ 既然是现代数学丛书里面的一员，就要想点样子，这个作为科普还算勉勉强强，至少比张景中之流要好一些，但是作为现代数学教材真是让人发笑。 突然想起来...
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用户评价
初次翻阅这本书，我便被其独特的叙事风格所吸引。作者并没有直接抛出复杂的公式或定理，而是以一种近乎讲故事的方式，娓娓道来。这使得原本可能显得晦涩难懂的数学概念，变得生动有趣。我特别欣赏作者在介绍几何学基本原理时，所使用的那些富有启发性的历史典故和哲学思考。例如，在谈及欧几里得几何的公理体系时，作者并没有止步于对其形式的介绍，而是深入探讨了其历史背景，以及后世数学家们对其局限性的反思，这让我对数学的演进过程有了更深刻的理解。当我读到关于“平行公理”的讨论时，作者更是以一种引人入胜的方式，展现了非欧几何的诞生，这就像打开了一个全新的世界。我曾经一直以为平行线永远不会相交，但作者通过严谨的论证和生动的比喻，让我看到了在不同几何体系下，平行线可能存在的各种奇妙关系。这种对“可能性”的探索，极大地拓展了我的思维边界。书中的插图也起到了至关重要的作用，它们并非简单的示意图，而是经过精心设计，与文字内容相得益彰，将抽象的概念可视化，让我能够更直观地理解那些复杂的几何关系。我尤其喜欢其中描绘多维空间投影的插图，它们仿佛带领我穿越了三维的限制，窥见了更高维度的神秘面貌。这种将视觉与理性相结合的教学方式，是我在其他数学书籍中很少见到的，它有效地弥补了纯文字描述可能带来的抽象感，让学习过程更加轻松愉快。
评分我被这本书所展现出的数学逻辑的严谨性和创造性深深吸引。作者在阐述每一个定理和性质时，都力求做到清晰、准确，并且逻辑链条完整。我尤其欣赏作者在讲解“同调论”时所采用的方法。不同于我之前接触过的许多同调论书籍，这本书并没有直接引入复杂的链复形和边界算子，而是通过对“洞”的直观理解，来引入同调群的概念。作者以一个甜甜圈和一个球体为例，生动地解释了它们在拓扑上存在一个“洞”，而这个“洞”在同调论中是如何被捕捉和度量的。这种从直观感受出发，逐步过渡到抽象定义的教学方式，让我对同调论这一复杂而重要的数学分支，有了一个初步而深刻的理解。我曾经认为同调论是一个非常高深的领域，只有数学专业人士才能涉猎。但这本书让我意识到，只要掌握了正确的入门方法，即便是非专业人士，也能领略其魅力。此外，作者在书中还提到了“纤维丛”的概念，并将其与向量分析中的一些应用联系起来。虽然篇幅不多，但作者寥寥数语，便勾勒出了纤维丛在物理学和几何学中的重要地位，让我对这一概念产生了浓厚的兴趣，并激发了我进一步探索的欲望。这种在基础数学概念之上，点缀以高阶数学的应用，极大地提升了本书的价值。
评分这本书的数学思想之深刻，是我始料未及的。作者在讲解每一个概念时，都不仅仅局限于其表面定义，而是挖掘其深层的内涵和与其他概念的联系。我尤其被书中关于“连续性”的讨论所吸引。作者没有直接给出函数连续的定义，而是通过一系列巧妙的例子，比如一条河流的流动，或者一个物体运动的轨迹，来展现连续性的直观感受。然后，作者才逐步引导读者理解 epsilon-delta 定义的精妙之处。这种循序渐进的方式，让我能够真正地领悟到微积分中“极限”和“连续”这两个核心概念的深刻含义。我曾经对这些概念感到十分困惑，总觉得它们过于抽象，难以把握。但在这本书中，作者用一种非常有条理且富有洞察力的方式，将它们一一剖析，让我看到了它们在描述现实世界变化过程中的强大力量。此外，书中关于“同胚”的概念，也让我大开眼界。我一直以为一个圆和一个咖啡杯是完全不同的物体，但在作者的解释下，我了解到它们在拓扑学上竟然是等价的。这种颠覆了我固有认知的观点，让我开始重新思考“形状”和“结构”的本质。我开始意识到，许多我们肉眼可见的差异，在更抽象的数学视角下，可能只是表面的变化，而其内在的拓扑结构才是更本质的属性。这种将看似不相关的物体联系起来的思维方式，极大地激发了我对数学的兴趣。
评分这本书最大的亮点之一在于其独特的视角，它不仅仅是介绍数学概念，更是在引导读者进行一种思维方式的转变。我尤其被书中关于“流形”的讨论所打动。作者并没有直接给出流形的正式定义，而是从我们熟悉的三维空间出发，然后将其推广到更一般的n维空间，并强调流形在局部具有欧几里得空间的性质。我被作者用来类比流形的例子深深吸引，比如一个光滑的球面，或者一个马鞍面。作者通过这些例子，让我们能够直观地感受到流形的“光滑性”和“局部欧几里得性”。我曾经对高维空间的想象感到十分困难，但通过作者的讲解，我开始能够以一种更加抽象但又相对直观的方式来理解它们。当作者提到“嵌入”和“浸入”这两个概念时，我更是感到眼前一亮。我了解到，即使一个高维流形，也可能“扭曲”着嵌入到低维空间中，而这种嵌入的方式，揭示了其内在结构的丰富性。我尤其被书中关于“李群”的初步介绍所吸引。作者将其与对称性联系起来，并暗示了其在微分几何和物理学中的重要作用。虽然篇幅有限，但作者的讲解让我对李群这一概念产生了浓厚的兴趣，并渴望进一步了解其深层内涵。
评分这本书的封面设计非常吸引人，深邃的蓝色背景，点缀着抽象的几何图形，隐约勾勒出空间的无限可能，仿佛预示着一场智识的冒险即将展开。我拿到这本书时，首先就被它严谨而又不失美感的排版所折服。字体的选择恰到好处，既有现代感又不失历史的厚重，阅读起来丝毫不会感到疲惫。开篇几页，作者便以一种非常独特的方式，将读者引入了抽象数学的奇妙世界。我尤其喜欢其中对“点”、“线”、“面”这些基本概念的阐述，作者并没有简单地给出定义，而是通过一系列引人入胜的类比和形象化的描述，让我重新审视了这些我们习以为常的概念。例如，在解释“点”的概念时，作者并没有局限于数学上的零维物体，而是将其与宇宙中的一个粒子，或者一个思考的瞬间联系起来，这种跨领域的联想极大地激发了我的想象力。接着，作者深入探讨了“线”的本质，不仅仅是两点之间的最短距离，更是运动的轨迹，是连接不同维度的桥梁。当我读到关于“面”的部分时，我仿佛看到了一个二维世界的诞生，感受到了边界的形成和空间的填充。整本书的开篇，就像是一幅宏大的画卷，作者用充满诗意的语言，为我们描绘了一个既严谨又充满想象力的数学宇宙。每一个概念的引入都循序渐进，逻辑清晰，让我能够轻松地跟随作者的思路，逐步深入。尽管我对数学并非专业出身，但在阅读的过程中，我丝毫没有感到被晦涩的术语所困扰，反而有一种豁然开朗的感觉，仿佛曾经困扰我的数学谜团，在作者的笔下都变得清晰起来。这种将抽象概念具象化，将枯燥理论生动化的能力，是这本书最让我惊喜的地方。
评分我被这本书所蕴含的数学智慧和哲学思考深深吸引。作者在讲解每一个数学概念时，都能够将其与更广泛的哲学思想和科学应用巧妙地结合起来。我尤其对书中关于“范畴论”的介绍感到震撼。作者并没有直接引入范畴、函子和自然变换，而是从对“对象”和“态射”的抽象理解出发，然后逐步引导读者认识到范畴论在统一不同数学分支中的强大力量。我被书中用来解释范畴的例子所吸引，比如集合范畴、群范畴以及拓扑空间范畴，这些直观的例子让我能够轻松地理解范畴的概念。当我读到关于“范函子”和“自然变换”的部分时，我更是感到茅塞顿开。作者用非常清晰的讲解，让我了解到范函子可以实现不同范畴之间的“翻译”，而自然变换则可以比较和统一这些“翻译”的方式。我曾经认为范畴论是一个非常抽象的领域，但在这本书的启发下，我开始能够从其内在的逻辑统一性和普适性来欣赏它。此外，书中还简要提到了“范畴论在计算机科学中的应用”，例如函数式编程语言的设计。作者虽然没有深入展开，但其简洁的介绍已经足以让我对范畴论这一深邃的数学领域产生浓厚的兴趣，并渴望进一步了解其在不同领域的应用。
评分这本书的数学深度和广度都让我惊叹不已。作者在讲解每一个数学概念时，都能够将其与相关的历史发展、哲学思想以及其他数学分支巧妙地联系起来。我尤其对书中关于“微分几何”的介绍感到印象深刻。作者并没有直接引入张量分析，而是从对“曲率”的直观理解出发，然后逐步引导读者认识到曲率在刻画空间几何性质中的核心作用。我被书中用来解释高斯曲率的例子所吸引，比如球面和马鞍面，这些直观的例子让我能够轻松地理解曲率的概念。当我读到关于“里奇曲率”和“斯奇曲率”的部分时，我更是感到茅塞顿开。作者通过清晰的讲解，让我了解到这些曲率不只是简单的数值，而是能够反映空间在不同方向上的“收缩”或“扩张”程度，这对于理解爱因斯坦的广义相对论至关重要。我曾经对广义相对论感到十分神秘，但在这本书的启发下，我开始能够从微分几何的角度来理解其基本思想。此外，书中还简要提到了“辛几何”的概念，并将其与泊松括号联系起来。作者虽然没有深入展开，但其简洁的介绍已经足以让我对辛几何这一领域产生浓厚的兴趣。
评分我被这本书所呈现出的数学美学深深吸引。作者在讲解每一个概念时，都注重其内在的逻辑美和结构的和谐性。我尤其对书中关于“群论”的介绍感到着迷。作者并没有直接引入群的定义，而是从“对称性”这一直观的概念出发，然后逐步引导读者理解群的抽象结构。我被书中用来解释对称性的例子所吸引，比如正方形的旋转对称群，以及立方体的对称性。这些直观的例子让我能够轻松地理解群的概念。当我读到关于“正规子群”和“商群”的部分时，我更是感到耳目一新。作者用非常清晰的讲解，让我了解到正规子群可以将一个群“分解”成更小的部分，而商群则提供了一种研究群结构的新视角。我曾经认为群论只是一个抽象的数学工具，但在这本书的启发下，我开始能够从其内在的结构美和逻辑的优雅性来欣赏它。此外，书中还简要提到了“伽罗瓦理论”的概念，并将其与多项式的根联系起来。作者虽然没有深入展开，但其简洁的介绍已经足以让我对伽罗瓦理论这一深邃的数学领域产生浓厚的兴趣。
评分我不得不说，这本书在数学思维的培养方面做得尤为出色。作者在讲解每一个概念时，都注重引导读者去思考“为什么”以及“有什么用”，而不是仅仅停留在“是什么”。我尤其喜欢书中关于“谱序列”的介绍。作者并没有直接引入复杂的谱序列图，而是从对“短正合列”的深刻理解出发，然后逐步过渡到更一般化的思想。我曾经对谱序列感到十分畏惧，觉得它是一个非常抽象且难以理解的工具。但在这本书中，作者用一种非常巧妙且循序渐进的方式，让我看到了谱序列在解决复杂拓扑问题时的强大威力。我被书中关于“代数拓扑”的简洁概括所打动，作者将其描述为用代数工具来研究几何形状的性质，这种简洁而精准的描述，让我对代数拓扑这一分支有了更清晰的认识。书中还提到了“示性类”的概念，并将其与纤维丛的性质联系起来。作者用非常形象的比喻，让我理解了示性类在刻画纤维丛的“弯曲”程度中所起到的作用。虽然对示性类的具体计算方法没有深入展开，但作者的讲解已经足以让我对其重要性和应用价值有一个初步的认识。
评分这本书的数学思想之新颖和深刻，让我对数学的认知产生了颠覆。作者在讲解每一个概念时，都能够跳出传统的思维定式，从一个全新的角度来审视问题。我尤其对书中关于“代数几何”的初步介绍感到惊艳。作者并没有直接引入簇和理想，而是从对“多项式方程”的几何解释出发，然后逐步引导读者认识到代数几何与几何学之间的深刻联系。我被书中用来解释代数曲线的例子所吸引，比如抛物线和椭圆，这些直观的例子让我能够轻松地理解多项式方程的几何意义。当我读到关于“维数”和“光滑性”的部分时，我更是感到豁然开朗。作者用非常清晰的讲解，让我了解到代数几何可以提供一种全新的视角来研究空间的性质，而这些性质往往无法用传统的微分几何来完全描述。我曾经认为代数几何是一个非常晦涩的领域，但在这本书的启发下，我开始能够从其内在的逻辑美和结构性来欣赏它。此外，书中还简要提到了“概形论”的概念，并将其与代数几何的进一步发展联系起来。作者虽然没有深入展开，但其简洁的介绍已经足以让我对概形论这一深邃的数学领域产生浓厚的兴趣。
评分以后一定要细读
评分确实只能看懂已经学过的部分……也可能是我太菜了，还是找各领域的教材比较好
评分确实只能看懂已经学过的部分……也可能是我太菜了，还是找各领域的教材比较好
评分确实只能看懂已经学过的部分……也可能是我太菜了，还是找各领域的教材比较好
评分屌炸。。。默认读者零基础，一章秒掉仿射几何，一章秒掉微流，一章秒掉微分形式，一章秒掉李群，一章秒掉同调上同调。。。关键确实self-contained。。
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