第 1 章 變換群與幾何學 1
1.1 引言 1
1.2 仿射坐標變換 3
1.3 超平麵 6
1.4 二次超麯麵 8
1.5 仿射變換群 13
1.6 仿射幾何學大意 19
1.7 等距變換群 21
1.8 體積問題 24
1.9 射影平麵 27
1.10 射影變換 31
1.11 群在集閤上的作用 35
第 2 章 微分流形 38
2.1 引言 38
2.2 R^n 中的映射的連續概念 39
2.3 R^n 中的映射的微分概念 43
2.4 隱函數定理 48
2.5 正則超麯麵 52
2.6 微分流形 57
2.7 可微映射 64
2.8 切映射 66
2.9 子流形 71
2.10 單位分解 73
第 3 章 切叢與嚮量場 75
3.1 切叢與嚮量場的基本知識 75
3.2 相流 80
3.3 李導數與括號積 84
3.4 弗羅貝尼烏斯定理 89
第 4 章 微分形式 93
4.1 代數預備知識——對偶空間 93
4.2 餘切空間 98
4.3 1 次微分形式 102
4.4 代數預備知識——外積 105
4.5 一般微分形式 109
4.6 外微分運算 112
4.7 鏈上的積分 117
4.8 斯托剋斯公式 123
4.9 流形上的積分 125
4.10 應用——辛形式 129
第 5 章 李群 133
5.1 基本概念 133
5.2 若乾重要的例子 140
5.3 李群的錶示 144
5.4 李群 SU(2) 與 S0(3) 149
5.5 李群在流形上的作用 154
5.6 應用——力學中的對稱性 158
第 6 章 微分幾何的基本概念 160
6.1 麯率概念速成 160
6.2 聯絡與平行移動 165
6.3 黎曼流形的概念 172
6.4 黎曼流形上的相容聯絡 177
6.5 幾點注釋 183
6.6 縴維叢的概念 185
6.7 活動標架法 190
6.8 自然界中的聯絡 196
第 7 章 從微分流形看拓撲學 199
7.1 引言 199
7.2 德拉姆上同調 200
7.3 同倫 205
7.4 德拉姆上同調的同倫型不變性 211
7.5 計算方法——正閤序列 214
7.6 同調群 218
7.7 德拉姆定理 226
7.8 龐加萊對偶、映射度、相交數 229
7.9 應用 237
7.10 再談縴維叢 241
7.11 幾點注釋 245
第 8 章 代數麯綫淺說 252
8.1 代數預備知識——極大理想與素理想 252
8.2 仿射代數簇 256
8.3 平麵代數麯綫 261
8.4 奇異點 264
8.5 射影代數簇 268
8.6 再談平麵代數麯綫 272
8.7 黎曼麯麵簡介 276
8.8 幾點注釋 284
附錄 291
參考文獻 298
索引 300
· · · · · · (收起)