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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Stephen Abbott

出品人:

页数:272

译者:

出版时间:2002-07-12

价格:USD 49.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387950600

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
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这本《透视数学》将带您踏上一段严谨而引人入胜的数学探索之旅。本书旨在揭示数学背后的逻辑结构和严密证明，引领读者超越表面计算，深入理解数学的精髓。 从基础的集合论和逻辑推理出发，本书逐步构建起实数系的完整理论框架。读者将学习如何精确地定义实数，理解它们的稠密性、完备性以及它们在数轴上的位置。我们将深入探讨数列的收敛性，学习各种判别级数和数列收敛的方法，例如比值判别法、根值判别法以及柯西收敛判别法，并理解这些方法的理论依据。 本书的重点之一在于函数的连续性。我们将详细讲解连续函数的定义，包括ε-δ定义，并探讨连续函数的重要性质，如介值定理和最值定理。这些性质不仅在理论上至关重要，在实际应用中也具有广泛的影响力。 接下来，本书将进入微积分的核心领域：微分。我们将严格定义导数，理解其几何意义（切线的斜率）和物理意义（瞬时变化率）。读者将学习各种求导法则，包括链式法则、乘积法则和商法则，并能够运用它们计算复杂函数的导数。函数的可导性与连续性之间的关系也将得到深入的探讨。 本书还将详细介绍积分的理论。我们将从黎曼积分的定义出发，理解定积分的几何意义（曲线下的面积）。读者将学习积分的基本性质以及各种积分技巧，包括换元积分法和分部积分法。微积分基本定理将是本书的一个重要亮点，它揭示了微分和积分之间深刻的内在联系，是整个微积分体系的基石。 除了上述核心概念，本书还会涉及一些重要的分析学主题。例如，我们将探讨一致收敛的概念，并研究它与逐点收敛的区别以及它对极限运算顺序的影响。读者将了解泰勒展开式的构造和应用，以及它在函数逼近中的重要作用。 全书的写作风格严谨而清晰，注重逻辑的连贯性和证明的完整性。每一个定理的陈述都力求精确，每一个证明都力求滴水不漏。本书并非一本简单的解题技巧手册，而是致力于培养读者独立的数学思考能力和严谨的逻辑推理能力。通过对数学概念的深入剖析和对证明的细致讲解，读者将能够建立起坚实的数学基础，并为进一步学习高等数学课程打下坚实的基础。 本书适合所有对数学有浓厚兴趣，希望深入理解微积分等基础分析学概念的读者。无论是准备攻读数学、科学、工程等相关专业的学生，还是希望提升自身数学素养的社会人士，都能从本书中获益良多。它将带领您领略数学的严谨之美，感受逻辑推理的强大力量，为您打开一扇通往数学世界更深层理解的大门。

评分☆☆☆☆☆

My primary goal in writing Understanding Analysis was to create an elementary one-semester book that exposes students to the rich rewards inherent in taking a mathematically rigorous approach to the study of functions of a real variable. The aim of a course...

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我必须说，《Understanding Analysis》这本书给我带来的不仅仅是知识的增长，更是一种学习方法的革新。在阅读之前，我对分析学总是有种“只见树木，不见森林”的感觉，无法将零散的定理和概念联系起来。然而，这本书通过其独特的叙事方式，成功地将分析学描绘成一幅宏大的画卷。作者在讲解序列的收敛性时，非常注重其“行为”的描述，比如序列是单调递增还是递减，是震荡还是趋于稳定。这种对序列“动态”的关注，让我更容易理解收敛的本质。我特别喜欢书中关于“极限的唯一性”的证明，作者通过假设存在两个不同的极限，然后推导出矛盾，这种“反证法”的运用，让我看到了数学证明的精妙之处。此外，书中对各种判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等，都进行了详细的解释和比较，并提供了相应的练习题，这让我能够熟练地运用这些工具来解决问题。这本书的语言风格非常清晰流畅，即使在处理最抽象的概念时，也能保持通俗易懂。我感觉，我不再是被动地接受知识，而是主动地参与到数学的探索过程中。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学，尤其是分析学的部分有着浓厚的兴趣，但总觉得在概念的理解上有些模糊不清，像是隔着一层纱。直到我偶然间发现了这本《Understanding Analysis》，我才真正体会到什么叫做“豁然开朗”。这本书的叙述方式非常引人入胜，它不仅仅是罗列公式和定理，而是循序渐进地引导读者去思考，去理解。我记得其中一个章节，详细地探讨了序列的收敛性，作者通过各种生动的例子，比如像一只永不疲倦的蜜蜂在花丛中寻找蜜源，或者一个不断逼近目标的探险家，将抽象的数学概念具象化。这种方式让我觉得分析学不再是高高在上的理论，而是触手可及的，充满智慧的艺术。书中对epsilon-delta语言的讲解尤为细致，我之前对此总是望而生畏，但这本书的讲解方式，从最基本的定义开始，层层递进，并且通过大量的练习题来巩固理解，让我逐渐掌握了这种严谨的数学语言。我甚至发现，一旦理解了epsilon-delta的精髓，许多看似复杂的证明也会变得清晰明了。这本书的排版也很舒适，页边留白恰到好处，字体大小适中，阅读起来不会产生视觉疲劳。我经常会在咖啡馆里，点上一杯咖啡，然后沉浸在这本书的数学世界里，感觉时间都慢了下来。它不仅仅是一本书，更像是一个耐心的良师益友，在我迷茫时指引方向，在我困惑时提供答案。我强力推荐给任何对分析学有兴趣，或者曾经被分析学吓倒过的朋友们。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，学习任何一门学科，最关键的是要理解其“灵魂”所在，《Understanding Analysis》恰恰做到了这一点。它不是一本简单的教科书，而更像是一场思维的旅行，带领我深入分析学的核心。我尤其要提到书中关于序列和数列的章节，作者在介绍极限的概念时，没有急于给出定义，而是先通过一些有趣的场景，比如一个物体不断减速下落，或者一个股票价格的波动，来引导读者思考“趋近”这个概念的内涵。这种由现象到本质的引导方式，让我对极限有了非常直观的感受。在讨论收敛性时，作者也特别强调了“最终”这个词的含义，以及“任意小的正数”在数学中的重要性。我之前总是对epsilon-delta的“任意性”感到困惑，但这本书通过大量的图示和通俗的解释，让我明白了这并非是随意，而是数学严谨性的体现。书中的一些例子，比如对柯西序列的讲解，作者会先解释为什么我们需要柯西序列，以及它与收敛序列的关系，这种“为什么”的讲解方式，让我觉得分析学是有血有肉的，而非僵化的符号。阅读这本书，我最大的感受就是，我开始用一种全新的视角来看待数学问题，不仅仅是结果，更注重过程中的逻辑和推理。

评分☆☆☆☆☆

对于我这样的背景来说，曾经在大学的数学分析课程中经历过不少的挫折，那些抽象的符号和严谨的证明总是让我感到无从下手。这次抱着试试看的心态，我拿起了《Understanding Analysis》，并庆幸自己做了这个决定。这本书最大的魅力在于它并没有将分析学塑造成一个冷冰冰的、难以接近的学科，而是将其描绘成一个充满逻辑美和思想深度的领域。作者在讲解每一个概念时，都非常注重其直观的意义和产生的背景。比如，在介绍实数完备性的时候，作者先通过一些例子，比如用有理数逼近无理数，来展现无理数在数轴上的“空隙”，然后才引出戴德金分割等概念，使得抽象的完备性变得更容易理解。我非常欣赏书中对连续性概念的深入探讨，它不仅仅停留在函数图像上，而是通过点集拓扑的视角，从开集、闭集等角度来阐述，这让我对连续性的理解提升了一个层次。书中关于里诺尔（Rolle’s Theorem）和拉格朗日中值定理（Lagrange Mean Value Theorem）的证明，作者也用了非常巧妙的方法，先从几何直观入手，然后才进行严谨的推导，这让我感觉数学证明并非是机械的演算，而是智慧的闪光。我发现，我不再是机械地记忆定理和证明，而是开始真正地理解它们背后的逻辑和意义。这本书就像一个引路人，在我对分析学感到迷茫时，为我点亮了前方的道路。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，在我开始阅读《Understanding Analysis》之前，我对分析学的印象是“枯燥”和“抽象”，总感觉它远离生活，只是存在于书本之中。然而，这本书完全改变了我的看法。作者通过引入大量生活化的例子和比喻，将分析学的概念变得鲜活起来。比如，在解释“函数”的概念时，作者将其比作一个“加工厂”，输入原材料，输出成品，这种生动的比喻让我立刻抓住了函数的本质。在讲解“导数”时，作者将其比作“瞬时速度”，以及“变化率”，这让我对导数的几何意义和物理意义有了深刻的理解。我尤其喜欢书中关于“积分”的讲解，作者先从“面积”的概念入手，然后逐渐引入黎曼积分的思想，并通过大量的图形来说明如何通过“分割”和“求和”来逼近面积。这种从具体到抽象的过渡，让我觉得学习分析学是一种充满乐趣的“发现”过程。这本书的章节安排也非常合理，循序渐进，每个章节都建立在前一章节的基础上，让学习过程更加顺畅。它让我体会到，数学并非是冰冷的数字和符号，而是蕴含着深刻的逻辑和智慧。

评分☆☆☆☆☆

《Understanding Analysis》这本书，对于我这样曾经在数学分析课程中感到“力不从心”的学习者来说，无疑是一场及时雨。它最大的优势在于其“以理解为先”的教学理念。它不像很多教材那样，将大量的定理和证明堆砌在一起，而是非常注重概念的引入和铺垫。比如，在讲解“序列的极限”时，作者会先从直观的角度，通过“无限逼近”的场景来描述极限的概念，然后再给出严谨的epsilon-delta定义。这种由直观到严谨的过渡，让我能够更容易地接受和理解抽象的数学概念。我特别欣赏书中对“傅里叶级数”的初步介绍，虽然篇幅不长，但作者通过分析周期函数的性质，以及如何用三角函数来逼近这些函数，让我对傅里叶级数的应用和意义有了初步的认识。这本书的语言风格非常平实，但又充满智慧，它能够用最简单的方式解释最复杂的概念，这让我觉得学习分析学并不是一件困难的事情。它让我重拾了对数学的信心，并激发了我进一步探索的动力。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学有一定基础，但又渴望更深入理解分析学的人，《Understanding Analysis》无疑是我的理想选择。这本书的优点之一在于它对基本概念的“耐心”。它不像很多教材那样，一旦引入一个新概念，就期望读者立刻掌握。相反，它会反复地从不同角度阐述，通过各种例题和思考题来巩固理解。我记得在学习“上确界”和“下确界”的时候，作者花了相当多的篇幅来讲解它们在实数集合中的重要作用，以及如何利用它们来证明一些基本定理。这种“慢下来”的教学方式，让我能够真正地消化和吸收每一个知识点。书中关于函数连续性的讨论，也是我非常欣赏的部分。它不仅仅是给出了定义，还详细地讨论了连续函数在闭区间上的性质，比如有界性、最值定理和介值定理。作者通过分析函数图像的“不间断性”，来解释这些定理的几何意义，这对于我理解抽象的数学定理非常有帮助。我经常会一边阅读，一边在笔记本上写下自己的理解和思考，而这本书总是能给我新的启示。它让我觉得，分析学并非是孤立的定理堆砌，而是环环相扣、逻辑严谨的知识体系。

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我一直认为，好的教材应该能够激发读者的好奇心，并引导他们主动去探索，《Understanding Analysis》恰好做到了这一点。这本书的叙述风格非常吸引人，它并不急于给出现成的结论，而是通过层层递进的提问和思考，引导读者自己去发现分析学的奥秘。比如，在讲解“无穷”的概念时，作者并没有直接给出无穷大的定义，而是通过一些看似矛盾的例子，比如“无穷加上一还是无穷”，来引发读者对无穷的思考，最终引出无穷大和无穷小的概念。我非常欣赏书中对“函数序列的收敛性”的探讨，它不仅仅是讲解逐点收敛和一致收敛的区别，更重要的是分析了它们在求极限和积分运算上的不同影响。这种对细节的深入挖掘，让我对分析学的理解更加透彻。书中也包含了大量的历史背景和数学思想的介绍，这让我觉得分析学并非是凭空产生的，而是人类智慧不断发展的结晶。阅读这本书，我不仅仅是在学习数学知识，更是在感受数学的魅力和历史的传承。

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我对数学一直保持着一种“敬畏”但又“渴望接近”的态度，而《Understanding Analysis》这本书，则像是一座桥梁，让我得以跨越了那道曾经难以逾越的鸿沟。这本书最突出的优点在于它对“定义”的重视。它不会简单地给出一个定义，而是会详细地解释这个定义为什么是这样，它解决了什么问题，以及它在整个分析学体系中的位置。比如，在介绍“实数”的稠密性时，作者通过“任意两实数之间必有另一个实数”的性质，来阐述实数集合的连续性，这让我深刻理解了实数系的严谨基础。我特别欣赏书中关于“柯西收敛准则”的讲解，作者先解释了为什么直接使用收敛定义来判断一个序列是否收敛会比较困难，然后才引出柯西收敛准则，并对其进行了详细的证明。这种“解决问题”的思路，让我觉得分析学具有很强的实践性和实用性。书中还包含了大量的练习题，这些练习题的难度适中，并且涵盖了各个知识点，让我能够有效地巩固所学。这本书让我觉得，学习分析学不仅仅是记忆公式，更是掌握一种思考问题和解决问题的方法。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我是一名已经离开了校园一段时间的学习者，重拾分析学对我来说是一个不小的挑战。市面上有很多分析学教材，但很多都过于理论化，或者进度太快，我总觉得自己跟不上。然而，《Understanding Analysis》完全颠覆了我的看法。这本书最大的特点在于其“理解”二字。它不仅仅是告诉你“是什么”，更是深入探讨“为什么”。例如，在讨论极限的概念时，作者并没有直接给出定义，而是先引导读者去思考，是什么让我们觉得一个函数的值“无限接近”于某个特定值。通过对函数图像的细致分析，以及对各种特殊情况的考量，最终引出了严谨的epsilon-delta定义。这种“追根溯源”式的讲解方式，让我对每一个概念都有了更深刻的认识，而不是死记硬背。我特别喜欢书中关于级数收敛性的章节，作者花了大量的篇幅来解释各种判别法，并详细地说明了它们的适用范围和局限性。比如，他会通过对比不同判别法在特定序列上的表现，来帮助读者理解它们之间的细微差别。我记得有一个练习题，要求判断一个非常复杂的级数是否收敛，我尝试了几个常用的判别法都失败了，最后根据书中的提示，换了一种思路，成功解决了问题。这种解决问题的成就感，让我觉得学习分析学是一件非常有乐趣的事情。这本书的语言风格也很平实，没有过多的华丽辞藻，但却能准确地传达数学思想。我经常会反复阅读某些段落，因为每一次阅读都会有新的体会。

评分☆☆☆☆☆

对这本书充满了感激之情！循序渐进，习题和正文结合在一起并且给了很多hints手把手教证明，步骤细致清晰，语言优美，总之是我这种数学渣都能坚持下来的实分析入门。（2020.4.7-5.2）用了近一个月自学了一遍，做了几乎全部习题，虽然大部分还是参考着答案才完全弄懂，但确实把很多基础的部分都学明白了。搜了一下网上的讨论，很多人也认为这本书相比 Baby Rubin 更适合作为普通人的 real analysis 入门书。

评分☆☆☆☆☆

实实在在的数学分析入门书。对于我这种愚笨的人，rudin的书实在只能囫囵吞枣无一收获。小小的一本，挑一点课后题做，感觉理解的会比较深刻。我还记得看chapter 1 the real number的时候并没有像老师教的过程直接说数种的分类，而是从实数的构造历史和发展来说，可能没有那么有条理，但是会给人恍然大悟的感觉。其实整本书就像是分析入门书一样，很多证明并不严谨，但是可读性很强，对我这种没什么数学修养的人来说是很必要的数分入门书籍。

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不花太久即可掌握最基础的分析方法，并且得以一窥森林，习题穿插文中，语言优美，motivation清晰，自学神书，过渡神书！新时代的好教材！

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对这本书充满了感激之情！循序渐进，习题和正文结合在一起并且给了很多hints手把手教证明，步骤细致清晰，语言优美，总之是我这种数学渣都能坚持下来的实分析入门。（2020.4.7-5.2）用了近一个月自学了一遍，做了几乎全部习题，虽然大部分还是参考着答案才完全弄懂，但确实把很多基础的部分都学明白了。搜了一下网上的讨论，很多人也认为这本书相比 Baby Rubin 更适合作为普通人的 real analysis 入门书。

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这个春节前全部题目做了一遍 其实这本书的内容就变成400多页了