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出版者:Cambridge University Press

作者:Thomas A. Garrity

出品人:

页数:376

译者:

出版时间:2001-11-12

价格:USD 44.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521797078

丛书系列:

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• 数学
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这本书是一场横跨数个世纪的数学发现之旅，它将带领读者探索那些常常被主流数学教育所忽略、却又无比迷人的数学领域。从古希腊数学家的几何智慧，到现代代数和分析学的精巧构建，我们将逐一揭开这些被“错过”的数学瑰宝的面纱。 旅程始于欧几里得《几何原本》之外的几何世界。我们不会止步于平面几何，而是深入探索非欧几何的奇妙空间，感受弯曲时空中几何学的全新维度。想象一下，在一个球面上，三角形的内角和不再是固定的180度，而可以大于或小于它——这将如何改变我们对空间和距离的认知？我们将触及黎曼几何的思想，它不仅是描述宇宙形状的工具，更是现代物理学（如广义相对论）的基石。 接着，我们将转向数论的深邃海洋。除了熟悉的整数性质，我们会探究那些超越初等算术的数域。高斯整数、代数数论的抽象之美，以及丢番图方程的未解之谜，都将一一展现。从费马大定理的百年求索，到质数分布的神秘规律，数论的魅力在于其简单表象下隐藏的复杂结构和深刻洞见。我们将接触到“优美数”、“完全数”等概念，它们不仅是数学家的玩味之物，也与密码学等实际应用息息相关。 在代数领域，我们将在经典群论的基础上，探索更抽象的代数结构。伽罗瓦理论将为我们揭示方程根的对称性如何与域的扩张紧密联系，理解为何五次及以上方程无法用根式求解的深刻原因。抽象代数中的环、域、模等概念，虽然抽象，却构成了现代数学的强大骨架，它们在密码学、编码理论乃至计算机科学中都有着举足轻重的地位。我们将看到，群论不仅仅是关于对称性，它更是理解结构和变换的语言。 分析学的部分，我们将超越微积分的基本运算，进入实分析和复分析的殿堂。勒贝格积分的出现，彻底革新了我们对“面积”和“体积”的理解，为处理更广泛的函数和更复杂的集合提供了强大的工具，对概率论和泛函分析至关重要。复分析则会带领我们进入一个全新的数域，在那里，函数可以被视作光滑的映射，柯西积分定理和留数定理等工具将揭示复数世界的非凡规律，这些在工程和物理学中有着广泛的应用。 本书还将触及一些跨越学科界限的数学思想。拓扑学，作为研究空间在连续形变下不变性质的学科，将带我们领略“橡皮泥几何”的奇妙，理解流形、同胚等概念，以及它们在理解形状和连接性方面的独特作用。从克莱因瓶的无内无外，到环面上的曲线，拓扑学提供了一种全新的视角来审视我们周围的世界。 我们还将探讨一些与逻辑和集合论相关的基础性问题。哥德尔不完备定理的震撼，揭示了形式系统内在的局限性，引发了对数学真理本质的深刻反思。集合论的公理系统，如策梅洛-弗兰克尔公理系统，为我们构建数学大厦奠定了基础，也让我们窥见了无限的复杂性，例如康托尔对不同“大小”的无穷的区分。 此外，概率论中的一些高级概念，如马尔可夫链、随机过程，以及它们在统计物理、金融建模等领域的应用，也将是本书的重要组成部分。我们将看到，概率不仅仅是偶然性的量化，更是理解复杂系统演化和预测趋势的强大工具。 本书并非旨在教授所有这些领域的细节技巧，而是意在勾勒出它们的核心思想、发展脉络以及它们之间错综复杂的联系。通过对这些“被遗忘”的数学分支的探索，我们希望能激发起读者对数学更深层次的兴趣和理解，认识到数学的广阔性、深刻性和持久的魅力。这是一次发现之旅，一次重新认识数学之美的旅程，它将证明，数学的世界远比我们想象的要更加丰富多彩。

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我最近一直在啃一本叫做《Probability: Theory and Examples》的书，这本书带我进入了一个充满随机性和不确定性的迷人世界。作者的语言风格非常严谨而又充满洞察力，他以一种非常系统化的方式构建了概率论的理论框架。从测度论基础开始，逐步引入随机变量、期望、方差，再到各种重要的概率分布，如伯努利、二项、泊松、指数、正态分布等等。我特别欣赏它对“期望”这个概念的深入剖析，它不仅仅是一个简单的加权平均，更是对随机变量“平均值”的深刻理解，以及它在统计推断中的核心作用。书中的例子非常丰富，涵盖了从抛硬币到金融建模的各种场景，这让我能够清晰地看到概率论在现实世界中的应用。我尤其对书中关于大数定律和中心极限定理的讲解印象深刻，它们是连接概率论与统计学的重要桥梁，也解释了为什么我们在很多情况下能够用样本统计量来估计总体参数。作者的证明也都非常严谨，虽然有时候需要反复推敲，但最终理解后的那种满足感是无可比拟的。这本书让我对随机事件的发生概率有了更科学、更理性的认识，也为我理解统计建模和机器学习中的随机性打下了坚实的基础。

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我最近接触了一本关于《Differential Geometry of Curves and Surfaces》的书，它为我描绘了曲线和曲面在微观和宏观层面的奇妙形态。作者的语言非常精炼且富有诗意，他以一种非常系统化的方式，引导读者理解微分几何的核心概念，如切向量、法向量、曲率、挠率、高斯曲率、平均曲率等。我特别欣赏它对“曲率”概念的深入剖析，它不仅仅是对曲线弯曲程度的度量，更是描述曲面局部性质的关键信息。书中的例子非常生动，作者通过分析圆、螺旋线、球面、马鞍面等经典例子，让我们直观地理解了各种几何概念。我印象最深刻的是关于“高斯曲率”的章节，它揭示了曲面内在的几何性质，不受外部嵌入空间的影响，这让我深刻体会到微分几何的深刻思想。这本书让我明白，微分几何不仅仅是研究几何形状，更是研究空间在局部上的性质和结构。它教会我如何用微积分的工具来描述和分析复杂的几何对象，并发现它们之间隐藏的联系。

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我最近在读一本关于《Linear Algebra Done Right》的书，这本书简直就是对线性代数的一次彻底的“正名”。作者的写作风格非常鲜明，他避开了许多传统教材中繁琐的计算和机械的证明，而是从更抽象、更本质的角度来阐述线性代数的概念。从向量空间、线性映射、矩阵，到特征值、特征向量、对角化，这本书都用一种非常统一和优雅的语言来呈现。我特别欣赏它对“向量空间”这一核心概念的强调，它不仅仅是一堆向量的集合，更是具有特定代数结构的集合，这为理解更复杂的线性代数问题奠定了基础。书中的例子非常丰富，从几何空间的向量到函数空间，作者展示了线性代数概念的普适性。我印象最深刻的是关于“线性映射”的讲解，它不仅仅是矩阵的乘法，更是向量空间之间的“结构保持”的变换，这让我对线性代数的几何意义有了更深刻的理解。这本书让我明白，线性代数不仅仅是关于解方程组，更是关于空间、变换和结构。它教会我如何从问题的本质出发，用更简洁、更优雅的方式来解决问题。

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我最近在读一本关于《Number Theory: An Introduction to Proofs》的书，它让我对整数的奥秘有了前所未有的认识。作者的写作风格非常清晰而又充满数学的严谨性，他以一种非常系统的方式，引导读者深入到数论的证明世界。从整除性、素数、同余，到模运算、线性丢番图方程，这本书都做了极其深刻和细致的探讨。我尤其喜欢它在讲解“素数”的性质时，那种对“无限性”的证明，以及它在整个数论体系中的核心地位。书中的例子非常丰富，从费马小定理到欧拉定理，作者展示了数论在密码学等领域的实际应用。我印象最深刻的是关于“同余”的章节，它提供了一种处理整数关系的新方法，也为理解更复杂的数论问题提供了基础。这本书让我明白，数论不仅仅是关于数字的简单性质，更是关于数字之间深刻的、隐藏的规律。它教会我如何用严谨的数学语言来描述和证明这些规律。

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我最近沉迷于一本叫做《Mathematical Foundations of Data Science》的书，感觉就像打开了新世界的大门。作者花了大量篇幅梳理了数据科学背后至关重要的数学原理，从线性代数中的向量空间、矩阵分解，到概率论里的马尔可夫链、贝叶斯推断，再到微积分中的梯度下降、拉格朗日乘数法，无一不讲得透彻。我尤其喜欢它在讲解每个概念时，都会辅以实际的应用场景，比如如何用SVD来做推荐系统，如何用贝叶斯方法进行模型选择。这让我深刻理解了数学不是枯燥的符号堆砌，而是解决现实问题的强大工具。书中的证明过程也十分严谨，虽然有时候会让我驻足思考很久，但一旦弄懂，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。它不仅仅是教我“是什么”，更让我明白“为什么”，以及“如何”运用。比如，在讲到方差和协方差的时候，作者不仅仅给出了公式，还解释了它们在衡量数据散布和变量间关系上的直观意义，这对于我理解数据噪声和特征相关性非常有帮助。此外，书中还涉及了一些统计学中的进阶概念，如假设检验、置信区间，以及如何解释p值，这些对于严谨地进行数据分析和得出可靠结论至关重要。总的来说，这本书让我对数据科学的数学基石有了前所未有的清晰认识，也激发了我进一步深入学习的动力。我感觉自己现在看待数据时，不再只是看到一堆数字，而是能够洞察其背后隐藏的数学结构和规律。

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我最近沉迷于一本名为《Complex Analysis》的书，它带我进入了一个充满奇妙特性的复数世界。作者的写作风格非常迷人，他以一种循序渐进的方式，将读者从实数世界带入到更加广阔的复数平面。从复数的几何表示，到复变函数的概念，再到柯西-黎曼方程、解析函数、保角映射，这本书都做了极其深刻和细致的探讨。我尤其喜欢它在讲解复变函数的可微性时，那种对“解析性”概念的深入剖析，它不仅仅是实变函数中可微的概念，更蕴含着更强的性质，比如无限次可微和泰勒展开。书中的例子非常丰富，从复积分的计算到留数定理的应用，作者展示了复分析在物理、工程等领域的强大作用。我印象最深刻的是关于留数定理的章节，它提供了一种计算复杂复积分的强大工具，也让我对函数的局部性质有了更深刻的认识。这本书让我明白，复分析不仅仅是数学理论，更是一门能够解决实际问题的强大工具。它教会我如何用一种全新的视角来观察数学问题，并从中发现隐藏的规律。

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最近我深入阅读了《Real Analysis: Modern Introduction》这本书，它是一本令人惊叹的数学著作，让我对实数系统和函数的性质有了全新的认识。作者的文笔流畅且富有启发性，他以一种非常清晰而系统的方式，引导读者一步步深入到实分析的精妙世界。从实数的完备性公理开始，到序列的收敛、函数的连续性、导数以及积分，这本书都做了极其深入和细致的探讨。我特别喜欢它在讲解极限和连续性时，那种循序渐进的引入方式，从直观的“越来越近”到严谨的ε-δ定义，每一步都走得扎实而清晰，让我彻底理解了这些基本概念的本质。书中的例子非常生动，作者通过构造各种特殊的函数，比如狄利克雷函数，来展示一些反直觉的数学性质，这让我深刻体会到严谨证明的重要性。我印象最深刻的是关于黎曼积分的章节，作者不仅给出了积分的定义，还深入探讨了可积函数的性质，以及它与泰勒展开等概念的联系。这本书不仅仅是教授技巧，更重要的是培养一种对数学严谨性的追求和对细节的关注。它让我明白，在数学的世界里，每一个定义、每一个定理都经过了精密的推敲和论证，都具有其深刻的意义。

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我最近读了一本关于《Abstract Algebra: A First Course》的书，这本书完全颠覆了我对抽象代数最初的刻板印象。作者的写作风格非常独特，他以一种近乎讲故事的方式来介绍群、环、域等抽象代数的核心概念。一开始，我以为会面对一堆冰冷的符号和抽象的定义，但事实并非如此。书中大量的例子，从对称群到多项式环，都以一种非常直观的方式呈现。我尤其喜欢它对群论中“群”的定义进行分解，然后一层层剥洋葱似地讲解每个公理的意义和重要性。作者并没有急于给出高深的定理，而是引导读者通过思考例子来自然而然地发现规律。比如，在讲解正规子群时，他用了一个非常巧妙的几何例子，让我瞬间理解了正规子群在结构上的特殊地位。书中的证明也都写得非常清晰，每一个逻辑步骤都解释到位，即使是初学者也能跟随。我最喜欢的部分是关于同态和同构的章节，作者通过类比，将它们解释为“结构保持的映射”，这让我对代数结构的 isomorphism 有了非常深刻的认识。这本书让我明白了，抽象代数不仅仅是关于数字和运算，更是关于结构和对称性。它教会我如何从具体例子中提炼出一般性的数学思想，然后用这些思想来理解更复杂的问题。

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我最近读了《The Art of Problem Solving: Calculus》，这本书简直是为那些想真正理解微积分精髓的读者量身定做的。它没有像很多教科书那样枯燥地罗列定义和定理，而是通过一系列精心设计的、充满挑战性的问题来引导读者思考。作者的叙事风格非常生动有趣，常常会用一些生活中的例子来类比复杂的数学概念，比如用速度和位移来解释导数和积分的关系，用曲率来形象化二阶导数。我特别欣赏它在讲解极限时，那种循序渐进的引入方式，从直观的“越来越近”到严谨的ε-δ定义，每一步都走得扎实而清晰。书中的习题难度跨度很大，从基础的计算题到需要创造性思维的证明题，能满足不同水平的学习者。我经常花上几个小时去琢磨一道题，虽然有时会感到挫败，但最终解决问题时的成就感是无与伦比的。它不仅仅是教授技巧，更重要的是培养一种解决数学问题的思维方式。它鼓励我去探索不同的思路，去尝试不同的方法，去不怕犯错。在学到泰勒展开时，作者用近似多项式来模拟复杂函数，这种思想让我觉得非常神奇，也让我对函数的局部性质有了更深刻的理解。此外，书中对于如何应用微积分解决物理、工程和经济学等领域的问题也有不少探讨，这进一步拓宽了我的视野，让我认识到微积分的普适性。

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我最近读了一本叫做《Introduction to Topology》的书，它为我打开了理解空间和连续性的全新视角。作者的写作风格非常严谨而又富有启发性，他以一种系统化的方式，引导读者理解拓扑学的核心概念，如开集、闭集、邻域、连续映射、同胚等。我特别欣赏它对“空间”概念的抽象化处理，它不仅仅是我们熟悉的欧几里得空间，可以是任何满足特定条件的集合，这极大地拓展了我对空间的认知。书中的例子非常直观，作者用面包和甜甜圈的例子来说明同胚的概念，这让我深刻理解了拓扑学在研究“形状”和“连通性”方面的独到之处。我印象最深刻的是关于连通性和紧致性章节的讲解，它们是描述空间性质的重要不变量，也为进一步研究更复杂的拓扑性质奠定了基础。这本书让我明白了，拓扑学不仅仅是研究几何形状，更是研究空间在连续变换下的不变性质。它教会我如何从更抽象的层面去理解数学对象，并发现它们之间隐藏的联系。

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适合美国高年级本科生看，研究生偶尔也可以回头看看入门下没学过的领域。这本书的缺点和优点是一样的：面面俱到但是每个点都没办法细说。不是说每个领域都要完全cover，但是离五星的差距就是没足够的insight和高观点。当然，it does a pretty good job on what it is supposed to do。然而靠这本书是没办法考过中等以上美国学校的phd资格考试的，不过光想靠这本就混过去那也没读phd的必要了。

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It's similar to having dinner with a mathematician who can't stop talking about the topics they love.

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大概高中生就能读，没有看最后几章，感觉最难的是微分形式那章偷懒放下了，对本科数学各部分的核心做了介绍，想了解数学各个领域都是研究什么可以从这本书开始

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短时间翻过用来复习基础知识再顺便看看证明的idea挺不错，然而真的现在还需要看这本查漏补缺而不是一本本刷GTM的也不用考虑去北美读数学phd，而是如我一般最多去读个水硕然后考虑就业了吧= =

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It's similar to having dinner with a mathematician who can't stop talking about the topics they love.