目錄
第1 章素數(1)　　 1
1.1 整除性　　 1
1.2 素數　　 2
1.3 算術基本定理的錶述 　　 3
1.4 素數序列.　　 3
1.5 關於素數的某些問題5
1.6 若乾記號　　 6
1.7 對數函數.　　 8
1.8 素數定理的錶述　　 8
本章附注.　　 10
第2 章素數(2) 12
2.1 Euclid 第二定理的第一個證明　　 12
2.2 Euclid 方法的更進一步的推論　　 12
2.3 某種算術級數中的素數　　 13
2.4 Euclid 定理的第二個證明 　　 14
2.5 Fermat 數和Mersenne 數 　　 15
2.6 Euclid 定理的第三個證明　　 16
2.7 關於素數公式的進一步結果　　 17
2.8 關於素數的未解決的問題　　 19
2.9 整數模.　　 19
2.10 算術基本定理的證明　　 21
2.11 基本定理的另一個證明21
本章附注　　 21
第3 章Farey 數列和Minkowski定理　　 24
3.1 Farey 數列的定義和最簡單的性質　　 24
3.2 兩個特徵性質的等價性　　 25
3.3 定理28 和定理29 的第一個證明　　 25
3.4 定理28 和定理29 的第二個證明　　 26
3.5 整數格點.　　 27
3.6 基本格的某些簡單性質　　 28
3.7 定理28 和定理29 的第三個證明　　 29
3.8 連續統的Farey 分割 　　 30
3.9 Minkowski 的一個定理　　 31
3.10 Minkowski 定理的證明　　 32
3.11 定理37 的進一步拓展　　 34
本章附注　　 36
第4 章無理數　　38
4.1 概論　　 38
4.2 已知的無理數　　 38
4.3 Pythagoras 定理及其推廣　　 39
4.4 基本定理在定理43?45 證明中的應用　　 41
4.5 曆史雜談.　　 41
4.6 p5 無理性的幾何證明　　 43
4.7 更多的無理數　　 44
本章附注.　　 46
第5 章同餘和剩餘　　 47
5.1 最大公約數和最小公倍數　　 47
5.2 同餘和剩餘類　　 48
5.3 同餘式的初等性質　　 49
5.4 綫性同餘式　　 49
5.5 Euler 函數á(m) 51
5.6 定理59 和定理61 對三角和的應用　　 53
5.7 一個一般性的原理 　　 56
5.8 正十七邊形的構造　　 57
本章附注.　　 61
第6 章Fermat 定理及其推論　　 63
6.1 Fermat 定理　　 63
6.2 二項係數的某些性質　　 63
6.3 定理72 的第二個證明　　 65
6.4 定理22 的證明　　 66
6.5 二次剩餘　　 67
6.6 定理79 的特例：Wilson定理　　 68
6.7 二次剩餘和非剩餘的初等性質　　 69
6.8 a (mod m) 的階　　 71
6.9 Fermat 定理的逆定理　　 71
6.10 2p?1 ? 1 能否被p2 整除　　 73
6.11 Gauss 引理和2 的二次特徵　　 73
6.12 二次互倒律　　 76
6.13 二次互倒律的證明　　 78
6.14 素數的判定 　　 79
6.15 Mersenne 數的因子; Euler 的一個定理　　 80
本章附注.　　81
第7 章同餘式的一般性質　　 83
7.1 同餘式的根　　 83
7.2 整多項式和恒等同餘式　　 83
7.3 多項式(mod m) 的整除性　　 84
7.4 素數模同餘式的根　　 85
7.5 一般定理的某些應用　　 86
7.6 Fermat 定理和Wilson 定理的Lagrange 證明　　 88
7.7 ￡12 (p ? 1)¤! 的剩餘　　 89
7.8 Wolstenholme 的一個定理　　 90
7.9 von Staudt 定理　　 92
7.10 von Staudt 定理的證明　　 93
本章附　　95
第8 章復閤模的同餘式　　 96
8.1 綫性同餘式 　　 96
8.2 高次同餘式　　 98
8.3 素數冪模的同餘式　　 98
8.4 例子　　 99
8.5 Bauer 的恒等同餘式　　 101
8.6 Bauer 的同餘式：p = 2 的情形　　 102
8.7 Leudesdorf 的一個定理　　 103
8.8 Bauer 定理的進一步的推論　　 105
8.9 2p?1 和(p ? 1)! 關於模p2 的同餘式　　 107
本章附注　　 109
第9 章用十進製小數錶示數　　 110
9.1 與給定的數相伴的十進製小數　　 110
9.2 有限小數和循環小數　　 112
9.3 用其他進位製錶示數　　 114
9.4 用小數定義無理數　　 115
9.5 整除性判彆法　　 116
9.6 有最大周期的十進製小數　　 117
9.7 Bachet 的稱重問題　　 118
9.8 Nim 博弈　　 120
9.9 缺失數字的整數 　　 122
9.10 測度為零的集閤　　 123
9.11 缺失數字的十進製小數　　 124
9.12 正規數　　126
9.13 幾乎所有的數都是正規數的證明　　 127
本章附注　　 130
第10 章連分數 　　 132
10.1 有限連分數　　 132
10.2 連分數的漸近分數 　　 133
10.3 有正的商的連分數　　 134
10.4 簡單連分數　　 135
10.5 用簡單連分數錶示不可約有理分數　　 136
10.6 連分數算法和Euclid 算法　　 138
10.7 連分數與其漸近分數的差　　 140
10.8 無限簡單連分數　　 141
10.9 用無限連分數錶示無理數　　 142
10.10 一個引理　　 144
10.11 等價的數　　 145
10.12 周期連分數　　 147
10.13 某些特殊的二次根式　　 149
10.14 Fibonacci 數列和Lucas數列　　 151
10.15 用漸近分數作逼近 154
本章附注.　　 157
第11 章用有理數逼近無理數　　 158
11.1 問題的錶述　　 158
11.2 問題的推廣　　 159
11.3 Dirichlet 的一個論證方法　　 160
11.4 逼近的階　　 161
11.5 代數數和超越數　　 162
11.6 超越數的存在性　　 163
11.7 Liouville 定理和超越數的構造　　 164
11.8 對任意無理數的最佳逼近的度量　　 166
11.9 有關連分數的漸近分數的另一個定理　　 168
11.10 具有有界商的連分數　　 169
11.11 有關逼近的進一步定理　　 172
11.12 聯立逼近 　　 173
11.13 e 的超越性　　 174
11.14 的超越性　　 177
本章附注　　 180
第12 章k(1), k(i), k(?) 中的算術基本定理 　　 182
12.1 代數數和代數整數 　　 182
12.2 有理整數、Gauss 整數和k(?)中的整數 　　 182
12.3 Euclid 算法　　 183
12.4 Euclid 算法對k(1) 中的基本定理的應用　　 184
12.5 關於Euclid 算法和基本定理的曆史注釋　　 185
12.6 Gauss 整數的性質　　 186
12.7 k(i) 中的素元 　　 187
12.8 k(i) 中的算術基本定理　　 189
12.9 k(?) 中的整數　　 191
本章附注.　　 193
第13 章某些Diophantus方程　　 194
13.1 Fermat 大定理 　　 194
13.2 方程x2 + y2 = z2 　　 194
13.3 方程x4 + y4 = z4 　　 195
13.4 方程x3 + y3 = z3 　　 196
13.5 方程x3 + y3 = 3z3 　　 199
13.6 用有理數的三次冪之和錶示有理數　　 201
13.7 方程x3 + y3 + z3 = t3 　　 203
本章附注.　　 205
第14 章二次域(1) 　　 208
14.1 代數數域 　　 208
14.2 代數數和代數整數; 本原多項式　　 209
14.3 一般的二次域k(pm) 　　 210
14.4 單位和素元.　　 211
14.5 k(p2) 中的單位　　 212
14.6 基本定理不成立的數域　　 214
14.7 復Euclid 域　　 215
14.8 實Euclid 域　　 217
14.9 實Euclid 域(續)　　 219
本章附注.　　 220
第15 章二次域(2) 　　 222
15.1 k(i) 中的素元 　　 222
15.2 k(i) 中的Fermat 定理 　　 223
15.3 k(?) 中的素元　　 224
15.4 k(p2) 和k(p5) 中的素元　　 225
15.5 Mersenne 數M4n+3 的素性的Lucas 判彆法　　 227
15.6 關於二次域的算術的一般性注釋　　 229
15.7 二次域中的理想　　 230
15.8 其他的域　　 233
本章附注.　　 234
第16 章算術函數á(n), 1(n),d(n), ?(n), r(n) 　　 235
16.1 函數á(n)　　 235
16.2 定理63 的進一步證明　　 236
16.3 M?obius 函數　　 236
16.4 M?obius 反轉公式　　 237
16.5 進一步的反轉公式　　 238
16.6 Ramanujan 和的估計　　 239
16.7 函數d(n) 和?k(n) 　　 241
16.8 完全數.　　 241
16.9 函數r(n) 　　 242
16.10 r(n) 公式的證明　　 244
本章附注.　　 245
第17 章算術函數的生成函數　　 246
17.1 由Dirichlet 級數生成算術函數　　 246
17.2 3 函數.　　 247
17.3 3(s) 在s ! 1 時的性狀　　 248
17.4 Dirichlet 級數的乘法　　 249
17.5 某些特殊算術函數的生成函數　　 251
17.6 M?obius 公式的解析說明　　 253
17.7 函數¤(n)　　 255
17.8 生成函數的進一步的例子　　 257
17.9 r(n) 的生成函數　　 258
17.10 其他類型的生成函數　　 259
本章附注.　　 261
第18 章算術函數的階　　 263
18.1 d(n) 的階 　　 263
18.2 d(n) 的平均階 　　 266
18.3 ?(n) 的階 　　 268
18.4 á(n) 的階　　 269
18.5 á(n) 的平均階 　　 271
18.6 無平方因子數的個數　　 272
18.7 r(n) 的階　　 273
本章附注.　　 274
第19 章分劃.　　276
19.1 加性算術的一般問題　　 276
19.2 數的分劃　　 276
19.3 p(n) 的生成函數　　 277
19.4 其他的生成函數　　 279
19.5 Euler 的兩個定理 　　 280
19.6 進一步的代數恒等式　　 282
19.7 F(x) 的另一個公式　　 283
19.8 Jacobi 的一個定理 　　 284
19.9 Jacobi 恒等式的特例　　 286
19.10 定理353 的應用　　 288
19.11 定理358 的初等證明　　 288
19.12 p(n) 的同餘性質　　 290
19.13 Rogers-Ramanujan 恒等式 　　 292
19.14 定理362 和定理363 的證明　　 294
19.15 Ramanujan 連分數　　 296
本章附注.　　 297
第20 章用兩個或四個平方和錶示數　　 300
20.1 Waring 問題：數g(k) 和G(k)　　 300
20.2 平方和.　　 301
20.3 定理366 的第二個證明　　 302
20.4 定理366 的第三個和第四個證明　　 303
20.5 四平方定理　　 304
20.6 四元數　　 　　 306
20.7 關於整四元數的預備定理　　 308
20.8 兩個四元數的最高右公因子　　 309
20.9 素四元數和定理370 的證明　　 310
20.10 g(2) 和G(2) 的值 312
20.11 定理369 的第三個證明的引理　　 312
20.12 定理369 的第三個證明：錶法個數　　 313
20.13 用多個平方和錶示數　　 316
本章附注.　　 317
第21 章用立方數以及更高次冪錶示數　　 320
21.1 四次冪　　 320
21.2 三次冪：G(3) 和g(3) 的存在性　　 321
21.3 g(3) 的界 　　 322
21.4 更高次冪 　　 323
21.5 g(k) 的一個下界　　 324
21.6 G(k) 的下界　　 324
21.7 受符號影響的和：數v(k) 　　 327
21.8 v(k) 的上界　　 329
21.9 Prouhet-Tarry 問題：數P(k; j)　　 330
21.10 對特殊的k 和j, P(k; j) 的估計　　 332
21.11 Diophantus 分析的進一步的問題　　 334
本章附注.　　 337
第22 章素數(3) 343
22.1 函數#(x) 和?(x) 343
22.2 #(x) 和?(x) 的階為x 的證明　　 344
22.3 Bertrand 假設和一個關於素數的公式" 　　 346
22.4 定理7 和定理9 的證明 　　 348
22.5 兩個形式變換 　　 349
22.6 一個重要的和 　　 350
22.7 Pp?1 與Q(1 ? p?1) 　　 352
22.8 Mertens 定理　　 354
22.9 定理323 和定理328 的證明　　 356
22.10 n 的素因子個數　　 357
22.11 !(n) 和-(n) 的正規階　　 358
22.12 關於圓整數的一個注解　　 361
22.13 d(n) 的正規階　　 361
22.14 Selberg 定理　　 362
22.15 函數R(x) 和V (?) 　　 364
22.16 定理434、定理6 和定理8證明的完成　　 367
22.17 定理335 的證明　　 369
22.18 k 個素因子的乘積 　　 370
22.19 區間中的素數　　 372
22.20 關於素數對p; p + 2 的分布的一個猜想 　　 372
本章附注.　　 374
第23 章Kronecker 定理　　 377
23.1 一維的Kronecker 定理　　 377
23.2 一維定理的證明　　 378
23.3 反射光綫的問題　　 380
23.4 一般定理的錶述　　 382
23.5 定理的兩種形式　　 383
23.6 一個例證　　 384
23.7 Lettenmeyer 給齣的定理的證明　　 385
23.8 Estermann 給齣的定理的證明　 386
23.9 Bohr 給齣的定理的證明　　 388
23.10 一緻分布 　　 390
本章附注.　　 391
第24 章數的幾何　　 393
24.1 基本定理的導引和重新錶述　　 393
24.2 簡單的應用　　 394
24.3 定理448 的算術證明　　 396
24.4 最好的可能的不等式　　 397
24.5 關於?2 + ′2 的最好可能的不等式　　 398
24.6 關於j?′j 的最好可能的不等式.　　 400
24.7 關於非齊次型的一個定理　　 401
24.8 定理455 的算術證明　　 403
24.9 Tchebotaref 定理 　　 404
24.10 Minkowski 定理(定理446)的逆定理 405
本章附注　　 409
第25 章橢圓麯綫　　 413
25.1 同餘數問題　　 413
25.2 橢圓麯綫的加法法則　　 414
25.3 定義橢圓麯綫的其他方程　　 418
25.4 有限階點　　 420
25.5 有理點組成的群　　 424
25.6 關於模p 的點群　　 430
25.7 橢圓麯綫上的整點　　 430
25.8 橢圓麯綫的L- 級數　　 433
25.9 有限階點與模麯綫　　 436
25.10 橢圓麯綫與Fermat 大定理　　 439
本章附注　　 441
參考書目　　 445
附錄.　　 449
特殊符號以及術語索引　　 452
常見人名對照錶　　 455
總索引　　 457
《哈代數論(第6 版)》補遺　　 461
· · · · · · (收起)