具体描述
《流形拓扑学:理论与概念的实质》是一部关于流形的拓扑学专著，较全面和系统地介绍了拓扑学大多数重要领域中的理论与方法。内容涉及微分拓扑、同调论、同伦论、微分形式与谱序列、不动点理论、Morse理论，以及向量丛的示性类理论。同时，书中也介绍了作者新发展的流形共轭结构理论，主要结果包括共轭对称性定理，上、下同调群的几何化定理，最小共轭元球面定理.在这些定理基础上，同调论和同伦论中许多重要定理与结果，如Poincare对偶，Lefschetz对偶，Kunneth公式，上、下同调群，以及Hurewicz定理等的实质及直观意义变得更清楚了。
《流形拓扑学:理论与概念的实质》适合于数学、理论物理等相关专业的高年级大学生、研究生、教师及研究人员学习和参考。
作者简介
目录信息
前言
第1章 微分流形
1.1 基本概念
1.1.1 流形的概念
1.1.2 物理背景的流形
1.1.3 坐标系与微分结构
1.1.4 切空间与切映射
1.1.5 流形的定向
1.1.6 数学中的一些重要流形
1.2 流形的嵌入
1.2.1 反函数与隐函数定理
1.2.2 子流形的浸入与嵌入
1.2.3 到RN中的嵌入
1.2.4 Whitney嵌入定理
1.3 Frobenius定理
1.3.1 流形上的向量场与流
1.3.2 向量场的Poisson括号积
1.3.3 Frobenius定理
1.3.4 两种等价的定理形式
1.4 正则值与横截性
1.4.1 Sard定理
1.4.2 横截性
1.4.3 Thom横截性定理
1.5 向量丛与管形邻域
1.5.1 向量丛
1.5.2 平凡丛的判别
1.5.3 向量丛的运算
1.5.4 万有向量丛
1.5.5 管形邻域定理
1.6 纤维丛
1.6.1 纤维丛的概念
1.6.2 球面的Hopf纤维化
1.6.3 主丛与万有丛
第2章 同调理论
2.1 同调群
2.1.1 同调群的实质
2.1.2 可剖分空间的单纯复形
2.1.3 单纯同调群
2.1.4 单纯同调群的拓扑不变性
2.1.5 Euler示性数及Euler-Poincare公式
2.1.6 奇异同调群
2.1.7 单纯同调群与奇异同调群的同构
2.2 流形的共轭结构与同调几何化定理
2.2.1 流形的共轭元
2.2.2 正则流形
2.2.3 共轭元分类与同调类的几何化
2.2.4 Kunneth公式与Leray-Hirsch定理
2.2.5 万有系数定理
2.2.6 一些流形的同调群
2.3 上同调论
2.3.1 上同调的实质
2.3.2 上同调群
2.3.3 上同调几何化定理的证明
2.3.4 同调环的结构
2.4 正合同调序列
2.4.1 相对同调群与切除定理
2.4.2 相关代数理论
2.4.3 同调序列
2.4.4 Mayer-Vietoris序列
2.4.5 正合序列的应用
2.5 流形的对称性
2.5.1 引言
2.5.2 共轭结构的对称性定理
2.5.3 Poincare对偶
2.5.4 带边流形的共轭结构及其对称性
2.5.5 Lefschetz对偶
2.5.6 Alexander对偶定理
第3章 谱序列及微分形式
3.1 过滤复形的谱序列
3.1.1 引言
3.1.2 Massey正合偶与谱序列的构造
3.1.3 双复形及其谱序列
3.2 微分形式与de Rham复形
3.2.1 Rn中的微分形式
3.2.2 流形上的de Rham复形
3.2.3 微分形式的积分
3.2.4 Stokes公式
3.2.5 Poincare引理
3.2.6 关于de Rham上同调的注记
3.3 Cech-de Rham复形及谱序列的应用
3.3.1 背景介绍
3.3.2 层的概念
3.3.3 Cech上同调
3.3.4 Cech-de Rham复形
3.3.5 de Rham定理
3.3.6 de Rham上同调的几何表示
3.4 微分形式的Hodge分解定理
3.4.1 介绍
3.4.2 Hodeg*算子
3.4.3 流形上的张量场
3.4.4 Riemann流形
3.4.5 Laplace-Beltrami算子
3.4.6 Hodge定理
第4章 同伦论
4.1 同伦群
4.1.1 基本概念
4.1.2 一些基本性质
4.1.3 相对同伦群
4.1.4 同伦群的几何表示
4.1.5 正合同伦序列
4.1.6 直和分解公式
4.1.7 一些流形的同伦群
4.2 一些重要性质
4.2.1 共轭元的球面定理
4.2.2 πn(Sn)的计算与Hopf同伦分类
4.2.3 Hurewicz定理
4.2.4 基本群的性质
4.2.5 Whitehead乘积
4.2.6 三联组同伦群
4.2.7 道路空间ΩX(A,B)上的同伦群
4.3 障碍理论
4.3.1 映射的延拓问题
4.3.2 n单式空间
4.3.3 映射的障碍类
4.3.4 同伦延拓定理
4.3.5 (n-1)连通空间的同伦分类
4.4 纤维丛上的谱序列及其应用
4.4.1 Leray谱序列定理
4.4.2 奇异链的双复形
4.4.3 一些应用
4.4.4 Gysin序列与王宪钟序列
4.4.5 Hurewicz定理谱序列的证明
4.5 球面同伦群的计算
4.5.1 Eilenberg-MacLane空间
4.5.2 Postnicov纤维化序列与π4(S3)的计算
4.5.3 Whitehead纤维化与π5(S3)的计算
4.5.4 球面同伦群的Serre定理
4.5.5 Freudenthal同纬像定理
4.5.6 部分πn+k(Sn)的结果
第5章 奇点理论与指标公式
5.1 不动点及其指数
5.1.1 Brouwer不动点定理
5.1.2 Lefschetz数
5.1.3 映射的Brouwer拓扑度
5.14 流形上不动点指数
5.2 奇点的指标公式
5.2.1 Lefschetz不动点指数公式
5.2.2 紧流形上向量场的Poincare-Hopf指标定理
5.2.3 向量场边界奇点的指标
5.2.4 带边流形的向量场指标公式
5.3 不动点类理论
5.3.1 一般介绍
5.3.2 流形上的不动点类及Nielsen数
5.3.3 S1上映射的提升类
5.3.4 映射的提升类与Reidemeister数
5.3.5 姜伯驹群与Nielsen数的计算公式
5.4 Morse理论(I)
5.4.1 基本概念
5.4.2 Morse理论的基本定理
5.4.3 流形的CW复形伦型
5.4.4 Morse不等式
5.4.5 最少临界点数与流形分解
5.4.6 h配边定理与n≥5的Poincare猜想
5.5 Morse理论(II)
5.5.1 能量泛函及其临界点的Morse指标
5.5.2 Riemann流形上的测地线
5.5.3 能量泛函的二次变分与Jacobi场
5.5.4 指标定理
5.5.5 ΩM的CW复型结构
5.5.6 Bott周期定理
第6章 示性类
6.1 基本概念与框架
6.1.1 向量丛的示性类
6.1.2 Grassmann流形与示性类的关系
6.1.3 Thom同构定理
6.1.4 可定向Rm丛的Euler类
6.2 Stiefel-Whitney类
6.2.1 实向量丛上Z2系数示性类的构造
6.2.2 Stiefel-Whitney数与流形的配边
6.2.3 Z2示性类的基本性质
6.2.4 流形M×M的对角上同调类
6.2.5 切丛上Stiefel-Whitney类的吴文俊公式
6.2.6 吴文俊公式的应用
6.3 陈省身示性类
6.3.1 Chern类的构造
6.3.2 Chern数与Euler示性数
6.3.3 复Grassmann流形的上同调环
6.3.4 一些Chern类的计算
6.4 Pontrjagin类
6.4.1 Rn丛的实系数示性类
6.4.2 Pontjagin数与可定向配边环
6.4.3 Thom配边理论
6.4.4 Hirzebruch符号定理
6.4.5 Hirzebruch-Riemann-Roch定理
参考文献
《现代数学基础丛书》已出版书目
· · · · · · (收起)
读后感
评分
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用户评价
“流形拓扑学”这个书名，给我一种探寻宇宙深层结构的数学之旅的预感。我一直对物理学和数学的交叉领域充满好奇，而流形正是描述时空的基本框架。我猜想，这本书会从最基本的拓扑空间的概念入手，逐步构建起流形这一核心概念。我尤其期待书中对“局部性质”和“整体性质”的区分，以及如何通过局部坐标系来理解整体的几何结构。我希望书中能够用生动形象的比喻，来解释那些抽象的数学概念，例如将流形想象成一张被随意揉捏但不会撕裂的纸。对于流形本身，我非常好奇其“光滑性”的定义，以及它如何使得我们在流形上进行微分运算。书中是否会介绍一些著名的流形，比如李群，以及它们在几何和代数中的重要性？我也期待书中能够触及到流形在物理学中的应用，比如在广义相对论中，时空被描述为一个四维的流形，这对我来说是极具吸引力的。我相信，这本书能够帮助我深入理解数学的抽象之美，并拓展我对空间和形状的认识。
评分当我看到这本《流形拓扑学》的书名时，我的脑海中立刻浮现出那些奇妙而又难以捉摸的几何图形。我一直认为，数学中最迷人的部分就是那些挑战我们感官认知、却又能在逻辑上自洽的概念。我猜想，这本书会从最基础的拓扑空间开始，逐步构建起流形这一核心概念。我特别想了解，书中是如何定义一个流形的？它需要满足哪些条件？例如，一个光滑的曲面，它在局部来看是否就是一个欧几里得空间？书中会不会提供一些具体的例子，比如球面、环面，它们是如何被定义为流形的？我非常好奇的是，关于“度量”和“微分结构”的概念，在流形理论中扮演着怎样的角色？一个流形是否可以拥有不同的度量，而这些度量又会带来怎样的性质上的差异？我期望这本书能够引导我理解，流形不仅仅是抽象的数学对象，它们更是描述我们宇宙结构的基础。例如，时空本身是否就是一个四维流形？书中是否会触及到这方面的应用？我期待的不仅仅是知识的获取，更是对数学之美的深刻体会，以及对宇宙奥秘的更深层次的理解。
评分这本书的名称，"流形拓扑学"，听起来就充满了严谨与探索的意味。我一直认为，数学中最迷人的部分，莫过于那些能够用抽象的符号和逻辑，去刻画我们所处世界的本质规律。我猜想，书中会从最基础的集合论和拓扑空间的概念开始，逐步引入流形的定义。我特别想了解，书中是如何定义“开集”、“闭集”以及“邻域”等基本概念的？它们又是如何构建起一个抽象的拓扑空间的？而流形，它又为何被称作“局部欧几里得”？书中是否会提供详尽的图解，来展示球面、环面等流形的局部特征？我非常期待书中对“光滑结构”的论述，它赋予了流形微分的性质，使得我们可以进行微积分运算，从而研究流形的几何属性。例如，切空间、向量场、微分形式等概念，它们在书中是如何被引入和解释的？我也希望这本书能够涉及流形在微分几何和物理学中的应用，比如爱因斯坦的广义相对论，它就是基于流形理论来描述时空的。
评分我一直对几何学的边界感到好奇，尤其是那些超越我们日常直观理解的维度。这本书的书名，"流形拓扑学"，本身就带着一种神秘而引人入胜的气息。我设想，这本书大概会从最基本的点、线、面开始，然后逐渐过渡到更复杂的概念，比如“形变”和“连续性”。 我尤其期待书中关于“同胚”的论述，它究竟是如何区分两个看似不同却本质上相同的空间的？例如，一个甜甜圈和一个咖啡杯，它们在拓扑学上是否是等价的？如果是，书中会用怎样严谨而又易于理解的方式来证明这一点？ 我也很好奇，书中会不会深入探讨一些著名的拓扑不变量，比如欧拉示性数，它是如何捕捉一个空间的内在特征的？ 我想象着，书中会充斥着各种精妙的例子，用以说明抽象的拓扑概念。或许，书中还会涉及一些著名的猜想和定理，例如庞加莱猜想，它的证明过程是否会被简化地呈现出来，以便非专业读者也能一窥其奥秘？ 我对这本书的期待，在于它能够帮助我建立起一种全新的几何直觉，一种能够脱离具体坐标系和度量，去感受空间本质属性的直觉。我希望它不仅仅是知识的堆砌，更是思维方式的启迪。
评分初次见到《流形拓扑学》这本书，我的好奇心就被点燃了。我一直认为，数学的魅力在于它能够用严谨的逻辑去描述和理解那些我们肉眼难以企及的抽象概念。我猜想，这本书会从最基础的拓扑空间概念开始，逐步深入到流形的定义和性质。我尤其期待书中对“开集”、“闭集”和“邻域”等基本概念的详细解释，它们是如何构建起拓扑空间的骨架？而流形，它究竟是如何被定义为一个局部像欧几里得空间的拓扑空间？书中会不会有大量的图示来辅助我们理解，比如将球面、圆柱面等例子清晰地展示出来？我非常想知道，关于“切空间”和“法空间”的概念，在流形理论中扮演着怎样的角色？它们又是如何帮助我们理解流形的局部几何性质的？我对书中关于“微分结构”的论述也充满期待，它赋予了流形光滑的性质，使得我们可以进行微分运算。这本书是否会介绍一些著名的流形，比如李群，以及它们在代数和几何中的重要性？我希望这本书能够帮助我建立起对高维几何的直观理解，并领略到数学中那份严谨而又充满创造力的美。
评分这本书的书名《流形拓扑学》本身就带着一种探索未知的诱惑。我一直对那些能够将看似毫无关联的事物联系起来的数学理论充满兴趣，而拓扑学恰恰是这样一种学问。我设想，书中会从最基础的集合论和拓扑空间的概念讲起，然后逐步深入到流形的定义。我尤其好奇，书中会对“连续映射”和“同胚”等概念进行怎样的阐释？它们是如何帮助我们理解不同形状之间的等价性的？我期待书中能够用生动形象的比喻来解释这些抽象的概念，比如将拓扑空间比作一张被拉伸或压缩但不会被撕裂的橡胶膜。对于流形本身，我希望书中能够详细介绍其局部欧几里得性质，以及光滑结构和微分结构的重要性。例如，球面和环面作为常见的流形，它们在书中会被如何分析？我非常想了解，那些更为奇特的流形，比如李群，它们是如何被构建和研究的？我也期待书中能够提及一些流形在几何学和物理学中的重要应用，例如在微分几何、广义相对论中的作用。我相信，这本书能够帮助我打开一扇新的数学视野，让我领略到数学的抽象之美与内在逻辑。
评分《流形拓扑学》这个书名，一下子就抓住了我求知欲的痒处。我一直对那些能够描述连续变化的数学工具很感兴趣，而拓扑学和流形理论恰恰是描述这类现象的强大框架。我设想，这本书会从最基本的拓扑空间的概念开始，深入探讨“连续性”、“连通性”以及“紧致性”等性质。我特别想了解，书中是如何定义“流形”的？它需要满足哪些关键的条件，才能被称为一个流形？我期待书中能够提供清晰的图示，来帮助我们理解各种不同类型的流形，比如球面、环面、以及一些更高维度的例子。我非常好奇，关于“光滑结构”和“微分结构”的概念，在流形理论中扮演着怎样的角色？它们是如何赋予流形“光滑”的性质，从而允许我们在上面进行微积分运算的？我也期待书中能够提及一些著名的流形，例如李群，以及它们在代数和几何中的应用。我相信，这本书能够帮助我理解数学中那些抽象而又深刻的概念，并拓展我理解空间和形状的边界。
评分当我第一次看到《流形拓扑学》这个书名时，我的脑海中立刻涌现出无数抽象而又美妙的数学图像。我一直认为，数学最令人着迷之处在于它能够用严谨的逻辑构建出超越我们日常经验的世界。我猜想，这本书会从最基础的拓扑空间概念开始，逐步引出流形的定义。我非常好奇，书中会如何解释“同胚”这一核心概念？它究竟是如何衡量两个空间在拓扑意义上的等价性的？我期待书中能够用一些经典的例子，比如咖啡杯与甜甜圈的同胚，来帮助我们建立直观的理解。对于流形本身，我希望能深入了解它的“局部欧几里得性”以及“光滑性”的意义。例如，一个二维流形，它在每个点附近是否都可以被一个光滑的坐标图所覆盖？书中是否会介绍一些关于流形的分类定理，比如哪些流形是紧致的，哪些是可定向的？我也期待书中能够触及到流形在微分几何中的应用，比如如何定义流形上的向量场、微分形式，以及它们在研究曲率等几何性质中的作用。
评分这本书的封面设计就让我眼前一亮，那种深邃的蓝色和银色线条交织在一起，仿佛预示着书中蕴含着宇宙般广阔而复杂的数学思想。拿到手里，纸张的触感温润而厚实，字迹清晰，排版也十分舒服，让人立刻就想沉浸其中。尽管我并非科班出身，但读过一些入门级的数学普及读物，对抽象概念的理解能力尚可。我最期待的是书中对“流形”这个概念的阐述，它究竟是如何在低维空间中想象出高维结构的？书中会不会有生动形象的比喻，或者精巧的几何构造图示来帮助我们理解？我尤其好奇，那些原本只存在于理论中的奇特形状，例如克莱因瓶、射影平面，它们在书中是如何被数学语言“具象化”的？我希望这本书能够循序渐进，从最基础的拓扑空间的概念讲起，逐步引入流形的定义，再到各种重要的流形类型和性质。同时，我也希望书中能够探讨流形在物理学，比如广义相对论中的应用，这对我来说是极具吸引力的。毕竟，将数学的抽象之美与现实世界的奥秘联系起来，总是能激发出更深层次的思考和探索欲。我相信，这本书不仅仅是一本教科书，更是一扇通往更高深数学殿堂的窗户。
评分《流形拓扑学》这个书名，听起来就有一种深邃而富有挑战性的感觉。我一直对那些能够揭示事物本质的理论深感兴趣，而拓扑学正是这样一门研究空间不变性质的学问。我设想，这本书会从最基本的拓扑空间的概念讲起，然后逐步引出流形的定义。我特别想了解，书中是如何区分“拓扑等价”和“几何等价”的？例如，一个正方形和一个圆，它们在拓扑上是等价的，但几何上却有很大差异。我期待书中能够清晰地阐述这些概念，并通过具体的例子来加以说明。对于流形本身，我希望书中能够深入探讨它的“局部性质”以及“整体性质”。例如，一个曲面在局部看起来像平面，但整体可能是一个球面或环面。书中会如何定义和分析这些局部坐标系？我非常好奇，关于“微分流形”和“黎曼流形”的区别与联系，它们又如何为研究流形提供了更强大的工具？我也期待书中能够提及一些流形在物理学中的应用，例如在广义相对论中，时空本身就是一个流形，这对我来说是非常具有吸引力的。
评分一本不错的全面的参考书 整理了（抄了，不过作者自己都说了）许多经典教材 除了第二章什么同调的本质那块写的一塌糊涂 自己发明的主定理居然只是猜想 呵呵哒
评分这人挺会写书的，满篇公式却比科普还好看。
评分回”GoodMorning“：做出这种评价，说明你并没看懂这本书的精髓。作者发现的主定理并不是他的猜想（除了"所有流形都是正则流形“这个论述）。回顾可剖分流形的概念，也并非所有流形都是可剖分的呀，但可剖分流形确实同调论的基础！因为“流形都是正则流形“这个猜想而全面否定作者所创共轭元理论的价值，这个看法过于主观。 这本书集合并总结了许多代数拓扑和微分拓扑学大师的理论，从Poincare和Brouwer到Bott、Hopf、Milner、Harries、Whitehead、Thom、Leray、Thurston、Hirzebruch、Pontrjagin、陈省身、吴文俊、王宪忠、张恭庆、姜伯驹等国内外数学大师的主要贡献都被囊括到了这本著作中，并且角度非常之宽。这本书绝对堪称拓扑学领域的集大成之作
评分一本不错的全面的参考书 整理了（抄了，不过作者自己都说了）许多经典教材 除了第二章什么同调的本质那块写的一塌糊涂 自己发明的主定理居然只是猜想 呵呵哒
评分其同调几何化实质本身就是庞加莱对偶的几何描述：横截性带来的显示表达
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