Introduction to Quantum Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Boston

作者:George Lusztig

出品人:

页数:360

译者:

出版时间:2010-11-2

价格:USD 65.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780817647162

丛书系列:Modern Birkhäuser Classics

图书标签:

• 数学
• 【教材】
• topology
• RT
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• Birkhäuser
• 2010
• 量子群
• 李代数
• 表示论
• Hopf代数
• 量子变形
• 数学物理
• 高等代数
• 量子空间
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• 张量范畴

《量子群导论》 本书为数学和理论物理领域的研究者和高年级本科生提供了一扇探索量子群这一迷人数学结构的窗口。量子群，作为经典李群和代数的非交换变形，在代数、几何、表示论以及统计力学和量子场论等诸多物理分支中展现出令人惊叹的联系和深刻的应用。 本书的写作旨在以清晰、严谨且循序渐进的方式，引导读者理解量子群的核心概念、构造方法以及重要的理论性质。我们避免了过于简略的介绍，力求深入阐述每一个关键的数学细节，并提供足够的背景知识，使得即使对相关领域不甚熟悉的读者也能逐步掌握。 本书内容概述： 第一部分：理论基础与代数结构 何为“量子群”？ 我们将从动机出发，介绍量子群为何需要被提出，以及它们如何可以被视为经典结构的“量子化”。这包括对经典李代数、李群以及 Hopf 代数的回顾，为后续的量子群理论奠定坚实的基础。 Hopf 代数的框架： 量子群最根本的代数结构是 Hopf 代数。本书将详细阐述 Hopf 代数的定义、基本性质以及与之相关的运算，如结合律、单位律、对极运算（antipode）、余乘法（comultiplication）和余单位（counit）。我们将通过具体的例子，例如群代数和泛包络代数，来生动地展示 Hopf 代数的特性。 杨-Baxter 方程与 R-矩阵： 量子群的许多重要性质与杨-Baxter 方程紧密相关。我们将深入探讨杨-Baxter 方程的几何意义和代数含义，并介绍 R-矩阵作为其解的普遍形式。R-矩阵在打结理论、可积系统以及量子可积模型中扮演着核心角色。 三角 Hopf 代数（Triangular Hopf Algebras）： 引入“三角结构”是量子群超越普通 Hopf 代数的重要特征。我们将详细讨论三角 Hopf 代数，包括其对偶性以及与 R-矩阵的内在联系。 第二部分：具体的量子群构造与性质 量子群 $U_q(mathfrak{g})$： 本书将重点介绍一类最重要的量子群——量子群 $U_q(mathfrak{g})$，它是经典李代数 $mathfrak{g}$ 的量子化。我们将逐步介绍其生成元、关系式以及其代数构造。重点将放在 $A_n$ 和 $B_n$ 型李代数的量子群的构造上，并提供足够的细节以便读者亲手进行计算。 量子群的表示： 与经典群和代数类似，量子群的表示论是理解其结构的另一关键。我们将介绍量子群表示的定义、不可约表示的构造以及最高权表示。我们将通过 $U_q(mathfrak{sl}_2)$ 的表示来具体阐述相关概念，并讨论其与顶点算子代数（Virasoro 代数）表示的联系。 量子群的对偶性： 量子群的对偶性是其深刻性质之一。我们将探讨量子群与其对偶量子群之间的关系，并介绍相关构造，如对偶量子群的表示。 量子群的晶格（Crystal Bases）： 晶格基是量子群表示论中的一个强大工具，它提供了一种组合方式来理解表示的结构。我们将介绍晶格的概念、诱导运算以及晶格基的性质，并说明其在计算表示的维度和特征标上的应用。 第三部分：应用与拓展 统计力学与可积模型： 量子群在研究二维统计力学模型（如冰模型、XXZ 模型）以及可积量子系统中扮演着至关重要的角色。我们将概述量子群如何出现在这些模型的解法中，例如通过 R-矩阵的构型。 代数几何与非交换几何： 量子群的出现也对代数几何产生了深远影响。我们将简要介绍量子群在代数几何中的应用，例如通过量子群的黎曼曲面理论，以及与非交换几何的初步联系。 其他重要课题（简述）： 为了给读者提供更广阔的视野，我们将简要提及一些其他重要但可能超出本书范围的课题，例如双代数（Drinfeld algebras）、量子仿射代数（quantum affine algebras）、量子群的黎曼西格玛模型（quantum group valued Riemann sigma models）等。 本书的特点： 循序渐进： 从基础概念出发，逐步深入，逻辑清晰。 概念阐释： 深入剖析抽象概念，提供直观理解。 实例丰富： 大量使用具体数学例子，帮助读者掌握理论。 严谨性： 保持数学上的严谨性，为深入研究打下基础。 侧重理解： 强调概念的内在联系和物理直觉，而非单纯的符号推导。 本书的写作力求能够帮助读者建立起对量子群的深刻理解，并激发他们进一步探索这个充满活力的研究领域的兴趣。我们相信，通过学习本书，读者将能够欣赏到量子群作为连接不同数学和物理分支的桥梁所展现出的优雅与力量。

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这本书的封面设计堪称经典，那种深邃的蓝色调配上银色的字体，初看之下就给人一种庄重而神秘的感觉，仿佛打开的不仅仅是一本书，更是一扇通往更高维度数学物理世界的门。我记得我是在一家老旧的书店里偶然发现它的，当时还略带怀疑，毕竟“量子群”这个概念本身就带着一层学术的壁垒。翻开第一页，作者的引言并没有直接跳入复杂的代数结构，而是用一种近乎诗意的语言，描绘了经典群论在描述对称性方面的局限，并引出了引入新的代数工具——量子群的必要性。这种叙事方式极大地降低了读者的心理门槛，让人感觉到，这并非是一本枯燥的教科书，而更像是一部精心编排的导览手册。尤其欣赏的是，作者在介绍背景知识时，并没有完全依赖于读者已经掌握了所有高等代数和表示论的知识，而是巧妙地穿插了一些简短的复习和类比，比如将辫子群与量子群的特定结构联系起来，使得那些初次接触Kauffman括号或者Drinfeld量化条件的读者，也能找到一个可以依附的锚点。整本书的排版也十分考究，公式的间距、定理的编号都处理得当，阅读体验极为流畅，让人愿意沉下心来，慢慢品味其中蕴含的深刻思想。

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从阅读体验来看，这本书的语言风格非常具有学者的风范，冷静、精确，但又充满着对数学美学的欣赏。我发现在阅读某些复杂的证明时，例如关于量子群的Petersen分解或者某些特定Chevalley群的量子化过程时，那些冗长而复杂的推导过程，被作者组织得如同精密的机械结构，每一步的逻辑推演都像是齿轮咬合，严丝合缝，没有一丝冗余或跳跃。这表明作者在撰写过程中，必然是经过了大量的自我修正和打磨。一个突出的特点是，书中对“例子”的使用极为克制且高效。它不像某些教材那样，为了凑篇幅而堆砌大量的低阶例子；相反，每一个给出的例子都是为了阐明一个关键概念，或者为了展示一个复杂结构的简化缩影。比如，在讨论量子对角化时，作者用 $q$-调和分析中的基本概念来佐证量子群表示的特征，这种跨领域的隐性连接，展现了作者深厚的学术积累。对于有一定基础的读者来说，这本书如同进行了一次高质量的学术研讨会，每隔几页就会有一个“啊哈！”的时刻，证实了某些先前模糊的直觉。

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读完这本书的初稿部分，我的直观感受是，它在数学严谨性和教学清晰度之间找到了一个近乎完美的平衡点。很多关于量子群的入门材料往往要么过于侧重于物理应用，导致数学结构模糊不清，要么就是一上来就抛出大量的公理和抽象定义，让初学者望而却步。然而，这本著作的作者似乎深谙此道，他们选择了一条循序渐进的路径。例如，在处理Hecke代数和量子群 $U_q(mathfrak{g})$ 的关系时，作者没有直接使用R-矩阵的复杂性质，而是先用有限维表示的例子，展示了 $R^2 = (q-q^{-1})R + I$ 这种核心关系的直观几何意义，然后才系统地推导出Yang-Baxter方程。这种“先见其形，后求其理”的教学策略，极大地增强了读者的理解深度。我个人尤其喜欢其中关于量子双代数结构的那一章，作者对Hopf代数性质的阐述清晰有力，对于结构映射（如对偶映射和反映射）的讨论详尽而又不失精炼，使得原本抽象的代数运算在脑海中逐渐具象化为一个有机的整体。对于任何想要深入研究可积系统或拓扑量子场论的数学物理研究生来说，这本书提供了一个坚实且富有启发性的起点。

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这本书的深度和广度，远超出了我对于一本“入门”书籍的预期。它不仅仅停留在介绍标准的量子群 $U_q(mathfrak{sl}_2)$ 及其表示论上，更令人惊喜的是，它还大胆地涉足了一些前沿领域。例如，关于量子群在非交换几何和代数K理论中的应用讨论，虽然篇幅不长，但足以激发读者进一步探索的兴趣。我特别留意了关于量子环（Quantum Affine Algebras）那一章的结构，作者是如何将有限维的量子群提升到无限维的框架下的，这个跨越处理得非常优雅。书中对Knizhnik-Zamolodchikov（KZ）方程的提及，虽然是作为应用案例出现的，但其引入的方式非常巧妙，它不再是孤立的物理公式，而是被置于量子群表示如何作用于具有特定拓扑结构的向量空间这一更广阔的代数背景之下。这使得KZ方程不再只是一个需要记忆的复杂公式，而成为了量子群结构内在一致性的一个自然体现。这本书的价值在于，它不仅教会了读者“如何计算”，更重要的是教会了读者“为什么这样做是自然的”——这种对内在结构的深刻洞察力，才是区分优秀教材与平庸参考书的关键所在。

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如果要用一个词来概括这本书的特质，那一定是“视野的拓展”。它成功地将看似冷僻的纯代数对象——量子群，置于一个更宏大的数学物理图景中，使得读者能清晰地看到其在纽结理论、低维拓扑以及量子信息科学中的潜在价值。书中对于量子群与李代数拓扑性质之间张力的讨论，是全书的亮点之一。作者通过对 $q o 1$ 极限的系统分析，清晰地展示了量子群如何退化回传统的李代数泛包络，这个过程的处理极其精妙，既是对前述代数结构的一种检验，也是对读者理解深度的一个测试。此外，书末的“展望”部分，虽然是点到为止，但其中提到的关于非交换李群和量子群作为量子对称性基本工具的地位，极大地拓宽了我对“对称性”概念的理解边界。这本书不仅仅是一本关于量子群的教材，它更像是一份邀请函，邀请读者参与到当代数学物理领域中最激动人心的一些探索中去。它不是教你如何使用工具，而是教你理解工具背后的哲学与逻辑。

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