Elementary Concepts of Topology pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Paul Alexandroff

出品人:

页数:64

译者:Alan E. Farley

出版时间:1961-6-1

价格:USD 7.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486607474

丛书系列:Dover Books on Mathematics

图书标签:

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• 拓扑学
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拓扑学的基本概念 本书旨在为读者打开通往拓扑学奇妙世界的大门，介绍这一数学分支的核心思想和基本工具。拓扑学，常被称为“软几何”，它研究的是在连续变形下保持不变的空间性质。不同于欧几里得几何关注长度、角度和形状，拓扑学更侧重于连接性、洞和整体结构。 本书将从最基础的定义出发，逐步深入。我们将首先探讨集合论的一些基本概念，因为它们是构建拓扑空间的基础。这包括对集合、子集、并集、交集、补集等操作的理解，以及函数和关系的性质。这些工具将帮助我们精确地描述和操作拓扑空间中的各种元素。 接着，我们将引入拓扑空间的核心定义：一个集合配上一个特定的“开集族”。我们将详细解释什么是开集，以及它们如何定义拓扑的结构。通过一系列例子，读者将能够理解不同拓扑的构造方式，例如离散拓扑、平凡拓扑，以及更常见的欧几里得空间的拓扑。我们还将讨论闭集，它们是开集的补集，并且同样具有重要的拓扑性质。 本书的一大重点将是连续性。在拓扑学中，连续函数有着一个非常简洁而强大的定义，它仅仅依赖于开集。我们将展示这个定义如何推广了我们对连续函数的直观理解，并且它在拓扑学中扮演着至关重要的角色。我们还会探讨同胚的概念，这是拓扑学中“相同”的定义。两个拓扑空间如果同胚，那么它们在拓扑学意义上就是等价的，这意味着我们可以通过连续的变形（拉伸、弯曲、但不撕裂或粘合）将一个变成另一个。 本书将进一步探索拓扑空间的一些重要性质。我们将介绍连通性，它描述了一个空间是否可以被分成不相交的开集。一个连通的空间就像一个整体，无法被“割裂”。我们还将研究紧致性。紧致性是一个非常重要的性质，它在分析学和几何学中都有广泛的应用。直观上，紧致空间可以被看作是“有限大小”的，并且“没有无穷远的缺失部分”。我们将通过多种方式来刻画紧致性，包括开覆盖的定义，以及在度量空间中的序列紧致性。 为了更好地理解拓扑空间的结构，我们将引入度量空间的概念。度量空间是具有距离概念的拓扑空间，这使得我们可以谈论点之间的远近，以及开集和闭集的“球状”结构。我们将研究度量空间中的收敛，这与我们之前讨论的连续性密切相关。 此外，本书还将初步介绍可分性和第二可数性等性质。这些性质描述了空间的“大小”和“复杂度”，对于理解更高级的拓扑概念至关重要。我们将看到，这些性质是如何影响空间中能够存在的开集和闭集的数量的。 在处理更复杂的拓扑结构时，建构新空间的技术是必不可少的。本书将介绍两种重要的方法：商空间和积空间。商空间允许我们通过“粘合”点来构造新的拓扑空间，例如在一个圆盘的边缘上粘合起来形成一个球面。积空间则允许我们将多个空间组合起来，形成一个高维度的空间。我们将通过实例来展示这些建构方法的强大之处。 最后，我们将探讨拓扑学的一些应用和联系。虽然本书侧重于基础概念，但我们将简要提及拓扑学如何在其他数学分支中发挥作用，例如微分几何、代数拓扑以及甚至在物理学的一些领域。我们将强调拓扑学作为一种研究空间“整体”性质的强大语言，为我们理解各种数学对象提供了深刻的视角。 本书的编写风格力求清晰易懂，辅以大量的例证和练习题，帮助读者巩固理解。我们希望通过本书，读者能够掌握拓扑学的基本思想，并为进一步深入学习这一迷人的数学领域打下坚实的基础。

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这本书的叙事方式简直是教科书的典范，它没有一上来就抛出那些令人望而生畏的定理和定义，而是像一位耐心的导师，循循善诱地引导读者进入拓扑学的世界。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采用的类比和实例，它们极其贴合生活实际，仿佛在告诉我，那些高深的数学结构其实就隐藏在我们日常的经验之中。每一次概念的升级，都能感受到作者精心设计的“脚手架”，确保读者每一步都走得踏实。我曾经被其他拓扑学教材的晦涩难懂折磨得够呛，但读这本书时，我发现自己可以很自然地跟随作者的思路，甚至在某些关键证明处，会产生一种“原来如此”的顿悟感。这种流畅的学习体验，极大地提升了我对这门学科的兴趣和信心。

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这本书的封面设计简直是教科书中的一股清流，那种简约又不失深度的感觉，一下子就抓住了我的眼球。我一直觉得，好的数学书，不光内容要扎实，外在的包装也得跟得上时代的审美。这本书的字体选择和留白处理都非常考究，让人在翻阅的瞬间就能感受到一种宁静而专注的学术氛围。我记得我第一次在书店看到它的时候，就忍不住拿起来翻了翻，里面的图示非常精美，即便是初学者也能通过这些直观的图像快速领会抽象的概念。作者在排版上的用心程度，远超我之前看过的许多同类书籍，这绝对是一本值得收藏的佳作。那种捧在手里沉甸甸的质感，也让我对即将展开的阅读之旅充满了期待。它给我的第一印象就是：严谨而不失美感，专业又不失亲和力。

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作为一本拓扑学的入门读物，我对这本书的覆盖范围和选择取舍感到非常满意。它非常明智地聚焦于那些最核心、最基础的概念，比如拓扑空间的基本定义、连续性、紧致性和连通性等，并把它们阐述得淋漓尽致。它没有陷入过度复杂和偏僻的分支，确保了初学者能够稳固地建立起坚实的知识地基。这种“少即是多”的编辑策略，避免了信息过载带来的焦虑感。通过这本书，我对度量空间和拓扑空间的内在联系有了全新的认识，也开始理解为什么拓扑学被誉为“几何学的透镜”。它成功地完成了从直观几何到抽象代数思维的过渡桥梁作用，为后续深入学习更高级的代数拓扑或微分拓扑打下了坚实的基础。

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这本书的语言风格非常独特，它既保持了数学论述的精确性，又在不牺牲严谨性的前提下，保持了一种近乎文学性的流畅。很多关键的论证段落，读起来简直像是在欣赏一篇结构精巧的散文，逻辑链条清晰可见，推导过程一气呵成，没有丝毫的拖泥带水。我注意到作者在处理一些历史背景或思想演变时，也融入了丰富的背景知识，这让冰冷的数学符号背后，鲜活地展现出了数学家们的探索历程。这种富有洞察力的文字表达，使得阅读过程不再是枯燥的知识吸收，而更像是一场思维的深度对话。对于那些希望不仅仅掌握“是什么”更想理解“为什么”的读者来说，这本书提供的这种深度文本体验是无价的。

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关于习题设置，这本书的处理方式绝对是匠心独运，它完美地平衡了理论的深度挖掘和动手实践的需求。我发现它不像有些教材那样，只是简单地罗列一些计算题，而是巧妙地设计了一些开放性的思考题，这些题目常常能激发你从全新的角度去审视已经学过的概念。很多习题的难度梯度设计得非常巧妙，从基础的验证到复杂的构造，层层递进，让你在不知不觉中完成了对知识体系的内化。我常常是解完一套习题后，会合上书本，对着空白的笔记本思考其中的深层含义，这比单纯地记住公式要有效得多。而且，书中的许多例子本身就具有很强的启发性，引导我们去构建自己的拓扑空间模型，这才是真正的数学思维训练。

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