Stable Mappings and Their Singularities pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Golubitsky, M./ Gullemin, V. W.

出品人:

页数:209

译者:

出版时间:1974-3

价格:$ 111.87

装帧:HRD

isbn号码:9780387900728

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• topology
• GTM
• 数学
• 拓扑学
• 微分几何
• 奇点理论
• 映射
• 稳定性
• 函数分析
• 几何学
• 代数拓扑
• 非线性分析

《稳定映射及其奇点》是一部深入探讨数学中一个核心概念——稳定映射——的著作。本书的研究对象是那些在微小扰动下保持拓扑结构不变的映射，并在此基础上，详细剖析了这些映射在何处以及为何会失去这种稳定性，即其“奇点”。 本书首先从基础概念出发，为读者建立起对拓扑空间和连续映射的直观理解。通过一系列经典的例子，例如嵌入、浸入等，揭示了稳定映射在几何和拓扑研究中的重要性。作者详细阐述了稳定映射存在的充要条件，并引入了必要的代数工具，如微分形式、流形上的切空间等，为后续的深入分析奠定基础。 随后，本书的核心内容——奇点的分析——得以展开。作者将奇点视为映射结构发生变化的“故障点”，并从不同角度对其进行了分类和研究。其中， Morse 理论扮演着至关重要的角色，它为理解映射的临界点及其在高维空间中的行为提供了强大的框架。本书将 Morse 理论的思想与稳定映射的奇点紧密结合，揭示了奇点集所蕴含的丰富几何信息。 本书特别关注了几类典型的稳定映射及其奇点，例如： 浸入 (Immersions): 这一类映射允许局部保持拓扑结构，但全局上可能会有重叠。本书详细分析了浸入的同伦等价性，以及导致浸入非浸入的奇点类型。 嵌入 (Embeddings): 嵌入是更为严格的映射，它不仅保持局部拓扑，而且全局上没有重叠，能够将一个流形“无损”地放入另一个流形中。本书探讨了嵌入的存在性定理，以及当嵌入趋于“退化”时产生的奇点。 Morse 函数: Morse 函数作为一种特殊的映射，其临界点的性质与流形结构密切相关。本书将 Morse 函数的理论推广到稳定映射的框架下，分析了稳定映射的临界点集如何编码流形的拓扑不变量。 为了更好地理解奇点的性质，本书引入并详细介绍了以下概念： 正规值定理 (Regular Value Theorem): 这是分析奇点产生的根本依据。本书将该定理置于更广阔的稳定映射背景下进行讨论，解释了映射的像集如何反映其稳定性的变化。 切空间分析 (Tangent Space Analysis): 通过分析映射在奇点处的切空间的秩，可以精确地刻画奇点的“局部几何”。本书运用微分几何的语言，对不同类型的奇点进行了精细的分类，例如尖点 (cusps)、折叠 (folds) 等。 奇点分类 (Singularity Classification): 借鉴了 Arnold 等数学家的工作，本书对低维甚至高维稳定映射的奇点进行了系统性的分类。这不仅是对几何对象进行细致入微的描述，也为理解更复杂的拓扑现象提供了基础。 本书还探讨了稳定映射的奇点在不同数学分支中的应用，例如： 代数拓扑 (Algebraic Topology): 稳定映射的奇点信息可以用来计算流形的同调群、同伦群等拓扑不变量。 微分几何 (Differential Geometry): 奇点的几何性质直接反映了流形表面的曲率、形状等局部几何特征。 动力系统 (Dynamical Systems): 稳定映射的理论为理解吸引子、周期轨道等动力系统中的关键结构提供了数学工具。 灾变论 (Catastrophe Theory): 稳定映射的奇点是灾变论研究的核心对象，本书对灾变论中的基本模型进行了深入的数学阐释。 为了帮助读者掌握这些复杂的概念，本书提供了大量的例证、习题和参考文献。作者以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，引导读者一步步深入到稳定映射及其奇点的世界。本书适合数学专业的研究生、博士生以及对拓扑学、微分几何和相关领域有浓厚兴趣的研究人员和工程师阅读。通过对本书的学习，读者将能够深刻理解数学结构在扰动下的稳定性，以及如何通过分析其“失效”之处来揭示更深层次的数学奥秘。

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这本书的排版和印刷质量堪称一流，这对于一本如此依赖精确符号和复杂图形的著作来说至关重要。没有任何模糊不清的图表，所有的数学符号都清晰锐利，这极大地提升了阅读体验，减少了因辨认不清符号而产生的挫败感。从内容结构上看，它遵循了一种非常清晰的递进逻辑，从最基础的局部性质探讨，逐步推进到全局的稳定性分析，最后聚焦于特定类型的奇点的分类与拓扑不变量。作者在全书中贯彻了一种“由内而外”的构建思想，即先确立核心概念的内在一致性，再将其置于更广阔的数学背景中进行检验。我印象特别深刻的是作者在比较不同稳定映射范式时的细致入微，他不仅指出了每种范式的优势，还坦诚地讨论了它们各自的局限性，这种坦率在学术著作中是难能可贵的。虽然我个人更偏爱代数拓扑的视角，但这本书中对微分几何工具的巧妙运用，也让我对这门学科有了更深一层的理解。对于希望将理论知识转化为实际研究工具的读者来说，这本书提供了丰富的“工具箱”。

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坦率地说，这本书的阅读体验更像是一场高强度的智力马拉松。它不像某些科普读物那样试图用生动的比喻来“软化”复杂的概念，而是直接将读者置于理论的核心风暴之中。作者的写作风格是那种极其精确、不带感情色彩的，每一个句子都承载了明确的数学信息，几乎没有“废话”。我发现自己在阅读一些关于共维和映射度量的章节时，不得不频繁地查阅参考书目，因为作者假定读者对某些前沿研究领域已经有所涉猎。这种对读者知识储备的“高要求”是这本书的特色，也决定了它的受众群体相对窄小。不过，对于那些正在进行相关领域研究的人来说，这本书提供了一种无可替代的参考价值。我特别欣赏作者在讨论“模空间”的紧凑性问题时所采取的策略，他没有停留在证明存在性上，而是深入探讨了在何种条件下可以保证这些模空间的良好行为，这直接关系到许多实际问题的可解性。总的来说，这本书的价值在于其深度和信息的密度，它迫使你以最高标准来要求自己的理解能力。

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这本书为我提供了一个理解几何形变和稳定性边界的全新框架。它最大的贡献可能在于系统地将传统分析方法与现代代数工具融合，尤其是在处理高维、非线性系统时的表现极为出色。我必须承认，书中的某些章节，特别是关于范畴论在奇异点理论中应用的论述，对我来说仍然有些晦涩，需要更多时间去消化和反思。但是，即使是那些暂时无法完全掌握的部分，也展示了作者思想的广度和深度。书中关于“稳定流形”的构建与分析，逻辑清晰，论证严密，为理解复杂系统的长期行为提供了一种强有力的数学语言。这本书的魅力在于，它似乎在告诉我们，看似随机的混乱和突变，背后往往隐藏着深刻而优雅的数学规律。对于希望在拓扑数据分析、机器人运动规划或任何涉及高维空间形态变化的领域深耕的学者而言，这本书提供的理论基石是坚实且富有启发性的。它是一部需要被反复研读、并随研究进展不断回访的经典之作。

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这本书的封面设计得相当吸引人，那种深沉的蓝色调配上银色的字体，给人一种既古典又现代的感觉，就像是它在探讨的主题一样，在古老的数学基础上搭建了全新的理论框架。我得说，初翻阅时我被它那种严谨的学术气息所震慑。作者似乎对拓扑学和代数几何的交叉领域有着近乎痴迷的深入理解。对于那些习惯于清晰、线性的叙事方式的读者来说，这本书的开篇可能会有些挑战性。它没有花太多时间在基础概念的回顾上，而是直接切入了核心的理论构建。我特别欣赏作者在引入“稳定映射”这个概念时所展现出的那种优雅的数学美感，每一个定义和定理的推导都像是精心雕琢的艺术品。书中大量的图示和例子，虽然抽象，却非常巧妙地帮助理解那些难以捉摸的几何直观。特别是关于奇异点分类的那一章，简直是教科书级别的典范，它不仅详尽地展示了如何识别和描述局部结构的不连续性，还暗示了这种不连续性在更宏观的物理世界中可能扮演的角色。虽然有些地方的证明过程极为密集，需要反复阅读和演算才能完全掌握，但一旦跨越了那个理解的门槛，那种豁然开朗的成就感是无与伦比的。这本书无疑是为那些已经有扎实高等数学基础的研究者和高年级学生量身打造的深度专著。

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读完这本书，我感觉自己的思维方式都被重塑了。它不仅仅是一本关于特定数学分支的教材，更像是一次关于“结构”与“变化”的哲学探讨。作者的笔触非常克制，很少使用冗余的形容词，所有的论证都建立在无可辩驳的逻辑链条之上。我尤其喜欢其中关于“奇点扰动理论”的论述，它展示了如何通过微小的、连续的变化来观察一个映射的全局性质如何发生突变——这本身就是一种深刻的洞察力。那种从光滑过渡到突然断裂的临界点，被作者用精确的数学语言捕捉得淋漓尽致。书中对一些经典问题的处理方式也别具一格，它没有选择最常见的证明路径，而是引入了几个新颖的辅助工具，这些工具的引入不仅简化了推导，更重要的是，它们提供了一个全新的视角去审视已有的结论。这本书的难度曲线是陡峭的，尤其是在处理高维空间中的子流形结构时，概念之间的联系异常复杂，需要读者极大的专注力去梳理。但正因如此，它才显得如此珍贵，因为它迫使你真正地去“思考”数学，而不是仅仅“记住”公式。这本书绝对不是那种可以轻松翻阅的读物，它需要你投入时间、精力和你的全部智力储备。

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