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出版者:Springer Verlag

作者:Kaczynski, Tomasz/ Mischaikow, Konstantin Michael/ Mrozek, Marian

出品人:

页数:500

译者:

出版时间:2004-1

价格:$ 111.87

装帧:HRD

isbn号码:9780387408538

丛书系列:

图书标签:

• topology
• homology
• 计算同调
• 同调代数
• 拓扑数据分析
• 计算几何
• 离散数学
• 算法
• 持久同调
• 数据分析
• 机器学习
• 数学软件

《计算拓扑学概览》 本书是一部关于计算拓扑学前沿理论与应用的综合性著作，旨在为读者提供一个全面而深入的认识。计算拓扑学作为连接纯粹数学分支拓扑学与计算机科学的桥梁，近年来在数据分析、形状识别、科学可视化以及生物信息学等领域展现出强大的生命力。本书将从基础概念出发，逐步深入到复杂算法和实际应用，力求勾勒出计算拓扑学的全貌。 第一部分：基础理论与概念 本部分将首先介绍计算拓扑学所依赖的关键数学工具。读者将回顾群论、环论和模论等代数基础，这些是理解同调群等核心概念的基石。接着，我们将深入探讨拓扑学中的基本概念，例如拓扑空间、连续映射、同胚、紧致性、连通性等。重点将放在如何将这些抽象的拓扑概念转化为离散的、可计算的对象，为后续的算法设计奠定基础。 我们将详细阐述同调论的核心思想。这包括链复形、边界算子、同调群的定义以及它们在揭示空间“洞”的个数和类型方面的作用。读者将学习如何计算简单的同调群，并理解其不变性特征，即在同胚映射下保持不变。此外，我们将引入单纯复形和纽斯复形等离散拓扑结构，它们是计算机中表示和处理拓扑信息的常用方法。 第二部分：核心算法与计算方法 本部分将聚焦于计算拓扑学中的关键算法。我们将详细介绍计算同调群的各种算法，包括基于矩阵运算的算法，以及如何处理大规模数据集时的优化技术。读者将学习如何构建链复形，如何计算边界矩阵，以及如何使用线性代数技术求解同调群。 “持久同调”是计算拓扑学领域最激动人心也是最有实用价值的分支之一。我们将投入大量篇幅来解释持久同调的基本原理。读者将理解如何通过分析点云或其他数据集中“过滤”后的拓扑特征，来捕捉数据在不同尺度下的结构信息。我们将详细介绍持久同调的构建方法，包括过滤函数、Betti数曲线（条形图）的生成和解释，以及如何从持久同调信息中提取有意义的特征。 此外，本书还将探讨其他重要的计算拓扑学算法，例如计算同伦群的方法（虽然计算同伦群通常比同调群更具挑战性），以及用于计算思捷数（Euler characteristic）的算法。我们将讨论离散化策略、网格生成技术以及如何处理噪声和不完整数据等实际问题。 第三部分：应用领域与前沿研究 本部分将展示计算拓扑学在各个领域的广泛应用。读者将看到如何将持久同调应用于： 形状分析与识别： 如何从点云数据中提取形状的拓扑特征，用于物体识别、形状匹配和检索。 数据可视化： 如何利用计算拓扑学揭示高维数据的内在结构，帮助理解复杂数据集的几何形态。 机器学习： 如何将拓扑特征作为新的特征向量输入到机器学习模型中，提升模型的性能。 生物信息学： 如何分析蛋白质折叠、基因网络或其他生物分子结构的拓扑属性。 图像处理： 如何利用拓扑方法进行图像分割、去噪和特征提取。 机器人学与计算机视觉： 如何利用拓扑信息进行环境感知、路径规划和3D重建。 本书还将简要介绍计算拓扑学的一些前沿研究方向，例如： 神经持久同调： 将深度学习与持久同调相结合，实现更强大的拓扑特征学习。 图上的计算拓扑学： 研究如何在图结构上进行拓扑分析。 分布式与并行计算拓扑学： 解决大规模数据集的计算效率问题。 目标读者 本书适合具有一定数学背景（如线性代数、离散数学、基础拓扑学）的计算机科学、数据科学、数学、工程学以及相关领域的学生、研究人员和从业者。对于希望了解如何利用拓扑学思想解决实际计算问题的读者，本书将提供一个坚实的基础和丰富的实践指导。 本书特色 理论与实践并重： 既深入讲解了计算拓扑学的数学原理，也提供了具体的算法实现思路和应用案例。 清晰的逻辑结构： 从基础概念到高级算法，再到实际应用，层层递进，易于理解。 丰富的图示与例子： 通过大量的图示和具体的例子，帮助读者直观理解抽象的拓扑概念和算法流程。 前沿视野： 涵盖了计算拓扑学领域的最新进展和研究热点。 通过阅读本书，读者将能够掌握计算拓扑学的核心理论和实用技术，并具备运用这些工具解决复杂问题的能力，为在各自的研究和工程领域中开辟新的可能性。

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作者在案例分析的选择上展现了惊人的洞察力，这些例子绝非教科书式的陈词滥调，而是紧密贴合当代科学研究的前沿动态。我特别喜欢其中关于复杂网络结构分析的部分，作者没有停留在理论推导，而是立刻将其投射到现实世界的复杂系统中，比如生物网络的相互作用或者社会行为的传播模型。这种“理论指导实践”的论证方式，让抽象的数学工具瞬间变得鲜活和可触摸。每当我觉得某个概念过于晦涩时，总能被一个贴切的、精心挑选的例子拉回来，清晰地理解其背后的实际意义。这些案例的深度也很有层次，初级案例帮助建立直观认识，而高级案例则展示了该工具在解决前沿问题时的威力，这种递进式的讲解，确保了即便是像我这样偏向应用的研究者，也能从中汲取到极具价值的见解。

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这本书的语言风格极其冷静而精确，每一个词汇的选择都像是经过千锤百炼的砝码，务求在信息密度和语义清晰度之间达到完美平衡。它没有多余的抒情或故作高深的晦涩，而是直击问题的核心，用最简洁的结构表达最复杂的逻辑。阅读过程中，我感觉就像是在与一位极度严谨的同行进行深度对话，对方思维缜密，逻辑链条清晰到不留一丝缝隙。这种严谨性甚至体现在标点符号的使用上，每一个逗号和分号似乎都在精确地界定概念的范围和从属关系。对于追求知识原貌的读者而言，这种零冗余的表达方式是极大的福音，它迫使读者也必须保持高度集中的精神状态，从而极大地提升了阅读效率和知识的吸收率，避免了被不必要的修饰词语所干扰。

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这本书的附录和补充材料是真正的“宝藏”区域，它们的设计思路完全跳脱了传统参考书的窠臼。作者似乎明白，真正的好奇心往往在正文结束之后才会被彻底激发，因此，这些附加内容并非简单的习题或文献列表。我发现里面包含了一些作者在撰写过程中深入思考却未能在主干内容中详述的‘技术细节’和‘哲学思辨’。比如，关于某些公理选择的潜在影响的讨论，或者对未来可能发展方向的谨慎推测，这些内容极大地拓宽了我的学术视野。它让这本书不仅仅是一本传授知识的工具书，更像是一个邀请函，邀请读者参与到对该领域深层本质的持续探索中去，这种引导探索而非单纯灌输的姿态，体现了作者作为领域内资深学者的深厚底蕴和责任感。

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这本书的叙事节奏掌握得极佳，从一开始的铺陈，到中间的深入探讨，再到后来的高潮和总结，整个流程如行云流水般自然。作者似乎深谙如何引导读者的心智，他总能在最恰当的时机引入新的概念，并用一种看似漫不经心却又极其巧妙的方式将它们串联起来。我发现自己很少需要频繁地回翻前面的章节来确认某个定义，因为作者总是在后续的论述中，以不同的角度和应用场景来加深读者的理解。特别是那些关键的转折点，处理得非常圆润，没有生硬的跳跃感，仿佛你正跟着一位经验丰富的向导，在蜿蜒曲折的山路上攀登，每登高一步，视野都随之开阔。这种行文的流畅性，极大地降低了阅读的门槛，使得那些初次接触相关领域的人也能感受到一种循序渐进的掌握感，而不是被一堆公式和术语团团围住的无助感。

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这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，那种深邃的蓝色调搭配着抽象的几何图形，仿佛在低语着宇宙的奥秘。我拿到手的时候，第一感觉就是“哇，这肯定不是一本普通的读物”。内页的纸张质量也是一流，那种微微泛黄的米白色调，拿在手里有一种沉甸甸的质感，让人忍不住想立刻沉浸其中。装帧的细节处理得非常到位，每一页的切边都干净利落，书脊的装订牢固，即便是反复翻阅也不会轻易散架。书中的插图和图表部分更是令人惊艳，它们不仅仅是简单的示意图，更像是精心绘制的艺术品，用简洁的线条勾勒出复杂的拓扑结构，每一个细节都充满了设计感。我尤其欣赏作者在版式布局上的用心，文字和图表的排版错落有致，阅读起来非常舒适，即使是面对那些看似艰涩的数学概念，也能因为良好的视觉体验而保持专注。这本书的物理形态本身，就提供了一种高品质的阅读体验，让人觉得物超所值，完全符合我对一本严肃学术著作的期待。

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