Elements of Homology Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Prasolov, V. V.

出品人:

页数:418

译者:

出版时间:

价格:533.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9780821838129

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

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《拓扑学精要：同调理论入门》 本书旨在为读者提供一个严谨且全面的同调理论基础，深入探讨代数拓扑学中这一核心分支的精髓。我们并非从一个已有的、名为“Elements of Homology Theory”的书籍内容出发，而是基于同调理论本身的发展脉络和核心概念，构建一本独立且具有启发性的入门读物。 核心内容概述： 本书将循序渐进地引导读者理解同调理论的构造、性质及其在解决拓扑问题中的强大力量。我们将从最基础的拓扑空间和链复形出发，逐步引入同调群的概念，并通过大量的例子和计算来加深理解。 第一部分：基础概念与链复形 拓扑空间的介绍： 回顾紧致性、连通性等基本拓扑性质，以及商空间、积空间等构造性工具，为后续的同调群构造奠定基础。 链复形与上链复形： 详细介绍链复形的定义，包括链群、边界映射和微分。我们将解释链复形如何抽象地表示拓扑空间的“洞”和“连通性”。上链复形的概念及其与链复形的对偶关系也将被引入。 同伦等价与链同伦： 深入分析同伦等价的意义，以及它如何影响链复形的同调群。链同伦的概念将被精确定义，并证明同伦等价的映射诱导的链同伦等价的同调群同构。 第二部分：同调群的计算与性质 链复形的同调群： 定义链复形的同调群，并详细阐述其计算方法。我们将通过简单的多面体、环面、球面等例子，展示如何计算它们的同调群。 基本空间的同调群： 计算一系列基本拓扑空间的同调群，包括欧几里得空间、球、环面、射影空间等。这些计算将贯穿全书，成为理解同调理论的重要手段。 链复形的同态与同构： 研究链复形之间的同态如何诱导同调群的同态。我们将证明，链同伦等价的映射诱导的链复形同态在同调群层面是同构的，这是同调理论的核心原则之一。 长正合列： 介绍短正合列的概念，并将其推广到长正合列。我们将展示如何利用长正合列来计算复杂的拓扑空间的同调群，这是同调理论中最强大的计算工具之一。 胞腔复形的同调： 引入胞腔复形的概念，并详细阐述胞腔同调群的构造。我们将证明，胞腔同调群与奇异同调群同构，这为计算同调群提供了一种更为便捷的方法。 第三部分：奇异同调理论 奇异链复形： 详细介绍奇异链复形的构造，利用标准单纯形映射到拓扑空间来构建链复形。我们将解释为何这种构造能够捕捉空间的拓扑信息。 奇异同调群： 定义奇异同调群，并证明其具有同伦不变性。我们将深入探讨奇异同调群的定义是如何与我们直观理解的“洞”相联系的。 公理化方法： 从公理化的角度阐述奇异同调理论的性质，包括同伦不变性、胞腔同调性质（通过验证公理）和 Mayer-Vietoris 序列。这有助于读者从更抽象和本质的层面理解同调理论。 第四部分：同调理论的应用与进阶 Mayer-Vietoris 序列： 深入研究 Mayer-Vietoris 序列的构造与应用。我们将通过一系列具体的例子，展示如何利用 Mayer-Vietoris 序列来计算涉及并集、交集等操作的空间的同调群。 万有系数定理（Universal Coefficient Theorem）： 介绍万有系数定理，它联系了同调群与上同调群，以及它们与自由阿贝尔群的 Extension 子的关系。我们将解释这个定理在简化同调计算中的作用。 对偶性： 介绍 Poincare 对偶定理，该定理揭示了紧致定向流形同调群与上同调群之间的深刻对偶关系。 其他同调理论简介： 简要介绍 Tor 空间、Cohomology rings 的概念，以及它们在代数拓扑学和代数几何中的重要性，为读者进一步探索提供方向。 学习目标： 通过学习本书，读者将能够： 理解同调理论的基本概念和构造。 熟练计算简单拓扑空间的同调群。 掌握利用 Mayer-Vietoris 序列等工具解决拓扑问题。 认识到同调理论在理解拓扑空间性质中的核心作用。 为进一步学习更高级的代数拓扑学理论打下坚实基础。 本书适合具有一定线性代数和基本拓扑学知识的数学专业本科生、研究生以及对代数拓扑学感兴趣的研究人员。我们力求通过清晰的阐述、丰富的例子和细致的计算，让读者能够循序渐进地掌握同调理论的精髓。

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这部著作初版时，我正沉浸在对拓扑学基础理论的初步探索中，那段时期，各种教材和参考书如同星辰般闪烁，令人眼花缭乱。我记得当时手头有几本被誉为经典的代数拓扑入门读物，它们大多侧重于介绍同调群的计算技巧和基本概念的逻辑推演，力求在有限的篇幅内覆盖从单纯复形到纤维丛的诸多内容。那些书的叙述往往非常严谨，公式推导滴水不漏，但对于初学者而言，有时会显得过于抽象和冷峻，仿佛置身于一个纯粹的逻辑迷宫中，缺乏足够的直观感和历史背景的铺陈。阅读体验常常是在理解了晦涩的定义后，才能勉强跟上作者的思路，对“为什么我们需要引入这些复杂结构”的深层动机感到困惑。我曾花费大量时间试图在那些教科书的符号世界中寻找一个支点，一个能将抽象概念与几何直觉联系起来的桥梁，但收获常常是更多的符号和更少的领悟，直到后来才明白，缺乏一个清晰的哲学指引，数学的道路会变得异常艰辛。

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在学习代数拓扑的早期阶段，我曾借阅过一本非常侧重于应用层面的教材，那本书的重点是如何利用同调群来解决具体的组合学和几何学问题，比如布劳威尔不动点定理的证明、欧拉示性数的计算等。这本书的优点是极强的操作性，它会用大量具体的例子来解释链复形和边界算子，让读者立即看到理论的“威力”。然而，它的代价是牺牲了理论的深度和一致性。例如，在定义拓扑同构下的同调不变性时，它可能只是简单地提到“可以通过自然变换来证明”，却从未深入探讨过这个“自然性”背后的范畴论思想，更没有触及到艾伦伯格-斯廷罗德公理体系的深刻内涵。读完这本书后，我能解决许多习题，但一遇到更抽象的问题，比如范畴间的函子构造，就立刻感到力不从心，仿佛只是学会了使用工具，而没有理解工具的设计原理，这种“知其然不知其所以然”的状态，让人对自身的知识掌握程度感到非常不安。

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翻阅那些八十年代末和九十年代初的拓扑学教材，你会发现它们普遍带有一种强烈的“经典”气息，那种风格强调从庞德的理论框架出发，系统地构建同调的代数结构。我当时最头疼的是对奇异同调的理解，教科书往往直接跳到链复形的范畴，然后用一大堆模和链映射的构造来定义同调群，讲解中虽然详尽，但总感觉像是“告诉我们怎么做”，而不是“解释为什么这么做”。书中的图示很少，即使有，也往往是简化的、概念性的，缺乏能帮助读者在三维或四维空间中想象这些复杂构造的视觉辅助。那时的学习氛围更偏向于理论的纯粹性，而不是教学的易得性。我常常在想，如果能有更生动、更具引导性的材料，或许能让我在理解费迪南德·怀因伯格的那些复杂构造时少走许多弯路，少一些因为概念不清晰而产生的挫败感。那种感觉就像是拿到了一张极其精确但没有比例尺的地图，你知道方向，却不确定自己在旅途中的相对位置。

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回顾我早年的拓扑学习资料，很多著作在介绍同调理论时，都会花费大量笔墨去区分和比较辛格（Singular）同调、单纯（Simplicial）同调和胞腔（Cellular）同调，并试图在不同结构之间建立清晰的、可计算的同构关系。这些教材的叙述往往非常细致，会详细论证为什么在满足某些公理的体系下，这些不同的同调理论最终会收敛到相同的拓扑不变量。这种对分类和统一性的追求，虽然体现了数学的严谨美，但对于时间有限的学习者来说，理解所有这些等价构造的细微差别，常常会耗费掉大量的精力，分散对核心概念——即“洞”如何被代数对象捕捉——的注意力。我那时更希望有一本能够提供一个更精炼的、更专注于核心直觉的版本，能快速地引导我进入到更高阶的话题，比如谱序列在同调论中的应用，而不是被困在对各种基础同调定义之间永无休止的比较和验证之中，那感觉就像是在过量分析原材料，而迟迟无法开始构建主体结构。

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我记得当时为了准备一个关于流形上上同调的研讨会，不得不啃下好几本难度极高的专业参考书。那些书的篇幅动辄上千页，内容几乎涵盖了所有已知的拓扑不变量的构造，从德拉姆上同调到斯蒂因 - 魏尔上同调，每一个章节都像是一座独立而宏伟的知识殿堂。它们的目标读者显然是已经非常成熟的研究人员，对基本概念的解释一带而过，直接深入到前沿研究的细节中。例如，在讲解切丛上同调时，书里会迅速地引入纤维丛的谱序列，然后直接开始推导通用纤维丛的结论，中间省略了大量关于纤维丛局部平凡性的基础论证。这使得我不得不频繁地查阅其他关于微分几何的文献，来填补知识上的空白。这种“全景式”的叙述方式，虽然包罗万象，但对于希望稳扎稳打，建立扎实基础的人来说，是一种巨大的信息过载，让人感觉自己像一个站在知识海洋中央，却抓不住任何一根救命稻草的游泳者。

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