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出版者:Prentice Hall

作者:Victor Guillemin

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1974-08-14

价格:USD 110.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780132126052

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• 数学
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• 同调论
• 临界点
• 黎曼度量

《微分拓扑：探索光滑空间的几何与结构》 本书将带领读者深入探寻数学的一个迷人分支——微分拓扑。它是一门研究在光滑流形上拓扑性质的学科，其中“光滑”意味着我们可以在这些空间上进行微积分运算，从而赋予它们丰富的几何结构。与仅关注空间连接方式的纯粹拓扑学不同，微分拓扑关注的是那些可以被良好定义的导数、切空间以及相关的几何不变式的空间。 核心概念与理论基石 本书的起点将是流形（Manifolds）的引入。我们将从直观的低维例子出发，逐步构建对高维流形的理解，包括其局部欧几里得性质、坐标系以及光滑结构的定义。我们将学习如何严格定义一个光滑结构，以及为什么光滑性对于后续的分析至关重要。 接着，我们将深入探讨光滑映射（Smooth Maps）及其重要性质。光滑映射是连接不同流形或同一流形内部的“桥梁”，它们的性质（如可逆性、度数等）揭示了流形之间的深层联系。我们会详细分析浸入（Immersions）和 असते（Submersions），理解它们如何描述局部上的“嵌入”和“投影”行为，以及它们在分类流形中的作用。 切空间与向量场是微分拓扑的另一核心。我们将学习如何定义一个点的切空间（Tangent Space），将其理解为流形在该点的“最佳线性逼近”。向量场则是在流形上每一点都关联一个切向量的函数，它们是描述流形上“运动”或“方向”的工具。我们将研究向量场的积分曲线，以及向量场在理解流形的动力学性质和全局结构中的作用。 光滑函数的性质也将是本书的重点。我们将研究光滑函数的零点集，并引出浸入- असते定理，这是一个强大的工具，能够帮助我们理解光滑映射的局部结构。此外，值定理（Sard's Theorem）将揭示一个出人意料而又极其重要的结果：光滑映射的临界值集合具有零测度。 嵌入定理与分类 本书还将详细阐述Whitney嵌入定理，该定理指出任何n维光滑流形都可以光滑地嵌入到欧几里得空间$mathbb{R}^{2n}$中，并且最重要的是，可以嵌入到$mathbb{R}^{2n-1}$中。这为研究抽象流形提供了一个具体的实现方式。 我们还将触及分类问题，尤其是在低维情形下。例如，我们将会讨论二维球面和其他紧致曲面的分类，以及它们的基本不变式，如欧拉示性数（Euler Characteristic）。 拓扑不变性与微分工具 微分拓扑学利用微分工具来证明拓扑不变性。本书将强调这一联系，例如，通过分析向量场的奇点（Singularities）来理解流形的拓扑特征。我们将介绍Morse理论的基本思想，它通过光滑函数的临界点来研究流形的同调群，从而揭示其拓扑结构。 更高级的主题展望 根据读者的基础，本书的最后部分可能会触及一些更高级的概念，例如： 纤维丛（Fiber Bundles）：一种将拓扑空间“粘合”起来形成更复杂空间的方式，在理论物理和几何学中扮演着重要角色。 微分形式（Differential Forms）：一种在流形上定义的、具有特殊对称性和微积分性质的对象，它们是积分、复式同调和流形几何的核心工具。 De Rham定理：一个连接微分形式和流形的拓扑不变量（如同调群）的深刻定理，是微分拓扑的基石之一。 本书的目标读者 本书适合于数学专业本科生、研究生以及对几何和拓扑学感兴趣的任何人士。对于已有一定微积分、线性代数和基础拓扑学知识的读者，本书将提供一条通往微分拓扑世界的清晰路径。通过学习本书，读者将能够理解光滑流形的内在结构，掌握分析和操纵这些结构的强大工具，并为进一步学习微分几何、代数拓扑和理论物理等领域打下坚实的基础。 阅读本书将带给您： 对“光滑”这一概念在几何中的深刻理解。 一套分析和描述空间结构的数学工具。 洞察流形之间联系的理论框架。 欣赏数学抽象之美和逻辑严谨性的能力。 让我们一起踏上这段探索光滑空间的奇妙旅程吧！

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我一直认为，好的数学书应该能够激发读者的好奇心，而不是仅仅灌输知识。《微分拓扑》这本书恰恰做到了这一点。它并非一本容易“一口气读完”的书，它需要你停下来，去思考，去消化。那些关于“嵌入定理”和“淹没定理”的讨论，让我开始思考，如何在不同的维度之间进行“自由”的转换，又是在何种条件下，这种转换是“平凡”的，又是何种条件下，它会产生“折叠”或“扭曲”。我喜欢书中对于“李群”和“李代数”的介绍，它将代数结构与微分几何紧密地联系在一起，让我看到了抽象代数的内在几何意义。当我看到书中对于“曲率”的讨论时，我仿佛能够“触摸”到空间的内在弯曲程度，理解它如何影响着几何对象的运动和性质。那些关于“庞加莱猜想”的历史脉络和初步的几何直觉的引入，虽然没有深入到证明的细节，但足以让我感受到这个问题的深邃和重要性，激发了我进一步了解的欲望。这本书并没有把我当成一个被动接受信息的学生，而是将我视为一个积极的探索者。它提供的不仅是定理和证明，更是理解这些定理和证明的“方式”。当我反复阅读那些关于“光滑向量丛”的定义时，我开始尝试去构建一些简单的例子，去感受那些“纤维”在基空间上如何“平滑地”变化。这让我觉得，这本书不仅仅是理论，更是一种实践，一种将抽象概念转化为具体想象的过程。

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阅读《微分拓扑》的过程，更像是一场与思想的深度对话。这本书并非那种“灌输式”的教材，它更像是一位睿智的长者，耐心地引导你思考，鼓励你去质疑，去探索。一开始，我对那些微分几何的术语感到有些陌生，特别是“流形”这个概念，对我来说一度是模糊而遥远的。然而，作者并没有直接抛出冷冰冰的定义，而是从一些熟悉的几何对象入手，比如球面、环面，逐步引导我们去理解流形的局部欧氏性。这种由具体到抽象的讲解方式，极大地降低了我的入门门槛。我尤其喜欢书中对一些关键定理的阐释，它们往往伴随着精妙的几何图示，虽然是抽象的数学概念，却被赋予了鲜活的生命力。当我第一次读到关于“度量张量”的章节时，我惊叹于它如何能够捕捉流形上的距离和角度信息，而这些信息又是如此地至关重要，它们构成了流形光滑性质的基础。书中对于“切空间”的讲解也十分到位，它帮助我理解了在流形上的每一点，我们都可以“局部地”看作是一个向量空间，这使得我们能够运用微积分的强大工具来研究流形的性质。我反复咀嚼那些关于“微分同胚”和“微分同构”的定义，尝试去体会它们之间的细微差别，以及它们对于区分不同拓扑空间的意义。这本书没有回避那些相对深入的话题，比如“纤维丛”和“联络”，虽然这些章节对我来说仍然充满挑战，但我能感受到作者试图将这些复杂的概念连接起来，展示它们在整个微分拓扑理论中的位置和作用。这让我觉得，这本书不仅仅是知识的罗列，更是一种数学思想的传递，一种对学科内在逻辑的梳理。

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《微分拓扑》这本书，它带给我的不仅仅是知识的增长，更是一种思维方式的启发。我一直以来都对“几何”和“分析”这两个数学分支感到着迷，而这本书恰恰将它们完美地结合在了一起。书中关于“张量场”的讲解，让我看到了如何在流形上定义一个“全局的”几何对象，比如度量张量，它能够告诉我们流形上的“距离”和“角度”。我被书中关于“微分算子”的介绍所吸引，它让我们能够研究函数在流形上的“变化率”，并且可以将这些变化率用微分形式来表示。当我开始理解“德拉姆复形”和“同调群”时，我被它所展示的代数工具如何能够“捕捉”流形的“洞”的结构所震撼。这些同调群，就像是流形的“指纹”，它们记录了流形最本质的拓扑特征，并且与微分几何中的概念紧密相连。这本书没有给我现成的答案，而是给了我一套“工具箱”，让我能够自己去解决那些更加复杂的问题。它鼓励我去思考，去探索，去发现数学定理背后的深刻几何直觉，去体会那些公式所蕴含的数学美。

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《微分拓扑》这本书，它为我打开了一个全新的视角，让我开始用一种更抽象、更本质的方式去理解“空间”和“变换”。我一直对“空间”的概念感到模糊，以为它就是我们日常生活中感受到的三维空间。然而，这本书让我意识到，空间可以有更高的维度，可以有更加奇特的结构，甚至可以是“弯曲”的。书中关于“映射”和“拉回”的定义，让我开始理解，当我们在两个流形之间进行映射时，是如何将一个流形上的“信息”传递到另一个流形上的。特别是“拉回”操作，它让我们能够从目标空间反过来研究源空间，这是一种非常强大的分析工具。我被书中关于“外代数”的介绍所吸引，它将线性代数中的一些概念推广到了更高次的“张量”上，并且引入了“楔积”这样的新运算，这使得我们可以更方便地处理和研究微分形式。当我开始理解“de Rham 同调群”时，我被它所展示的代数拓扑的工具如何能够“捕捉”流形的“洞”的结构所震撼。这些同调群，就像是流形的“指纹”，它们记录了流形最本质的拓扑特征，并且与微分几何中的概念紧密相连。这本书没有给我现成的答案，而是给了我一套“工具箱”，让我能够自己去解决那些更加复杂的问题。

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阅读《微分拓扑》的体验，就像是在学习一门新的语言。这门语言的词汇是“流形”、“切空间”、“微分形式”，而它的语法则是那些定理和证明。这本书，就是一本非常详尽的“语法书”。我一开始对“流形”的定义感到有些抽象，但书中通过大量的例子，比如球面、环面，让我逐渐理解了“局部欧氏性”和“光滑过渡映射”的重要性。我花了很多时间去理解“切向量”的意义，它不仅仅是一个简单的箭头，更是流形上每一点的“速度”和“方向”的描述。书中关于“微分同胚”的讲解，让我对“拓扑等价”有了更深的理解，原来两个“看起来”很不同的空间，如果能够通过一种“光滑的”形变相互联系，那么它们在某种意义上是“相同”的。我被书中关于“李群”的介绍所吸引，它将代数中的群结构与几何中的微分结构联系起来，让我看到了数学不同分支之间的深刻统一性。当我开始理解“切丛”和“余切丛”时，我感觉自己仿佛能够“看到”流形上每一点的“所有可能的方向”和“所有可能的度量”，这是一种非常强大的几何直觉。这本书让我意识到，微分拓扑不仅仅是关于“形状”，更是关于“变换”和“性质”，它研究的是那些在光滑变换下不变的属性。

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《微分拓扑》这本书，初初翻开时，就被那封面那股沉静而深邃的气质所吸引。仿佛它并非一本简单的教科书，而是一扇通往更广阔数学世界的门扉。我一直对几何的精妙之处着迷，而拓扑学，尤其是微分拓扑，更是将这种魅力推向了极致。我期待着它能带领我穿越那些抽象的定义和定理，去感受空间的内在结构，去领略那些光滑流形上的微分形式如何勾勒出宇宙的脉络。想象一下，那些看似零散的点和线，在微分拓扑的视角下，会展现出怎样令人惊叹的秩序和规律？我希望这本书能以一种既严谨又不失生动的方式，循序渐进地揭示这些奥秘。它是否会用直观的例子来解释那些抽象的概念？它是否会引导我思考那些深刻的几何直觉？我希望在阅读过程中，我能够逐渐培养出一种“拓扑眼”，能够用一种全新的方式去看待我们周围的世界，去理解那些看不见的联通和断裂。这本书不仅仅是学习知识，更是一种思维方式的重塑。我希望能在此书中找到那种“顿悟”的时刻，当那些曾经晦涩难懂的定义突然变得豁然开朗，当那些复杂的证明在眼前化作简洁的逻辑链条。我期望的不仅仅是学会“怎么做”，更是理解“为什么这么做”，理解那些数学家们是如何一步步构建起如此宏伟的理论大厦的。这本书，对我而言，是一次探索，一次挑战，一次对自身数学理解能力的深度挖掘。我迫不及待地想知道，它将如何引领我进入微分拓扑那奇妙的领域，又将为我打开怎样的数学视野。

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当我翻开《微分拓扑》这本书时，我期待的是一场关于空间本质的探索之旅。它没有让我失望。书中对于“光滑流形”的定义，以及如何通过“局部坐标系”和“光滑过渡映射”来构建一个全局的、光滑的空间，让我对“空间”的理解有了质的飞跃。我不再将空间视为简单的点集，而是将其看作一个具有内在结构的、可以进行微积分运算的“场所”。我被书中关于“微分同胚”的定义所吸引，它让我意识到，两个“看起来”完全不同的空间，如果能够通过一种“光滑的”一一对应相互转化，那么它们在拓扑上是等价的。我花了很多时间去理解“切向量场”的意义，它不仅仅是流形上每一点的“方向”，更是可以描述流形上“运动”和“流”的根本。书中关于“李群”的介绍，更是将代数中的“对称性”概念引入到微分几何中，让我看到了数学不同分支之间的深刻联系。当我开始理解“曲率”的几何意义时，我仿佛能够“触摸”到空间的内在弯曲程度，理解它如何影响着几何对象的运动和性质。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的启发，它鼓励我去发现数学定理背后的深刻几何直觉，去体会那些公式所蕴含的数学美。

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《微分拓扑》这本书，它给我的感觉就像是在一个陌生的城市里，有人递给我一张地图，但这张地图不是描绘街道的，而是描绘了这座城市“内在的连接方式”。它没有告诉我具体的“建筑”在哪里，却教会了我如何去理解建筑之间的“距离”和“方向”。我对“同胚”和“同伦”这些概念的理解，在阅读过程中得到了极大的深化。我不再仅仅记住它们的定义，而是开始尝试去“感受”它们所代表的“形变”的本质。书中对于“Morse理论”的介绍，让我对函数的“临界点”有了全新的认识，它不再是简单的数学计算，而是与空间的“洞”的数量和结构息息相关。我发现，许多看似复杂的拓扑问题，都可以通过研究某些函数的 Morse 理论来得到解决，这让我看到了理论的统一性和力量。我特别喜欢书中关于“向量场的积分曲线”的讨论，它让我看到了流形上的“运动”是如何被局部决定的，以及这些局部运动如何汇聚成全局的“流”。这让我联想到物理学中粒子在空间中的运动轨迹，以及这些轨迹如何反映了空间本身的性质。这本书没有回避那些对初学者来说可能比较困难的章节，比如关于“微分形式的积分”和“霍奇分解”的介绍。虽然我还没有完全理解它们，但我能够感受到它们在整个理论体系中的重要性，它们为我们提供了研究流形上全局性质的强大工具。

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《微分拓扑》这本书，它带来的体验远不止是文字和公式的堆砌，更是一种思维的重塑。我一直以来对数学都有一种“工具性”的认识，认为数学是用来解决具体问题的，但这本书彻底颠覆了我的这种看法。它让我意识到，数学本身也可以是一种艺术，一种对空间、结构和变换之美的极致追求。当我第一次接触到“微分流形”的概念时，脑海中浮现的并非复杂的代数方程，而是那些光滑的曲面在我的指尖流淌的感觉。书中对于“光滑性”的定义，以及它如何与微积分联系起来，让我对“连续”和“可微”有了更深层次的理解。那些关于“切向量场”的讨论，更是让我仿佛置身于一个流动的空间，感受着每一处的“方向感”和“速度感”。我被书中关于“外微分”的讲解深深吸引，那种将向量分析中的梯度、散度和旋度统一起来的优雅方式，让我看到了数学语言的强大和简洁。当我开始理解“德拉姆定理”时，我被它所揭示的代数拓扑和微分拓扑之间的深刻联系所震撼。这不仅仅是两个数学分支的简单交集，而是它们之间相互印证、相互启发的精妙协作。我感觉自己就像一个初次见到星空的孩童，被眼前的壮丽景象所征服，而这本书，就是那把引领我仰望星空的望远镜。它没有给我现成的答案，而是给了我探索问题的工具和视角，让我能够自己去发现那些隐藏在数字和符号背后的深刻含义。

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我发现，《微分拓扑》这本书，它不仅仅是关于“形状”的，更是关于“形变”的。它教会了我如何用一种动态的、变化的方式去理解空间，而不是仅仅把它看作一个静态的几何对象。书中关于“主丛”的引入，让我开始理解，为什么我们在研究流形时，需要引入“参照系”的概念，以及这些参照系如何在流形上“平行地”移动。这让我联想到物理学中惯性系的概念，虽然是数学模型，但其思想的相似性令人着迷。我被书中关于“曲面分类”的讨论所吸引，它展示了如何利用代数拓扑的工具（比如基本群）来区分不同的曲面，并且证明了所有二维可定向闭合曲面都可以通过“戳洞”或“粘合”的方式相互转化，最终被归结为有限的几种基本类型。这让我感到，数学具有一种强大的“分类”能力，能够将看似复杂多样的对象归结到最基本的范畴。我花了很多时间去理解“Gauss-Bonnet定理”，它以一种极其优美的方式，将流形上的“全局曲率”与它的“拓扑不变量”（比如 Euler 示性数）联系起来。这让我深刻体会到，空间的内在几何性质和它的拓扑结构是多么地密不可分。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种引导，它鼓励我去发现数学定理背后的深刻几何直觉，去体会那些公式所蕴含的数学美。

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有意思……

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吹爆 准备推荐给工科小伙伴

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深入浅出，讲的明白且废话少。主要读了一，四章，如cohomology of forms. gauss bonnet theorem。intersection theory没太细读，只看了相关的内容，以后有需要时再翻回来读。本书也是CUHK Topology of manifolds课程的教材。

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终于读完了。关键是介绍了transversality的概念，然后在此之上定义了degree of map作为invariant。描述manifold topology和map之间关系。Great book

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非常精彩，在看了Milnor之后再看这个就会觉得特别美妙，注意到Euler Characteristic以及Lefschetz number等可以用微分拓扑以及代数拓扑两种方式来定义，这时候就看出了代数拓扑的强大之处在于其高度generalized，而微分拓扑就在于它可以down to earth来真正的计算。这两者的关系（据说）在Bott＆Tu那本书里面会有更加详尽的阐述。