The elements of non-Euclidean geometry, by D.M.Y. Sommerville. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Scholarly Publishing Office, University of Michigan Library

作者:Michigan Historical Reprint Series

出品人:

页数:291

译者:

出版时间:2005-12-20

价格:USD 23.99

装帧:Paperback

isbn号码:9781418181987

丛书系列:

图书标签:

• math
• geometry
• 非欧几何
• 几何学
• 数学史
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• 高等数学
• 欧几里得几何
• 拓扑学

探索弯曲时空的数学奇境：非欧几何的引人入胜之旅 想象一下，如果我们生活的空间不再是我们习以为常的平坦画布，而是充满了奇特曲率的画布，那么几何学的基本规则将如何改变？《非欧几何元素》正是开启这场令人着迷的数学探索之旅的钥匙。这本书并非仅仅是枯燥的公式堆砌，而是一次深入非欧几何世界、揭示其内在美妙与深刻洞见的引人入胜的旅程。 我们熟悉的欧几里得几何，建立在几条朴素而直观的公理之上，塑造了我们对直线、角度和形状的基本认知。然而，当我们仔细审视那些看似不可动摇的公理时，一个关键的问题浮现出来：平行线公理，即“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，是否真的是唯一的可能性？《非欧几何元素》正是从这个核心问题出发，向我们展示了放弃这个公理所能打开的全新数学宇宙。 本书将带领读者穿越三个主要的非欧几何体系：球面几何、双曲几何，以及椭圆几何。 在球面几何中，我们将在一个球体的表面上展开我们的想象。在这个弯曲的二维空间里，直线不再是我们熟悉的直线，而是大圆的弧段。平行线在这个世界里不复存在，因为任何两条“直线”（大圆）最终都会相交于球体的两极。三角形的内角和也不再是固定的180度，而是会大于180度，并且这个和与三角形的大小相关。想象一下，地球表面的飞行航线，它们遵循的正是球面几何的原理。本书将详细阐述球面上的距离测量、角度关系以及各种几何图形的性质，让我们直观地感受曲面带来的奇异变化。 随后，我们将深入探讨双曲几何，也称为罗氏几何。在双曲几何中，我们考虑的是一种“负曲率”的空间，其模型通常是庞加莱的圆盘模型或克莱因的半平面模型。在这个世界里，过直线外一点的平行线将有无数条。三角形的内角和将小于180度，并且这个和越小，三角形的面积越大。双曲几何的直观性可能不如球面几何，但它在数学和物理学中扮演着至关重要的角色。它被广泛应用于黎曼曲面的研究，以及在现代物理学中描述时空的结构。本书将逐步构建双曲几何的理论框架，从基本概念到复杂的定理，带领读者理解这种“反常”但又逻辑严谨的几何体系。 最后，本书还会触及椭圆几何，这是一个介于球面几何和双曲几何之间的特殊情况，有时也被视为球面几何的一个变种。在椭圆几何中，过直线外一点没有平行线，因为任何两条“直线”（可以理解为特殊的闭合曲线）都会相交。 《非欧几何元素》并非仅仅罗列这些几何体系的性质，它更注重逻辑的严谨性和数学的构建过程。作者将引导读者一步步理解这些非欧几何体系是如何从修改欧几里得公理中推导出来的。书中将详细讲解： 新的公理系统： 如何用新的平行线公理取代欧几里得的第五公理，并以此为基础构建全新的几何理论。 度量和距离： 在这些弯曲的空间中，如何定义距离和度量，以及这些定义如何影响我们对形状和大小的理解。 几何变换： 探讨在非欧空间中存在的对称性和变换，以及这些变换如何保持几何性质不变。 三角学： 介绍非欧三角学的独特之处，例如非欧平面上的正弦定理和余弦定理，以及它们与欧氏三角学的差异。 曲率的概念： 深入理解曲率这个核心概念，它决定了空间的几何性质，以及如何量化曲率。 这本书的价值在于，它不仅打开了数学的一个全新领域，更重要的是，它挑战了我们对“现实”的固有认知。非欧几何并非只是抽象的数学游戏，它已经在现代物理学，特别是广义相对论中找到了其惊人的应用。爱因斯坦的引力理论，正是建立在描述引力作为时空曲率的基础之上，而这种曲率正是由非欧几何所描述的。因此，理解非欧几何，也是理解宇宙运行规律的重要一步。 《非欧几何元素》适合那些对数学充满好奇，渴望超越传统思维框架的读者。无论你是学生、研究者，还是仅仅对宇宙的奥秘充满兴趣的探索者，这本书都将为你提供一个深刻的洞见，让你以全新的视角审视我们所处的空间，以及数学的无限可能。它将是一次智力上的冒险，一次对逻辑和想象力的极限挑战，一次通往更加广阔的数学天地的非凡旅程。

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这本书的装帧和排版简直是一场视觉的盛宴，对于长期在电子文档中挣扎的读者来说，拿到实体书的触感和油墨的香气都是一种久违的慰藉。纸张的质感非常出色，厚实而富有韧性，即便是经常翻阅也不会轻易出现卷边或泛黄的迹象。字体选择上，设计者显然花了不少心思，印刷清晰锐利，即使在光线不那么理想的环境下阅读，也不会感到眼睛疲劳。特别值得称赞的是，书中的图表和公式的排印质量达到了极高的水准，线条的粗细过渡自然流畅，几何图形的精确性令人印象深刻。这种对细节的极致追求，本身就体现了对数学严谨精神的尊重。虽然内容本身可能需要高度集中，但如此精良的物理载体，无疑为沉浸式的学习体验打下了坚实的基础。它不仅仅是一本教科书，更像是一件值得收藏的工艺品，让人愿意长时间地捧在手中，细细品味每一个字符背后的深邃思想。这种将实用性与美学完美结合的设计，在当代学术著作中已属罕见。

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这本书的结构安排堪称典范，其逻辑流向如同精密的钟表机械，每一个章节都紧密咬合，推动着整体理论的向前发展。引言部分简洁有力地设定了研究的背景和必要性，随后便迅速切入核心的公理系统构建。最让我印象深刻的是，作者在引入新的非欧系统时，总是先从欧氏几何的现有框架出发，明确指出被修改的公理，然后系统地推导所有由此产生的新的几何性质。这种对比式的讲解方法，极大地降低了概念跳跃带来的不适感。例如，在讨论测地线和三角形内角和时，作者的处理方式清晰地展示了如何在保持其他公理不变的情况下，仅仅通过修改一个基本假设，如何重塑整个空间的面貌。这种循序渐进的构建方式，使得即便是高度抽象的拓扑性质，也能被读者通过严密的逻辑链条所掌握，避免了单纯依靠直观想象的风险。

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书中论证的深度和广度，远超我原本对“非欧几何入门”的期待。它并非仅仅停留在对罗巴切夫斯基和黎曼模型的肤浅介绍，而是深入挖掘了这些体系背后的深刻哲学意涵。作者在处理双曲和椭圆几何的过渡时，展现了惊人的洞察力，清晰地勾勒出了曲率如何作为决定几何特性的核心参数。特别是在论述平行公设的失效及其带来的连锁反应时，那种层层剥茧，将整个欧氏几何大厦的根基动摇的过程，阅读起来令人振奋。我发现，不同几何体系间的“翻译”过程——比如如何将双曲几何中的定理映射回球面几何中去验证——是理解其内在一致性的关键。书中对这种转换的详尽阐述，极大地拓宽了我对“几何”这一概念的理解边界，让我意识到，我们习以为常的直角和直线，不过是宇宙中无数可能性中的一种特定实现。这种对数学本质的探究，让人不禁沉思：我们所感知的实在世界，究竟是哪一种几何的投影？

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初次翻阅时，我立刻感受到了一种扑面而来的学术气息，那是一种不事雕琢、直指核心的叙事风格。作者的笔法极其凝练，几乎没有冗余的形容词或与核心论点无关的铺垫，每一个句子都像是一个精确搭建的逻辑构件，层层递进，不容许丝毫的含糊。对于初学者而言，这可能意味着较高的初始门槛，因为阅读过程需要全程保持高度警觉，时刻在脑海中构建抽象的几何空间。然而，正是这种近乎冷峻的严谨性，保证了知识传递的纯粹性与效率。它不试图用花哨的比喻来软化抽象概念，而是直接将读者置于欧几里得体系之外的全新公理框架下进行思维训练。对我个人而言，这种“硬核”的教学方式，恰恰磨砺了我的逻辑分析能力，迫使我跳出固有的几何直觉，用纯粹的代数和逻辑推理去审视空间结构。读完一章，你会有一种完成了一场智力马拉松的充实感，而非仅仅是听完了一场讲解。

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作为一本经典的数学著作，它散发出的时间沉淀感是新近出版的教材难以比拟的。它没有追逐最新的、可能很快就会被修正或取代的教学潮流，而是专注于那些历经时间考验的、最核心的数学真理。阅读过程中，我仿佛能听到百年前的数学家们在思想碰撞时的回响，这种与历史对话的感觉是极其宝贵的。书中引用的论证和范例，简洁而富有力量，它们已经成为后世研究的基础范本。虽然对于习惯了大量彩色图示和多媒体辅助的现代学生来说，这种纯文本的深度挖掘可能需要更多的耐心和毅力，但正是这份需要“努力才能获得”的理解，使得最终的收获更加深刻和持久。它教会我的不仅仅是关于空间的新知识，更是一种对待数学问题的态度——尊重公理、追求逻辑的纯净性，以及在看似固定的框架下寻找无限可能性的勇气。这本书，是通往更深层次数学思维的坚实桥梁。

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