Differential Geometry in the Large pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Heinz Hopf

出品人:

页数:184

译者:

出版时间:1989-09-05

价格:USD 37.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540514978

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• 微分几何
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《宏观微分几何》 本书深入探索微分几何的核心概念，尤其侧重于其在全局层面的深刻应用与发展。我们将从基本的光滑流形出发，逐步构建起理解拓扑空间结构的几何语言，并以此为基础，深入剖析曲率、测地线、同调论等关键概念的内在联系及其在宏观尺度下的行为模式。 流形的概念与拓扑结构： 本书的起点是光滑流形的定义，我们将详细阐述局部欧氏空间的思想如何被推广，以描述任意光滑曲面乃至更高维度的空间。从开集的覆盖、坐标图到光滑结构，每一步都经过细致的讲解，确保读者能够深刻理解流形的本质。我们还将探讨流形上的拓扑性质，如连通性、紧致性，以及它们如何影响流形的整体几何特征。 切空间与向量场： 理解流形上的局部线性结构是微分几何的关键。本书将详细介绍切空间的定义，它是流形上每一点的“局部欧氏空间”，并探讨如何在此基础上定义向量场。向量场不仅是描述切空间中向量的工具，更是理解流形上微分运算（如导数）的基础。我们将分析向量场的积分曲线，以及它们如何揭示流形上的动力学行为。 张量场与微分形式： 进一步，本书将引入张量场的概念，它是一种更一般化的向量场，能够描述更复杂的几何和物理量的关系。我们将重点介绍微分形式，作为一种特殊的张量场，它们在积分、微分方程和代数拓扑中扮演着至关重要的角色。德拉姆定理等重要定理将被详细阐述，揭示微分形式与流形拓扑之间的深刻联系。 曲率与度量： 黎曼度量的引入标志着本书进入了对流形内在几何性质的深入研究。黎曼度量使得我们可以在流形上测量距离和角度，从而定义曲率。本书将详细讲解里奇曲率、斯克瓦茨曲率以及截面曲率等概念，并深入探讨曲率如何决定流形的整体几何形状。例如，零曲率的流形（欧几里得空间）和常正曲率的流形（球面）在全局性质上存在本质区别。 测地线与指数映射： 测地线是流形上“直线”的推广，它们代表了最短的路径。本书将详细介绍测地线的存在性、唯一性及其性质，并通过指数映射来研究流形上一点附近的局部几何结构。指数映射对于理解流形上向量的“平行移动”和曲率的局部效应至关重要。 联络与平行移动： 为了在流形上进行更精细的微分运算，例如比较不同点的向量，我们需要引入联络的概念。本书将详细介绍联络的定义，特别是列维-奇维塔联络，并在此基础上阐述平行移动的原理。平行移动是理解测地线和曲率的重要工具，它揭示了流形内在的几何结构如何在不同点之间传递信息。 黎曼几何的全局理论： 本书的重点之一在于“宏观”视角，即如何从局部几何信息推断出流形的全局性质。我们将探讨诸如高斯-博内定理等全局微分几何的经典结果，该定理将流形的曲率积分与流形的拓扑不变量（如欧拉示性数）联系起来，展示了局部几何与全局拓扑的深刻统一。 主要的全局定理与应用： 本书还将介绍一些重要的全局微分几何定理，例如： 积分曲率定理： 探讨曲率的积分与流形拓扑之间的关系。 极小曲面理论： 讨论具有最小面积的曲面的几何性质，及其在物理学和工程学中的应用。 度量空间几何： 即使没有黎曼度量，也可以研究更一般的度量空间上的几何性质，本书将触及部分相关内容。 与拓扑学的联系： 微分几何与代数拓扑之间有着密不可分的联系。本书将适当引入同调论和上同调论等概念，展示它们如何被用来研究流形的拓扑结构，以及微分形式如何与这些代数不变量相互作用。 潜在的应用领域： 本书所阐述的宏观微分几何理论，在许多前沿领域都有着广泛的应用，包括但不限于： 广义相对论： 时空的几何性质由黎曼度量描述，曲率则代表了引力。 微分拓扑： 理解高维空间的拓扑性质。 计算机图形学与计算机视觉： 建模和处理复杂形状。 物理学： 量子场论、弦理论等。 本书旨在为读者提供一个坚实的基础，使其能够理解和运用微分几何的强大工具来解决各种复杂的几何和拓扑问题。通过对全局层面的深入分析，我们希望能揭示微分几何的深刻美感和其在现代科学研究中的核心地位。

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我特别注意到本书在探讨“完备性”和“测地线流的动力学”时所采用的视角。这部分内容似乎融入了现代遍历理论的某些思想，将几何问题转化为了对特定动力学系统的分析。这种跨学科的融合是这本书最吸引我的一点，它展示了微分几何并非孤立的学科，而是与动力学系统、甚至概率论都有着深刻的内在联系。通过这种视角，我对霍普夫定理等经典结果有了全新的理解——它们不再仅仅是关于曲率的代数陈述，而变成了关于流形上运动行为稳定性的深刻洞察。总而言之，这本书不仅是一本工具书，更是一次思维方式的重塑之旅，它引导我去思考几何对象如何在时间或参数空间中演化，这对我当前的研究方向具有极强的启发意义。

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坦白说，这本书的深度是毋庸置疑的，但我也必须承认，它对读者的背景知识要求较高。对于那些没有扎实的微积分基础和拓扑学背景的初学者来说，直接啃这本书可能会有些吃力。其中关于辛几何和规范场论的章节，作者采用了非常现代和抽象的语言进行描述，这对于习惯了传统微分几何表述的读者来说，需要一个适应过程。我个人认为，这本书更适合作为研究生阶段的参考书，或者作为数学物理专业人士深化理解的工具书。它没有过多地“驯化”困难的概念，而是勇敢地直面了那些最深刻的数学难题。这种毫不妥协的学术态度，虽然增加了阅读的难度，但也保证了内容的前沿性和深度，确保读者学到的知识是经得起时间考验的现代几何语言。

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这本书的书名是《Differential Geometry in the Large》，我最近开始阅读它，希望它能为我打开一个全新的数学世界。这本书的装帧非常经典，封面设计简洁而富有质感，让人一上手就能感受到它深厚的学术底蕴。我期待着深入学习其中关于黎曼几何、纤维丛以及拓扑结构等高级主题的内容。尤其是那些关于整体几何特性的讨论，比如曲率的全局影响以及特征类的计算，这些都是我一直以来非常感兴趣但又觉得难以深入的领域。我希望作者能够用清晰的语言阐述这些复杂的概念，并提供足够的例子来帮助理解那些抽象的定理。对于一个致力于研究广义相对论和弦理论的研究者来说，掌握“大尺度”上的微分几何是至关重要的基础，这本书似乎正是为此目的而生的。我特别关注它对拓扑学与几何学之间联系的论述，比如高斯-博内定理在不同维度上的推广，这些内容往往是连接纯数学和理论物理的桥梁。

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初读这本书的几页，我立刻被其严谨的逻辑和清晰的论证风格所吸引。作者在介绍基本概念时，没有急于跳入深奥的定理，而是花费了大量的篇幅来构建扎实的预备知识体系，这对于像我这样需要温故而知新的读者来说极为友好。例如，在引入测地线概念时，书中对变分原理的阐述细致入微，不仅给出了欧拉-拉格朗日方程的推导，还探讨了这些方程在不同度量张量下的具体表现形式。我发现，作者在选择例子的角度上非常独到，那些例子往往能瞬间点亮一个晦涩的定义。我尤其欣赏它对非紧致流形的研究部分，许多教科书往往将重点放在紧致空间上，而这本书对无限性带来的挑战处理得更为周全和深刻。这无疑会帮助我构建一个更完整、更具批判性的几何学图景，不仅仅停留在局部光滑的层面，而是真正着眼于整体结构。

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这本书的排版和符号使用标准得令人赞叹。在处理那些涉及张量运算和微分形式的外在计算时，每一步的推导都清晰可见，几乎没有可能产生阅读障碍。我过去阅读过一些同行撰写的几何学著作，常常因为符号约定不一致或公式过于密集而感到挫败，但《Differential Geometry in the Large》在这方面做得非常出色。它似乎为读者搭建了一个清晰的认知框架，使得原本就复杂的几何直觉得以通过符号的精确性得到锚定。我正在尝试同步进行一些计算练习，发现书中所提供的练习题梯度设计得非常合理，从基础的曲率计算到更高级的同调论应用，循序渐进，让人感觉每完成一小节都能获得实实在在的进步感。这种脚踏实地的学习体验，比那种上来就抛出宏大理论的教材要有效得多。

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