Introduction to Foliations and Lie Groupoids (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:I. Moerdijk

出品人:

页数:184

译者:

出版时间:2003-10-13

价格:USD 60.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521831970

丛书系列:Cambridge Studies in Advanced Mathematics

图书标签:

• 数学
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• 几何
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《导论：叶状结构与李群胚》 本书为一本严谨的数学著作，深入探讨了现代微分几何与拓扑学中的两个核心概念——叶状结构（foliations）与李群胚（Lie groupoids）。这两者都提供了一种对空间进行“局部平坦化”或“组织化”的强大框架，但各自又有着截然不同的视角和应用。本书旨在为读者构建一个坚实的理论基础，使其能够理解并运用这些深刻的数学工具。 第一部分：叶状结构的几何 叶状结构是研究流形上“平坦”子集族的一种方式。想象一下将一个高维流形切割成许多低维的“片”。如果这些片“平滑地”堆叠在一起，形成一个整体，我们就称之为叶状结构。 定义与基本概念： 本部分首先严格定义了叶状结构，介绍其核心元素：叶（leaves）、叶片（foliated charts）、叶状图（foliated atlases）以及与叶状结构相关的各种结构，如切向量丛（tangent bundles）和法向量丛（normal bundles）。我们将探讨不同类型的叶状结构，例如齐次叶状结构（homogeneous foliations）和泊松叶状结构（Poisson foliations）。 拓扑与分析性质： 理解叶状结构的拓扑性质至关重要。我们将研究叶片的连通性、缠绕性（exponentials of leaves）以及叶状结构的分类问题。此外，本书还将触及叶状结构上的分析工具，例如微分算子（differential operators）在叶状结构上的行为，以及与微分链复形（differential complexes）的联系。 几何构造与例子： 为了让读者更直观地理解抽象概念，本书将提供丰富的几何构造和具体例子。我们将分析经典叶状结构，如球面上的极坐标叶状结构、平面上的平行叶状结构，以及更复杂的例子，例如由李群作用产生的叶状结构。 代数结构： 叶状结构也蕴含着丰富的代数结构。我们将探讨与叶状结构相关的代数对象，如叶状代数（foliated algebras）和叶状同调（foliated cohomology），并介绍它们在叶状结构研究中的应用。 第二部分：李群胚的代数与几何 与叶状结构关注“切片”不同，李群胚是一种更普遍的“非交换空间”的描述。它是由一组“箭头”（或称为态射）组成的集合，这些箭头可以以一种称为“群胚乘法”（groupoid multiplication）的方式进行组合，并且具有“逆”的存在。李群胚可以被看作是“局部化的群”，其中的元素不再是全局定义，而是在局部有意义。 基本理论： 本部分将从李群胚的定义入手，详细介绍其核心概念：源映射（source map）、目标映射（target map）、恒等射（identity morphisms）、逆映射（inverses）以及群胚乘法。我们将区分全局李群胚（global Lie groupoids）和局部李群胚（local Lie groupoids）。 结构与性质： 我们将深入研究李群胚的结构性质，包括其切丛（tangent bundle）、右不变向量场（right-invariant vector fields）以及与微分流形之间的联系。本书将详细阐述李群胚代数（Lie algebroids）的作用，并展示它们如何作为李群胚的“切空间”。 代数构造与例子： 同样，本书将呈现大量的代数构造和实例，帮助读者掌握李群胚的概念。我们将讨论一些重要的李群胚，如切李群胚（tangent Lie groupoids）、辛李群胚（symplectic Lie groupoids）、李群的自同构李群胚（automorphism Lie groupoids of Lie groups）以及余切丛李群胚（cotangent bundle Lie groupoids）。 李群胚与叶状结构的联系： 本书的一个重要主题是揭示李群胚与叶状结构之间深刻而精妙的联系。我们将展示如何从李群胚构造叶状结构，反之亦然。这种联系为研究两类对象提供了强大的统一框架。 第三部分：高级主题与应用 在建立了叶状结构与李群胚的基础理论后，本书将进一步探索一些高级主题，并简要介绍它们在数学和物理学中的重要应用。 李群胚上的微分几何： 我们将研究李群胚上的微分形式（differential forms）、积分（integration）以及更复杂的分析工具。 群胚上同调与叶状同调： 本部分将深入探讨群胚上同调（groupoid cohomology）的理论，并进一步阐明其与叶状同调的关系。 联系与迁移： 本书将重点关注叶状结构和李群胚之间的相互转化方法，例如通过“holonomy”或“étale groupoids”等工具。 应用领域： 虽然本书主要关注理论基础，但也会简要提及叶状结构和李群胚在几何量子力学（geometric quantum mechanics）、经典力学（classical mechanics）、规范场论（gauge field theory）以及代数几何（algebraic geometry）等领域的应用，为读者提供更广阔的视野。 本书适合对微分几何、微分拓扑和代数几何有一定基础的读者，包括研究生、博士后以及希望深入了解这些领域的研究人员。通过对叶状结构和李群胚的系统性阐述，本书旨在为读者提供一个理解现代几何研究前沿的坚实起点。

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约定：本文中提到的流形都是光滑的。 简单来说，流形上余维q的叶状结构（foliation）就是把n维流形分解成若干（n-q）维局部平凡的浸没子流形。这样的叶状结构一般被视为非交换几何的研究对象，它在微分几何中沟通了很多领域，本文就对它的几何性质做一个小结。 下面看...

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这本书的字体和间距设计非常有利于长时间的阅读，这对于攻克如此复杂的数学主题至关重要。我通常在夜深人静时阅读，伴随着台灯下微弱的光线，这本书提供的阅读舒适度极高。我特别喜欢书中对历史背景和思想演变的简短回顾，这使得那些纯粹的数学概念不再是空中楼阁，而是人类智慧在特定历史时期解决特定问题的产物。例如，作者在解释某些群丛构造的起源时，引用了早年物理学家的观点，这为理解其动机提供了坚实的基础。这本书的价值不在于教授最新的研究进展，而在于奠定最坚实的基础，让你能够自信地迈向任何相关的前沿领域。它要求读者具备扎实的预备知识，但一旦你跟上了作者的节奏，你会发现你所获得的不仅仅是知识，更是一种看待数学问题的“成熟视角”。这本书是那种你会反复翻阅，每次都能从中发现新洞见的案头宝典。

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这本书的书脊给我一种复古而厚重的年代感，那种深蓝色封面的质感，让人联想到上世纪八九十年代的数学经典教材。我是在一个偶然的机会在一家老旧书店里发现它的，当时我正在寻找一些关于微分几何基础的深入读物。当我翻开第一页时，那种油墨的淡淡香气和纸张微微泛黄的触感，立刻将我带入了一种沉浸式的阅读体验。内容上，作者的笔触细腻且逻辑严谨，尤其是在引入一些复杂概念时，他总能找到非常直观且富有洞察力的比喻。例如，他对某些拓扑结构的描述，简直就像是画家在画布上勾勒线条，每一个细节都经过深思熟虑。虽然书中的一些定理证明非常抽象，但通过精心的排版和大量的图示（那些手绘般的几何图形），我发现理解这些深奥的数学语言变得不再那么令人望而生畏。这本书的排版风格偏向于学术论文的严谨，但又不失教科书的亲和力，非常适合那些希望系统性掌握该领域前沿知识的严肃学习者。它更像是一份来自前辈学者的珍贵笔记，充满了智慧的结晶，而非冰冷的公式堆砌。

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作为一名偏爱代数拓扑的读者，我最初对这本书抱有一定的疑虑，因为叶状结构往往更偏向于分析和微分几何的范畴。然而，阅读这本书极大地拓宽了我对“结构”这个概念的理解。作者巧妙地将群丛的代数框架引入到叶状结构的分类和稳定性分析中，这种跨领域的融合令人耳目一新。书中对“正则性”和“畸变”的讨论尤其深刻，它们不仅仅是技术性的修正，更是对结构内在稳定性的哲学反思。我发现，很多看似孤立的定理，在群丛的视角下，突然被统一在了同一个范畴内，这带来的认知上的震撼是难以言喻的。这本书的行文风格非常“欧式”，讲究逻辑的完整性和论证的完备性，每一个章节的铺垫都为后续更复杂的结构埋下了伏笔。对于渴望从更深层次理解几何结构之间相互联系的读者来说，这本书提供了不可替代的深度和广度。

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这本书的装帧设计低调而内敛，完全符合其严肃的学术定位。没有花哨的封面设计，只有沉稳的字体和清晰的标题布局，这使得它在众多现代数学书籍中显得尤为突出，仿佛在说：“我的价值在于内容，而非外表。”我主要是在研究生阶段接触到这本书的，当时我的导师强烈推荐，称其为理解高阶微分几何结构的一把钥匙。阅读体验上，这本书的难度曲线是陡峭但清晰的——它不会轻易给予你答案，而是引导你一步步推导出结论。特别是一些关于非完整性结构和接触几何的章节，作者的处理方式极具启发性。他似乎有一种天赋，能够将那些在其他教材中被描述得极其晦涩的定理，用一种近乎诗意的数学语言重新组织起来。这使得那些原本需要花费数周时间才能消化的内容，在我这里得以在较短时间内建立起清晰的知识框架。可以说，它不是一本“快速上手”的书，而是一本需要你投入时间去“对话”的著作。

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拿到这本厚重的精装书时，首先吸引我的是它的名字，那种将“叶状结构”（Foliations）和“李群丛”（Lie Groupoids）并置的组合本身就充满了数学上的张力与美感。我一直对几何学中那些看似不连贯的结构如何在一个统一的框架下被描述抱有浓厚的兴趣，而这本书恰恰满足了我对这种“宏大叙事”的渴望。阅读过程中，我最欣赏的是作者在处理不同分支理论之间的衔接部分。比如，当他从传统的微分流形概念过渡到更广阔的群丛理论时，过渡得极其自然，仿佛这两者本就是一体两面。书中不仅有大量纯粹的理论推导，还穿插着对实际应用领域——尽管是理论物理或拓扑学中的应用——的简要提及，这为抽象的讨论提供了必要的锚点。每当我觉得快要迷失在符号的海洋中时，总能找到一处清晰的几何直觉可以依靠。这本书的阅读过程更像是一次探险，而不是简单的信息吸收，它挑战你的思维边界，迫使你用新的视角去审视已知的几何对象。

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非常适合初学者的好书，介绍了很多新鲜的概念，把manifold升级为foliation，而Lie group则升级为Lie groupoid，后者可以作为foliation上的monodromy groupoid与holonomy groupoid。最后还诱导出了Lie algebroid结构。

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