The Geometry and Topology of Coxeter Groups. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Princeton University Press

作者:Michael W. Davis

出品人:

页数:600

译者:

出版时间:2007-10-29

价格:USD 92.50

装帧:Hardcover

isbn号码:9780691131382

丛书系列:

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• 数学
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《几何与拓扑：探索对称性与结构》 本书将带领读者踏上一段引人入胜的旅程，深入探索数学中两个深刻而优美的领域：几何学和拓扑学。我们将从基础概念出发，逐步构建起理解这些学科核心思想的框架，并揭示它们之间令人惊喜的联系。 几何学的魅力：空间的度量与形状 几何学是关于空间、形状、大小和相对位置的学科。从古希腊欧几里得的公理化体系，到黎曼几何对弯曲空间的描述，几何学一直在不断拓展我们对宇宙的认知。 欧几里得几何的基石： 我们将回顾欧几里得几何的基本原理，包括点、线、面、角等概念，以及平行公理。虽然看似简单，但这些基本概念构成了我们理解二维和三维空间的基础。 非欧几何的革命： 接下来，我们将深入探讨非欧几何，特别是双曲几何和椭圆几何。我们将理解平行公理的独立性，以及在不同公理体系下几何形状呈现出的奇妙特性。这不仅挑战了我们对空间的直观认识，更为现代物理学（如广义相对论）奠定了理论基础。 度量与距离： 我们将学习如何量化空间中的距离和形状。各种度量空间的定义，如欧几里得度量、曼哈顿度量等，将帮助我们理解不同“距离”概念下的几何结构。 对称性的语言： 对称性是几何学中的一个核心主题。我们将探索群论在描述对称性方面的强大力量。对称群的概念，例如旋转群、反射群，将帮助我们系统地理解几何对象的对称性特征。 拓扑学的奇妙世界：连续变形下的不变性 拓扑学，常被称为“橡皮布几何”，关注的是在连续变形（拉伸、弯曲，但不撕裂或粘合）下保持不变的性质。它提供了一种看待空间更为抽象和宏观的视角。 空间的连通性与洞： 拓扑学中最直观的概念之一是空间的连通性。我们将学习如何区分一个圆盘和一个圆环（甜甜圈），即使它们在形状上差异很大。洞的数量是拓扑学中一个重要的不变性质。 同胚与同态： 我们将引入同胚（homeomorphism）的概念，这是拓扑学中衡量两个空间是否“拓扑等价”的标准。直观地说，两个同胚的空间可以相互连续地变形。 嵌入与浸入： 探索如何将一个空间“放入”另一个空间，并理解嵌入（embedding）和浸入（immersion）的区别。这在研究高维几何和物理学中具有重要意义。 曲面分类： 我们将深入研究二维曲面的分类。各种紧致、无边的曲面，如球面、环面、克莱因瓶等，它们的拓扑性质将一一呈现。 节点与辫子： 拓扑学在研究抽象结构方面也表现出色。我们将触及节点理论，探索不同绳结之间的等价性，以及辫子群的代数结构。 几何与拓扑的交汇：洞察力的升华 本书的重点之一是揭示几何学和拓扑学之间深刻而富有启发性的联系。这两个领域并非孤立存在，而是相互补充，共同描绘出数学世界的壮丽图景。 流形的几何学： 我们将学习流形（manifold）的概念，它是在局部与欧几里得空间相似的空间。流形是许多现代数学和物理学研究的基石。我们将探讨流形的拓扑性质（如连通性、可定向性）以及它们的几何性质（如曲率、测地线）。 分类空间的几何意义： 一些特殊的代数结构，当我们赋予它们几何解释时，会展现出令人惊叹的对称性。我们将看到，这些结构如何影响我们对空间本身的理解。 对称性在拓扑中的体现： 群论不仅是描述几何对称性的工具，它在拓扑学中也扮演着至关重要的角色。例如，基本群（fundamental group）就是一种强大的拓扑不变量，它与群论有着密切的联系。 可视化与抽象的桥梁： 几何学提供了直观的视觉化工具，而拓扑学则提供了更抽象的分析框架。通过结合两者，我们可以更深入地理解复杂空间的结构和性质。 学习本书的收获 通过本书的学习，读者将： 建立坚实的数学基础： 掌握理解几何与拓扑核心概念所需的代数和分析工具。 培养抽象思维能力： 训练处理高维空间和抽象数学对象的思维方式。 领略数学的内在美： 欣赏几何形状的优雅和拓扑结构的深刻。 理解学科间的联系： 认识到几何学和拓扑学如何相互启发，共同推动数学发展。 为进一步学习打下基础： 为探索微分几何、代数拓扑、几何群论等更高级的数学领域做好准备。 无论您是数学专业的学生，还是对空间、形状和结构的奥秘充满好奇的探索者，《几何与拓扑：探索对称性与结构》都将是一次令人难忘的智力冒险。我们将一同揭开数学世界中那些隐藏的优雅与和谐。

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阅读过程中，我发现这本书的选材和深度把握达到了一个近乎完美的平衡点。它既没有沦为一本过于面向初学者的“入门速成指南”，也远没有发展成一本只有极少数专业人士才能啃下的“高冷教科书”。书中对那些至关重要的例子，如有限 Coxeter 群的分类，处理得尤为细致入微，几乎将每一种情况都用不同的视角进行了剖析，确保了读者对这些基础模型的深入理解。更难能可贵的是，作者在标准内容之外，还巧妙地引入了一些前沿的研究方向和未解决的问题作为“留白”，这些提示如同灯塔一般，激发着我这个读者去进行更广阔的探索。通过这些铺垫，我能清晰地感受到，这本书不仅仅是在传授既有知识，更是在引导我们思考数学的未来走向。这种前瞻性和包容性，是许多专业书籍所缺乏的。

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从实践应用的角度来看，这本书为后续的深入研究奠定了坚实的基础。它不仅详细介绍了 Coxeter 群在晶体学、对称性理论中的经典应用，更重要的是，它为理解现代数学中的许多核心概念——比如黎曼几何中的对称性分析或者代数拓扑中的某些构造——提供了必不可少的“语言”。我发现在学习完与根系相关的章节后，回头再看其他领域的文献时，很多原本晦涩难懂的描述突然间豁然开朗。这本书提供了一个强大的框架，一个能够将各种复杂结构统一起来的分析工具箱。它不是简单地罗列事实，而是教会了读者如何“思考”结构，如何从根本上理解对称性的本质。对于任何希望在几何、代数或数学物理领域深造的人来说，这本书绝对是必须纳入书架、并反复研读的基石之作。

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这本书的叙事逻辑严谨得令人赞叹，它像一条蜿蜒的河流，从最基础的群论概念出发，逐步引向那些高深莫测的反射群和布线群结构。作者没有急于抛出复杂的定理和证明，而是采用了“螺旋上升”的教学法，即先给出直观的几何图像，再引入代数定义，最后才进行严格的拓扑推导。这种由浅入深、层层递进的结构，使得即便是初次接触这个领域的读者，也能跟上节奏。最让我印象深刻的是它对历史脉络的梳理，每当引入一个新的群族，作者总会穿插介绍相关的数学先驱们是如何一步步揭开其神秘面纱的，这不仅丰富了阅读体验，更让冰冷的数学定理带上了人文色彩。在某些关键转折点，作者会用一句精炼的总结来巩固前文的知识，这种“及时回顾”的设计，极大地帮助了记忆和内化复杂的概念体系。

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这本书的排版设计简直是一场视觉盛宴，从封面到内页的每一个细节都透露出一种精心打磨的匠心。纸张的选择上，那种略带纹理的米黄色纸张，拿在手里就有一种沉甸甸的质感，让人爱不释手。装帧工艺更是无可挑剔，书脊的锁线装订结实牢固，即便是频繁翻阅，也不担心书本散架。内页的字体排版疏密有致，黑白分明，即便涉及大量复杂的数学符号和公式，也能保持极佳的可读性。作者在图示方面也下了大功夫，那些抽象的几何结构，通过清晰、精美的插图被具象化，大大降低了理解的门槛。我尤其欣赏它在章节开头设置的小引言，既有历史背景的铺陈，也有对本章核心思想的概括，这种布局非常人性化，使得读者在进入深奥的理论迷宫前，总能找到一个稳固的立足点。整体来看，这是一本从触感到视觉都令人愉悦的实体书，它不仅仅是一本学术专著，更像是一件可以细细品味的工艺品。

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这本书的语言风格具有一种独特的、沉稳的权威感，但同时又出奇地富有洞察力。作者的行文措辞精确、用词考究，没有一句多余的废话，每一个句子似乎都经过了反复的锤炼。然而，这种严谨性并没有带来阅读上的枯燥，反而因为其清晰的逻辑骨架，使得抽象的数学对象变得异常清晰。书中对“不动点定理”和“Cayley 图”的阐述尤其精彩，作者似乎能预判读者在哪个环节会产生困惑，并在那个节点上提供了一个极其优雅的类比或几何直觉的支撑。我个人认为，这本书的精髓在于它成功地将代数、几何和拓扑这三大数学分支有机地融为一体，使得读者在学习 Coxeter 群的过程中，能够自然而然地建立起跨学科的思维模型，这对于提升个人的数学素养至关重要。

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