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出版者:American Mathematical Society

作者:[日] Shigeyuki Morita

出品人:

页数:321

译者:

出版时间:2001-8-28

价格:USD 66.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821810453

丛书系列:Translations of Mathematical Monographs

图书标签:

• 数学
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《流形与几何：微分形式的视角》 本书是一部深入探索现代微分几何核心概念的著作，特别侧重于利用微分形式这一强大而优雅的工具来理解和分析光滑流形。我们将从基础概念出发，逐步构建起微分形式理论的完整框架，并展示其在解决几何问题中的深刻洞察力。 第一部分：微分形式的语言 我们将从光滑流形的概念入手，回顾其拓扑结构和可微结构。在此基础上，引入切空间和余切空间的思想，为理解微分形式奠定基础。接着，我们将详细阐述 $k$-形式，即在每个点上取值于余切空间外积代数的反对称线性函数的概念。我们将学习如何在流形上进行外微分，这是一个将 $k$-形式映射到 $k+1$-形式的算子，它在几何和拓扑中扮演着至关重要的角色。外微分的线性性、度量性质以及与微分算子的关系将被深入探讨。 我们还将介绍拉回（pullback）运算，它允许我们将一个流形上的微分形式“拉回”到另一个流形上，这在研究流形之间的映射以及它们的几何属性时非常有用。此外，楔积（wedge product）的性质，作为微分形式的一种乘法运算，及其在构建更复杂形式时的作用也将得到细致的讲解。 第二部分：流形的几何结构与微分形式 本部分将把微分形式的工具应用于分析流形的几何结构。我们将重点介绍黎曼流形的概念，即配备了度量张量（metric tensor）的光滑流形。度量张量允许我们在流形上测量距离、角度和体积，而微分形式则提供了一种独立于坐标系来处理这些几何量的自然方式。 我们将学习霍奇对偶（Hodge duality）的概念，它在黎曼流形上建立了 $k$-形式与 $n-k$-形式之间的对应关系，其中 $n$ 是流形的维数。霍奇对偶在研究流形的拓扑不变量，如贝蒂数（Betti numbers），以及解决微分方程时至关重要。 接着，我们将引入霍奇拉普拉斯算子（Hodge Laplacian），这是一个结合了外微分和霍奇对偶的二阶微分算子。霍奇拉普拉斯算子的核（kernel）包含了所谓的“调和形式”（harmonic forms），它们在流形的拓扑和几何性质的研究中具有特殊意义。我们将深入探讨德拉姆定理（de Rham's Theorem），该定理建立了流形的贝蒂数与德拉姆上同调群（de Rham cohomology groups）之间的深刻联系，而德拉姆上同调群正是由闭形式（closed forms）与恰当形式（exact forms）的商构成的。 第三部分：微分形式的应用与进阶主题 我们将展示微分形式在物理学和几何学的各种重要应用。例如，我们将讨论微分形式在经典力学中的辛几何（symplectic geometry）中的作用，以及在广义相对论中如何描述时空几何。 本书还将触及一些更高级的主题，例如： 流形的上同调理论： 除了德拉姆上同调，我们还会简要介绍其他上同调理论，如奇异上同调（singular cohomology）和切赫上同调（Čech cohomology），并讨论它们与德拉姆上同调的关系。 纤维丛（Fiber Bundles）与联络（Connections）： 我们将探讨微分形式如何在纤维丛的框架下进行研究，以及联络在定义平行传输和曲率方面的作用。 流形上的积分与度量： 我们将讨论如何通过微分形式来定义流形上的积分，并探索积分与流形的几何度量之间的关系。 本书旨在为读者提供一个坚实的基础，使他们能够理解和运用微分形式的语言来探索光滑流形的丰富几何结构。通过详细的推导和清晰的阐述，本书将引导读者深入体会微分形式在现代数学和物理学中的核心地位。

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尽管整体评价很高，这本书在某些细节上还是透露出一种学术的“硬核”气息。对于完全没有接触过拓扑学或线性代数进阶概念的读者来说，前几章的铺垫可能略显不足。作者在某些关键的定理证明中，选择了一种非常简洁和高效的表达方式，虽然对于专业人士来说是优雅的，但对于需要“手把手”指导的读者来说，可能会感觉到一些跳跃。我建议初学者在阅读这些证明时，最好配合一些辅助的在线资源或笔记进行补充理解。例如，在讨论流形上的张量分析时，如果能有更详尽的坐标变换细节说明，会使过渡更加平滑。

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这本书的深度和广度令人印象深刻。它不仅扎实地覆盖了外微分代数、流形上的积分理论、霍奇理论的基础，更令人惊喜的是，它还花了相当大的篇幅探讨了这些理论在现代物理学中的应用，例如电磁场理论中的协变表达，以及广义相对论中时空曲率的描述。这种将纯粹的数学抽象与前沿的物理实践紧密结合的编排，让这本书的价值超越了一本纯粹的数学参考书。对于希望将微分几何作为工具而非仅仅是知识体系来掌握的读者而言，这种跨学科的视野是极其宝贵的，它提供了将抽象概念“活化”的钥匙。

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内容上，这本书的叙事方式非常独特，它不像传统教材那样先抛出定义再逐步推导，而是更倾向于构建一个“直觉理解的桥梁”。作者似乎深谙初学者在面对高维几何和微分运算时的困惑，因此在引入新的概念时，总会先从读者熟悉的低维空间（比如二维平面或三维空间）的直观例子入手，比如流体运动中的旋度或曲面的面积元变化。这种循序渐进的引导，极大地降低了理解难度。我尤其欣赏它对“形式”（Forms）这一抽象概念的阐释，它没有直接陷入纯粹的代数运算，而是反复强调了形式作为“积分子”和“对偶空间”的物理或几何意义，使得原本枯燥的符号操作有了一个可触摸的背景。

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这本书的封面设计极具现代感，用一种深邃的靛蓝色作为背景，中央则是抽象化的几何图形线条，如同星空下的拓扑结构，给人的第一印象是严谨而又充满艺术气息。我原本对数学物理类的书籍抱有敬而远之的态度，总觉得它们晦涩难懂，但这本书的装帧却成功地吸引了我。翻开扉页，字体选择的衬线体非常清晰易读，纸张的质感也很好，印刷清晰，这对于需要长时间阅读和查阅公式的读者来说至关重要。内页的排版布局考究，图表与文字的穿插自然流畅，没有那种把公式堆砌在一起的压迫感。

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总而言之，这是一部具有里程碑意义的著作。它的目标读者群似乎瞄准了那些已经掌握了基础微积分和线性代数，并渴望进入现代几何和理论物理深水区的学生和研究人员。这本书并非用来“速读”的，它要求读者放慢脚步，与作者一起在流形上行走、思考、演算。每一次重读，都会有新的理解和感悟，就像在复杂的几何结构中发现了一条新的捷径。它成功地将一个看似高不可攀的领域，用一种既严谨又充满启发性的方式呈现出来，是微分几何领域中值得反复研读的珍品。

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相对概括和有趣(大概)，注重一些实在的东西，不过要深入地学还需要阅读其他材料。 以及要老老实实准备下周pre了orz

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相对概括和有趣(大概)，注重一些实在的东西，不过要深入地学还需要阅读其他材料。 以及要老老实实准备下周pre了orz

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前半本是流形基础，不太适合作为流形的自学教材。后半本可读性极佳。

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相对概括和有趣(大概)，注重一些实在的东西，不过要深入地学还需要阅读其他材料。 以及要老老实实准备下周pre了orz

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这本书太好看了！类似janich的拓扑，extremely easy ,insightful and informative. 奇怪的事janich自己那本讲流形的却相当不怎么样。