Conformal Mapping on Riemann Surfaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Harvey Cohn

出品人:

页数:352

译者:

出版时间:2010-10-18

价格:USD 14.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486640259

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Riemann
• 数学-微分几何
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• Riemann Surfaces
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• Mathematical Analysis
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• Holomorphic Functions
• Geometric Function Theory
• Teichmüller Theory

探索几何的深邃边界：黎曼曲面上的保形映射 本书深入探讨了数学中一个迷人而强大的分支——黎曼曲面上的保形映射。它是一场关于几何、拓扑和分析交织的数学探索之旅，为读者揭示了连接抽象概念与具体几何形态的深刻奥秘。我们将超越经典的欧几里得平面，进入一个由弯曲曲面构成的世界，并研究一种特殊的映射方式：保形映射。 保形映射，顾名思义，是指在映射过程中保持角度大小不变的变换。在二维空间中，我们熟悉的复平面上的全纯函数（即解析函数）便是一种保形映射。它们如同神奇的画笔，在扭曲空间的同时，却丝毫不损害局部图形的“形状”。然而，本书的野心远不止于此。我们将视角拓展到黎曼曲面，这是一类更加一般化的、局部上看如同复平面但整体可能具有复杂拓扑结构的数学对象。 黎曼曲面的引入，是理解本书核心概念的关键。想象一下，一个光滑的曲面，在每个点附近都可以看作一个圆盘，并且这些圆盘可以通过“全纯”的方式拼接起来。这就是黎曼曲面的基本思想。从最简单的球面、环面，到更复杂的具有多个“洞”的曲面，黎曼曲面展现了极其丰富的拓扑多样性。它们的分类，根据亏格（即“洞”的数量）的不同，构成了一个优雅而完整的体系。 保形映射与黎曼曲面的结合，开启了一个充满活力的研究领域。本书将详细阐述，如何在黎曼曲面之间建立保形映射。这不仅仅是研究从一个曲面到另一个曲面的“光滑”变换，而是要理解在哪些条件下，我们可以找到保持角度的映射，以及这些映射是如何由黎曼曲面的内在几何和拓扑性质决定的。 主要内容聚焦 本书将从以下几个核心方向展开深入的探讨： 黎曼曲面的构造与分类： 我们将首先建立黎曼曲面的形式化定义，从代数几何、复分析和拓扑学的角度审视其构造。从最基础的球面、环面开始，逐步介绍如何通过粘贴磁盘来构建任意亏格的黎曼曲面。我们将详细介绍亏格作为黎曼曲面基本不变量的重要性，并探讨不同亏格曲面之间的本质区别。 复结构与度量： 在黎曼曲面上，我们不仅需要讨论其拓扑结构，还需要赋予它一个“光滑”的结构，即复结构。我们将解释什么是局部坐标和全纯图，以及如何通过它们来定义曲面上的复结构。在此基础上，我们将引入黎曼度量，它允许我们在曲面上测量长度和角度，并研究保形变换如何影响这些度量。 保形映射的存在性与唯一性： 这是本书的核心论题之一。我们将深入研究，在什么样的条件下，存在黎曼曲面之间的保形映射。特别是，我们将聚焦于同构的概念，即保持黎曼曲面所有几何和拓扑性质的保形映射。我们将引入诸如蒙日-费雷公式（Monge-FerraFormula）等关键定理，来判断两个黎曼曲面是否同构，以及确定唯一的保形同构映射。 共形映射的构造方法： 书中将介绍多种构造保形映射的方法，包括利用格林函数（Green's function）、希尔伯特核（Hilbert kernel）以及theta 函数（theta function）等工具。我们将详细解析这些方法背后的数学原理，并给出具体的计算示例。 函数论在黎曼曲面上的应用： 保形映射与复分析紧密相连。我们将探讨柯西积分公式、留数定理等经典复分析工具在黎曼曲面上的推广和应用。例如，如何利用这些工具来研究黎曼曲面上的亚纯函数、微分形式，以及它们的存在性和性质。 典型的黎曼曲面及其映射： 除了抽象的理论，本书还将重点分析一些具有代表性的黎曼曲面，如单位圆盘、上半平面、复平面以及它们通过保形映射连接起来的各种“标准”模型。我们将探讨它们之间的保形映射，例如黎曼映射定理（Riemann Mapping Theorem）在单连通区域中的应用，以及更一般的从任意单连通黎曼曲面到单位圆盘的保形映射。 应用前景的展望： 虽然本书侧重于理论研究，但我们也会适时触及保形映射在其他领域中的应用，例如在物理学中的弦理论、势论，在工程学中的流体力学、电磁场分析，以及在计算机图形学中的纹理映射等。这些应用展示了保形映射作为一种强大的几何工具，其理论深度与实际效用并存。 本书的特色 本书力求在严谨的数学论证与直观的几何理解之间取得平衡。通过引入大量的图示和实例，我们将抽象的概念具象化，帮助读者建立对黎曼曲面及其上保形映射的深刻认知。同时，本书的编写风格严谨但不失流畅，旨在吸引对几何与拓扑有浓厚兴趣的数学爱好者、研究生以及研究人员。 无论您是初次接触黎曼曲面，还是希望深入理解保形映射的精髓，本书都将是您探索这一迷人数学领域的宝贵向导。它将带领您穿越抽象的数学空间，领略几何的优雅与深刻，发掘数学世界中隐藏的美妙连接。

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这本《Conformal Mapping on Riemann Surfaces》的封面设计着实令人眼前一亮，那种深邃的蓝色背景与精妙的几何线条交织在一起，仿佛直接将读者的心绪拉入了一个由复变函数和拓扑结构构筑的迷人世界。我记得第一次翻开它时，就被那种严谨又不失优雅的数学语言所深深吸引。书中的每一章似乎都在引导我们进行一场从二维平面到高维曲面的思想漫游，尤其是关于黎曼曲面的介绍部分，作者的处理方式极为细腻，即便是初次接触这一复杂概念的读者，也能感受到其中的逻辑脉络。它并非那种堆砌公式的教科书，而更像是一位经验丰富的向导，耐心地为我们揭示共形映射这一强大工具在几何分析中的核心地位。阅读过程中，我常常需要停下来，反复揣摩那些精妙的定理证明，特别是那些关于莫比乌斯变换和自动构型的讨论，它们不仅是数学上的美，更蕴含着深刻的物理直觉。对于任何希望深入理解微分几何、复分析或者代数拓扑交叉领域的学者来说，这本书无疑是一份极其宝贵的参考资料，它提供的视角是如此独特和深刻，远超出了普通入门读物的范畴。

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说实话，我对这本书的期望值一开始是比较高的，毕竟“共形映射”和“黎曼曲面”这两个词汇本身就代表了数学中最高雅的部分之一。然而，实际的阅读体验却带给我一些意料之外的惊喜与挑战。作者在处理复杂结构时展现出的那种近乎偏执的精确性，使得这本书的阅读曲线显得有些陡峭。我个人花了相当长的时间去消化前几章关于基本拓扑空间的描述，那部分内容虽然详尽，但对于习惯了更直观几何描述的读者来说，可能需要多次回溯才能真正掌握其精髓。不过，一旦跨过那道坎，后续章节中对于拉普拉斯方程解的构造、狄利克雷原理的应用，以及如何利用共形映射来解决一些经典的边界值问题时，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。这本书的价值不在于快速提供答案，而在于它逼迫你从最基本的公理出发，重建整个理论大厦，这种自力更生的过程，是任何速成读物都无法给予的深度体验。

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我必须承认，这本书的排版和图示水平，在学术著作中属于上乘之作。特别是在解释那些非直观的几何形变时，作者配有的插图清晰而富有洞察力，它们不仅仅是文字的补充，更像是数学思想的视觉化呈现。比如，在讨论黎曼曲面上的局部坐标系以及如何将局部结构“粘合”成全局曲面时，那些精心绘制的剖视图，极大地帮助我理解了什么是“双连通区域”以及“同胚”的真正含义。这种对细节的关注，使得原本抽象的理论变得可以触摸、可以感知。我特别欣赏作者在引入新概念时，总是会先给出一个直观的例子或者一个已知的背景知识作为铺垫，而不是直接跳入复杂的代数推导，这种循序渐进的教学方法，无疑降低了接触这一领域的高昂门槛，尽管难度依然存在，但可接近性大大增强了。

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从一个更侧重于应用的角度来看，这本书的理论深度令人叹服，但如果读者期待找到大量直接的工程或物理应用案例，可能会略感不足。这本书的重心显然放在了纯粹数学的严谨性上，它致力于建立一个坚实而完备的理论框架，而非快速地展示如何利用共形映射去解决流体力学或电磁学中的特定问题。这并非缺点，而是一种明确的风格取向。它要求读者具备扎实的分析基础，并愿意沉浸在理论的海洋中。我阅读时，常常会联想到复分析的经典教材，但这本书更进一步，它将复分析的工具提升到了几何和拓扑的更高维度。对于那些希望将共形映射作为研究工具，而非仅仅是解决特定问题的手段的数学家而言，这本书提供的视角是至关重要的，它教会我们如何从更宏观的“曲面”层面去理解映射的本质。

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这本书给我留下最深刻的印象，是其内在的逻辑一致性和行文的节奏感。它不像一些翻译过来的专业书籍那样，充满了生硬和不自然的表达。相反，作者的叙述流畅自然，仿佛是在与一位学识渊博的同行进行深入的学术对话。章节之间的过渡衔接得天衣无缝，从局部到全局，从基础拓扑到高级分析，每一步推理都建立在清晰可辨的前置知识之上。我尤其赞赏作者在处理涉及多个数学分支交汇点的论述时所展现出的驾驭能力，比如如何巧妙地将微分形式与黎曼度量的概念融入到共形不变性的讨论中。这使得整本书读起来不仅是知识的积累，更像是一次结构严谨、层次分明的思维训练。它成功地将一个公认的复杂主题，用一种既尊重其难度又不失其美感的方式呈现了出来，是数学专业图书馆中不可或缺的一员。

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