Introduction to Riemann Surfaces pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:American Mathematical Society

作者:George Springer

出品人:

页数:309

译者:

出版时间:2002-1-1

价格:USD 44.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821831564

丛书系列:

图书标签:

数学
数学-微分几何
数学-ComplexAnalysis
数学-AlgebraicGeometry
Riemannsurface
Riemann Surfaces
Complex Analysis
Topology
Algebraic Geometry
Differential Geometry
Holomorphic Functions
Conformal Mapping
Manifolds
Mathematics
Advanced Mathematics

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具体描述

《探索黎曼曲面：一种几何与拓扑的交织》这本著作将带您踏上一段深入理解黎曼曲面世界的旅程。本书旨在为读者构建一个扎实而全面的基础，使他们能够理解黎曼曲面在现代数学，特别是在复分析、代数几何和拓扑学中的核心地位。我们将从最基本的概念出发，循序渐进地构建起描述这些丰富数学对象的框架。第一部分：几何的基石我们首先从黎曼曲面的几何属性入手。读者将接触到“曲面”这一直观但强大的数学概念。我们将详细阐述流形（manifold）的定义，重点关注二维流形，并将其与我们熟悉的欧几里得空间进行类比。紧接着，我们将引入微分结构，学习如何赋予这些曲面微积分的工具，从而讨论曲线的长度、曲面的面积以及更复杂的几何量。微分流形：介绍局部坐标系、图册（atlas）的概念，以及光滑函数和微分同胚（diffeomorphism）的定义。我们将强调黎曼曲面作为二维光滑流形的重要性。度量张量与黎曼几何：深入探讨度量张量（metric tensor）如何定义黎曼曲面上的距离和角度。我们将介绍曲率的概念，特别是高斯曲率（Gaussian curvature），并讨论其与曲面内在几何的深刻联系。这将为后续理解黎曼曲面上的分析奠定基础。测地线与曲率流：学习测地线（geodesics）的概念，即黎曼曲面上“最短路径”的推广。我们将探讨测地线方程，并初步了解曲率流（curvature flow）等动态几何过程。第二部分：拓扑的脉络黎曼曲面的本质不仅在于其光滑的几何结构，更在于其固有的拓扑特性。我们将从拓扑学的基本原理出发，揭示黎曼曲面所蕴含的结构信息。连通性与基本群：探讨连通分支（connected components）和局部连通性。我们将引入基本群（fundamental group）的概念，它捕捉了曲面上所有不同“洞”的信息。对于黎曼曲面，基本群的结构直接决定了其拓扑分类。同调论与欧拉示性数：介绍同调论（homology theory）作为一种更强大的工具来理解曲面的拓扑结构。我们将计算欧拉示性数（Euler characteristic），并证明它与曲面上的“洞”的数量直接相关，这是分类黎曼曲面的关键不变量。可定向性与边界：讨论可定向性（orientability）的概念，以及无边黎曼曲面和有边黎曼曲面之间的区别。第三部分：复结构的引入黎曼曲面之所以如此迷人，很大程度上源于其独特的复结构。这一部分将是本书的核心，我们将详细介绍如何将复分析的强大工具应用于几何对象。复流形与全纯函数：定义复流形（complex manifold），并重点关注二维复流形，即黎曼曲面。我们将引入全纯函数（holomorphic function）的概念，它们是复解析函数在黎曼曲面上的推广。切空间与张量场：重新审视切空间（tangent space）的概念，并引入复切空间。我们将讨论全纯向量场（holomorphic vector fields）和全纯微分形式（holomorphic differential forms）等对象。局部坐标下的复结构：详细阐述如何在局部坐标下定义复结构，并说明它如何与度量张量相互作用。我们将介绍与复结构相关的曲率，例如陈类（Chern classes）。解析延拓：探讨解析延拓（analytic continuation）在黎曼曲面上的应用，这是理解单值化定理（Uniformization Theorem）的关键。第四部分：黎曼曲面的分类与特殊性质有了前面的基础，我们将进入黎曼曲面分类的激动人心的领域。单值化定理：详细证明和阐述单值化定理，它声称所有单连通的黎曼曲面都同胚于球面、复平面或双曲平面。我们将讨论这一定理的深远意义。紧黎曼曲面：重点研究紧黎曼曲面（compact Riemann surfaces）的性质，它们是代数几何中的重要研究对象。我们将讨论其亏格（genus）以及亏格与基本群、欧拉示性数之间的关系。函数论与可积系统：初步介绍黎曼曲面在函数论中的应用，例如阿贝尔积分（Abelian integrals）和雅可比多样体（Jacobian varieties）。我们还将瞥见黎曼曲面在可积系统（integrable systems）等前沿研究中的作用。第五部分：应用与拓展最后，我们将展示黎曼曲面在其他数学分支以及物理学中的广泛应用。代数几何的视角：介绍黎曼曲面与代数曲线（algebraic curves）的对应关系，以及它们在代数几何中的重要性，例如希尔伯特方案（Hilbert scheme）和模空间（moduli spaces）。拓扑场论与弦理论：探讨黎曼曲面在拓扑场论（topological field theories）和弦理论（string theory）中的角色，它们是理论物理学中描述基本粒子和宇宙的强大工具。其他研究方向：简要提及黎曼曲面在微分几何、动力系统等领域的其他研究方向，以激发读者的进一步探索兴趣。本书力求在严谨的数学论证和清晰的几何直觉之间取得平衡，通过丰富的例子和练习，帮助读者深入理解黎曼曲面的精妙之处。无论您是数学专业的学生，还是对现代数学前沿感兴趣的研究者，本书都将为您提供一座通往黎曼曲面世界的坚实桥梁。

作者简介

目录信息

Introduction:
1-1 Algebraic functions and Riemann surfaces
1-2 Plane fluid flows
1-3 Fluid flows on surfaces
1-4 Regular potentials
1-5 Meromorphic functions
1-6 Function theory on a torus
General Topology:
2-1 Topological spaces
2-2 Functions and mappings
2-3 Manifolds
Riemann Surface of an Analytic Function:
3-1 The complete analytic function
3-2 The analytic configuration
Covering Manifolds:
4-1 Covering manifolds
4-2 Monodromy theorem
4-3 Fundamental group
4-4 Covering transformations
Combinatorial Topology:
5-1 Triangulation
5-2 Barycentric coordinates and subdivision
5-3 Orientability
5-4 Differentiable and analytic curves
5-5 Normal forms of compact orientable surfaces
5-6 Homology groups and Betti numbers
5-7 Invariance of the homology groups
5-8 Fundamental group and first homology group
5-9 Homology on compact surfaces
Differentials and Integrals:
6-1 Second-order differentials and surface integrals
6-2 First-order differentials and line integrals
6-3 Stokes' theorem
6-4 The exterior differential calculus
6-5 Harmonic and analytic differentials
The Hilbert Space of Differentials:
7-1 Definition and properties of Hilbert space
7-2 Smoothing operators
7-3 Weyl's lemma and orthogonal projections
Existence of Harmonic and Analytic Differentials:
8-1 Existence theorems
8-2 Countability of a Riemann surface
Uniformization:
9-1 Schlichtartig surfaces
9-2 Universal covering surfaces
9-3 Triangulation of a Riemann surface
9-4 Mappings of a Riemann surface onto itself
Compact Riemann Surfaces:
10-1 Regular harmonic differentials
10-2 The bilinear relations of Riemann
10-3 Bilinear relations for differentials with singularities
10-4 Divisors
10-5 The Riemann-Roch theorem
10-6 Weierstrass points
10-7 Abel's theorem
10-8 Jacobi inversion problem
10-9 The field of algebraic functions
10-10 The hyperelliptic case References Index
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书的体验，更像是在一位学识渊博、思维严谨的导师指导下进行一次漫长的学术考察。导师的讲解总是精确无误，但又不失对美的追求。在涉及特征或者不变式这类抽象概念时，本书的叙述非常到位，它没有试图用过于简化的语言去“稀释”这些概念的本质，而是明确指出了其在不同数学分支中的角色和重要性。比如，在讨论亏格与自由能之间的关系时，那种行云流水的数学推导，简直就是一场智力的盛宴。这本书的价值在于其深度和广度兼具，它不仅教会你如何处理黎曼曲面上的经典问题，更重要的是，它培养了一种严谨的、结构化的数学思维方式。虽然阅读过程需要投入大量精力，但最终收获的不仅仅是知识点，更是一种对抽象数学结构美感的深刻领悟，这对于任何一个认真对待数学学习的人来说，都是一笔无价的财富。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙述风格，坦白说，初读时需要一定的耐心和专注力，它绝不是那种追求“快速入门”或“肤浅概览”的读物。作者似乎秉持着一种“对真理保持敬畏”的态度，每一个定理的证明都力求完备和严密，几乎没有跳跃性的步骤，这对于想要真正掌握其精髓的读者来说，是莫大的福音。我注意到，作者在处理诸如分支点、奇点以及黎曼曲面的模空间这类前沿概念时，采取了非常审慎的态度，先从几何直观入手，再迅速过渡到代数和分析的精确描述。这种“先画图，后计算”的策略极大地帮助理解。此外，书中穿插的大量历史背景和不同学派观点的对比，也让学习过程不那么枯燥，它不再是孤立的符号游戏，而是数学家们几代人智慧的结晶。不过，我必须承认，那些涉及微分形式和上同调理论的部分，对于缺乏足够预备知识的读者来说，可能需要反复研读，但一旦突破这个瓶颈，后面深入的拉普拉斯算子或狄利克雷原理的讨论，便会展现出无与伦比的美感。

评分☆☆☆☆☆

作为一本进阶教材，本书在习题设计上体现了极高的水准，这往往是衡量一本好书的关键所在。这里的习题并非仅仅是检验公式记忆或基本计算能力的测试题，它们更像是对所学概念的深度挖掘和拓展。有些习题直接引导读者构建出在正文略写而过的关键例子，比如特定类型曲面的规范化过程，或是对某个代数曲线的几何分析。更有意思的是，部分思考题设计得极为精巧，它们要求读者将不同章节的知识点进行巧妙的联结，比如将拓扑分类与函数空间上的分析特性联系起来。完成这些习题的过程，与其说是“做作业”，不如说是一场与作者进行的、充满挑战性的智力对话。通过这些练习，我才真正体会到，黎曼曲面不仅仅是复变函数的几何载体，它本身就是一个丰富且自洽的数学结构，有着其内在的深刻联系，而这些联系，只有在亲手去“构建”和“推导”时才能被牢固掌握。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，那种低调的典雅感，触感细腻的封面材料，仿佛预示着即将开启一段严谨而深邃的数学旅程。内页的纸张质量也是一流，字迹清晰，排版疏密得当，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到明显的疲劳。翻开书页，扑面而来的是一种清晰、有条理的逻辑感，这对于初涉这一领域的人来说无疑是巨大的鼓舞。作者在绪论部分就奠定了坚实的基础，没有急于抛出那些令人望而生畏的复杂定义，而是循序渐进地引导读者理解从基础拓扑到复变函数中若干核心概念的过渡。尤其是关于连通性和紧致性在曲面上的直观解释，用了很多精妙的比喻，让那些抽象的概念瞬间变得“可触摸”。我特别欣赏作者在引入局部坐标系和复结构时的那种细致入微的铺陈，这不仅仅是数学技巧的展示，更像是一次精心策划的导览，确保每一步的搭建都坚实可靠。整体来看，这本书的物理呈现和开篇的引导，都散发着一种专业且充满诚意的气息，让人有信心深入其中。

评分☆☆☆☆☆

本书的章节组织呈现出一种清晰的“螺旋上升”结构，每一部分都建立在前一部分的坚实基础上，但又不断引入新的视角和工具，使得读者对同一个核心对象——黎曼曲面——的理解层次不断加深。例如，从最初的拓扑构造，到引入复结构，再到后面深入探讨其代数性质（如能调和函数），乃至最后对模空间的初步探讨，每一步都不是重复，而是对前文概念的深化和应用。特别是关于高斯-布内定理的讨论，作者没有仅仅停留在公式的层面，而是详细阐述了其背后深刻的几何直觉，并巧妙地将其与曲面上亚纯函数的零点、极点分布联系起来，这种融会贯通的讲解方式令人印象深刻。对于那些希望将黎曼曲面知识应用于代数几何或微分几何的读者来说，这本书提供的背景知识和精确的工具箱，显得尤为宝贵和实用，它为更高级的学习铺设了极为平坦的轨道。

评分☆☆☆☆☆

每个黎曼曲面都是无限离散群对万有覆盖作用的商；单值化定理是从黎曼映射定理（复平面的开子集）推广而来（任意单连通开曲面）；单值化定理的分类（曲率和亏格）与闭曲面高斯博内特分类（欧拉示性数符号）相容且是和小平邦彦的复代数曲线分类相容。证明庞加莱的猜想中的瑟斯顿的单值化定理证明。黎曼面的引入的关键的问题是一个解析函数什么时候是代数函数，解析函数符合一个代数方程其系数是多项式，而这个解本身是多值的本身就会出现周期现象，阿贝积分（等价类）出现了周期的原因。周期也就是挠元素。定向且有黎曼度量的流形是黎曼曲面也就是有一个共形结构。非紧黎曼曲面是stein流形

评分☆☆☆☆☆