Multivariable Calculus and Differential Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:De Gruyter

作者:Gerard Walschap

出品人:

页数:355

译者:

出版时间:2015-6-12

价格:USD 49.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783110369496

丛书系列:

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• 数学-微分几何
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• 流形

《多变量微积分与微分几何》是一本致力于探索高维空间中函数行为以及曲面和流形内在性质的著作。本书的编写旨在为读者提供一个坚实而全面的数学基础，以理解和分析这些更复杂的数学对象。 关于本书的内容： 本书的开篇将深入探讨多变量微积分的核心概念。我们将从向量和多维空间的基本元素开始，理解向量的加法、标量乘法、点积和叉积等运算，以及它们在几何上的意义。随后，我们将引入多变量函数，并学习如何计算它们的部分导数和梯度。梯度向量将揭示函数在空间中增长最快的方向，这在优化问题中具有至关重要的应用。 偏导数将是理解函数局部变化的关键。我们将通过例子和几何解释来阐明全微分的概念，并在此基础上推导链式法则，从而能够有效地计算复合函数的导数。方向导数将进一步拓展我们的视野，让我们能够计算函数在任意方向上的变化率。 本书将花费大量篇幅来介绍多元函数的极值问题。我们将学习使用一阶和二阶导数来寻找函数的局部最大值、最小值以及鞍点。这涉及到海森矩阵的计算和性质分析，并为解决实际中的最优化问题提供了强大的工具。拉格朗日乘数法作为一种处理约束最优化问题的有效方法，也将得到详尽的讲解和应用。 紧接着，本书将引导读者进入向量微积分的领域。我们将学习线积分和面积分的概念，理解它们如何用于计算曲线上的物理量（如功）和曲面上的物理量（如流量）。这些积分的概念在物理学和工程学中有广泛的应用，例如计算电场或磁场通过曲面的总通量。 本书的另一大核心部分是微分几何。我们将从曲线的微分几何开始，定义曲线的切向量、法向量和法平面，并引入弧长参数化。曲率和挠率将成为描述曲线弯曲和扭曲程度的重要度量。我们将学习如何计算这些量，并理解它们与曲线形状的关系。 随后，我们将自然地过渡到曲面微分几何。我们将引入曲面的参数表示，并定义曲面上的切平面和法向量。第一基本形式将使我们能够计算曲面上点之间的距离和角度，揭示曲面的度量性质。第二基本形式则关注曲面自身的弯曲程度，引入曲率的概念，如主曲率、高斯曲率和平均曲率。我们将深入探讨这些曲率的几何意义，以及它们如何刻画曲面的局部形状。 本书还将探讨曲面的整体性质。高斯曲率的积分性质，如高斯-博内定理，将是联系局部曲率和整体拓扑的重要桥梁。我们将介绍测地线，即曲面上“最短路径”的概念，并理解它们在几何和导航中的作用。 在介绍完基础的微分几何后，本书将进一步探讨流形的概念，将曲线和曲面的思想推广到更高维度。我们将介绍流形的局部欧几里得结构，以及流形上的张量分析。这将为理解更抽象的数学空间，如黎曼流形，奠定基础。 本书还可能包含对以下一些主题的介绍（具体内容会根据章节安排而定）： 多重积分： 学习在二维和三维空间中计算积分，包括雅可比行列式在变量替换中的作用，以及三重积分在计算体积和质量等方面的应用。 向量场： 理解向量场的概念，以及散度和旋度的几何意义，它们在流体力学和电磁学等领域扮演着核心角色。 斯托克斯定理和散度定理： 这些是微积分中的基本定理，它们将线积分、面积分和体积分联系起来，极大地简化了许多问题的计算。 《多变量微积分与微分几何》旨在通过严谨的数学推导、清晰的几何解释和丰富的应用示例，帮助读者建立对多变量微积分和微分几何的深刻理解。本书适合数学、物理、工程、计算机科学以及其他需要用到高维空间分析和几何概念的领域的学生和研究人员。它将为读者打开一扇探索更广阔数学世界的大门。

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读完这本厚厚的册子，我有一种茅塞顿开却又意犹未尽的感觉。它的内容广博精深，对微分几何部分的处理尤其出色，那种将拓扑学的思想与经典几何完美融合的叙述方式，简直令人拍案叫绝。我尤其喜欢作者在引入黎曼几何框架时所采取的渐进式策略，它没有急于抛出复杂的张量分析，而是先从曲线和曲面的基础曲率概念入手，循序渐进地引导读者理解什么是内在几何。这种教学上的“慢工出细活”，使得原本高高在上的理论变得触手可及。唯一让我稍微感到吃力的是，某些章节的论证篇幅稍显冗长，或许是为了照顾初学者，但对于已经有一定基础的读者来说，偶尔会感觉节奏被拉慢了。不过，瑕不掩瑜，其丰富的图示和清晰的图解，有效地弥补了文字的晦涩，使得复杂的坐标变换和张量运算过程得以直观展现。总的来说，这是一本需要投入大量时间去细细品味的“大部头”，但它所能带来的数学洞察力和思维提升是物超所值的投资。

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这是一本教科书，但它读起来更像是一次精心策划的数学漫步。我的主要兴趣点在于其对曲面论的介绍，特别是对外在几何（如高斯绝妙定理）的强调。这本书成功地避免了将微分几何简化为纯粹的线性代数练习，而是始终强调其空间性和拓扑背景。我欣赏它对于主曲率、形状算子等概念的引入方式，它们被置于一个非常清晰的坐标系变化背景之下进行讨论，让人能够清晰地看到这些几何量是如何在不同观测视角下保持不变的。相比之下，书中最开始关于多重积分的讲解略显平淡，其对Fubini定理的讨论虽然全面，但缺乏一些能让人眼前一亮的实例来巩固其在实际计算中的威力。总而言之，这本书在深度上无可挑剔，它迫使读者不仅要学会“如何计算”，更要理解“为什么这么计算”。对于那些渴望跨越传统微积分学习的藩篱，真正进入现代数学殿堂的求知者而言，这本书是不可多得的良伴，它为你打下的基础足够坚固，足以支撑你后续探索更复杂的高维结构。

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这本书的排版和印刷质量给我留下了深刻的印象，这在严肃的数学教材中并不常见。纸张的质感，符号的清晰度，以及公式的对齐方式，都体现了出版方对读者的尊重。内容上，它在多元函数微积分部分的处理方式显得非常扎实，对于梯度的物理意义、散度和旋度的几何解释，探讨得深入而透彻。不过，我个人认为，在探讨诸如斯托克斯公式这类核心定理时，如果能增加一些更具启发性的、与物理学紧密相关的思想实验，可能会让那些对纯理论感到枯燥的读者更有动力。相比之下，它在微分几何部分的叙事风格就显得更为内敛和严谨。虽然理论推导无懈可击，但有时会让人感觉缺少一点“灵气”，即那种引导读者产生强烈好奇心和探索欲望的叙事驱动力。总体来说，它更像是一个结构严谨、功能完善的数学工具箱，能够可靠地提供所需的一切工具，但或许在激发学习热情方面，可以再加一把劲。

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说实话，我最初是冲着它的微分几何部分买的，希望找到一本能将现代几何与经典微积分桥接起来的书。这本书确实做到了这一点，但其在基础微积分上的细致程度，反而让我感到有些惊喜。作者对于“小量”的处理极其谨慎，比如在定义偏导数和全微分时，每一个 $epsilon-delta$ 的论证都给得非常到位，这对于追求数学严谨性的读者来说是极大的福音。然而，这种严谨性也带来了一个副作用：在涉及多变量泰勒展开和极值判断时，证明过程显得异常繁琐，占据了相当大的篇幅，这使得我不得不时常跳过一部分证明直接去看结论，才能跟上整体的学习进度。如果作者能将一些非常基础的、在其他微积分教材中已经烂熟于心的证明进行适当的精简，将篇幅留给更深层次的几何直觉的培养，这本书的实用性可能会更上一层楼。但即便如此，其对概念的精确定义和对定理的完备论述，使其成为一本可以反复查阅的参考书。

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这本书简直是数学爱好者的福音，尤其对于那些想在多元微积分和微分几何领域打下坚实基础的人来说。作者的讲解方式非常清晰，逻辑性极强。初次接触这些概念时，我一直担心会因为抽象而难以理解，但这本书通过大量详实且恰到好处的例子，将那些复杂的理论具体化了。比如，在讲解向量场和流形时，书中不仅给出了严格的定义，还巧妙地融入了物理学和工程学的直观应用，这让我能更好地把握其内在的几何意义，而不仅仅是停留在符号运算层面。书中的习题设计也很有层次感，从基础巩固到深入探索，难度梯度设置得非常合理，让人在不断解决问题的过程中逐步建立起对整个知识体系的信心。我特别欣赏它对细节的关注，很多教科书中一笔带过的地方，这本书都进行了深入的剖析，比如泰勒公式在多维空间中的推广，以及曲率的计算过程，每一步推导都清晰可见，让人茅塞顿开。这本书无疑是我在学习高级微积分和基础微分几何道路上遇到的最好引路人之一，它不仅仅是一本工具书，更像是一位耐心的导师，引导我一步步揭开这些迷人数学概念的神秘面纱。

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