Geometrical Properties of Vectors and Covectors pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Joaquim M. Domingos

出品人:

页数:84

译者:

出版时间:2006-10-9

价格:USD 70.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9789812700445

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 数学-微分几何
• 数学-张量
• 几何
• 向量
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• 几何性质
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• 数学
• 向量分析
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• 数学物理

《向量与余向量的几何性质》 本书深入探讨向量和余向量在几何空间中的核心性质，揭示它们内在的数量关系与空间表现。我们将从向量的基本概念出发，包括其定义、表示法（如笛卡尔坐标、极坐标），以及常见的向量运算（加法、减法、标量乘法）。重点在于阐述向量的几何意义，例如向量作为有向线段，其长度（模）和方向如何定义；向量加法对应的平行四边形法则或三角形法则，以及向量减法在位移、速度等物理量表示中的直观理解。 本书将详细介绍点积（内积），不仅在代数层面给出计算公式，更会聚焦其几何解释：两个向量夹角的余弦与它们模的乘积。点积的零值意味着向量正交，这在解析几何中有着至关重要的应用，例如判断直线与平面是否垂直，或者求解曲线在某个方向上的投影长度。我们还将探讨点积在能量、功等物理概念中的体现。 紧随其后的是叉积（外积），它定义于三维欧几里得空间，其结果是一个新的向量。本书将详尽阐述叉积的几何意义：其模等于构成两个向量的平行四边形的面积，其方向则垂直于这两个向量所在的平面，并遵循右手定则。叉积的应用广泛，从计算曲面面积，到描述角动量、磁场力等物理现象。我们将通过丰富的实例，展示叉积在三维建模、物理仿真等领域的实用价值。 余向量（covector）的概念及其与向量的对应关系是本书的另一核心。我们将首先介绍线性函数（或称1-形式）的概念，以及如何将其与向量关联起来。余向量虽然抽象，但它们在描述物理量变化率、梯度等问题中扮演着关键角色。本书将清晰地解释余向量的“作用”，即它如何“作用”于一个向量，产生一个标量值。我们还会深入研究对偶空间（dual space）的概念，理解余向量如何构成一个与原向量空间对偶的向量空间。 本书将着重阐述向量与余向量之间的对偶性。我们将解释如何在给定度量张量（metric tensor）的情况下，通过“升降指标”的操作，将向量与余向量相互转化。这种转化在张量分析、微分几何等高级领域是基础。我们将通过具体的例子，说明这种转化如何简化问题，以及它在不同坐标系下的表现。 本书还将探讨向量和余向量在不同几何空间中的性质，包括欧几里得空间、仿射空间以及黎曼流形。在欧几里得空间中，我们有完备的度量和曲率概念；在仿射空间中，我们关注平行性和线性变换；而在黎曼流形上，度量张量变得复杂，它本身可以被看作是一个二阶协变张量，这使得向量和余向量的几何性质分析更具挑战性，但也更丰富。本书将逐步引入这些概念，并解释向量和余向量在这种更一般的空间中如何被定义和操作。 此外，我们还将涉及一些相关的数学工具，如张量代数的基本概念，包括张量的定义、类型（协变、逆变、混合）以及张量运算。本书将强调向量和余向量作为最基础的张量，它们如何构成了更复杂张量的基础。我们将通过清晰的推导和图示，帮助读者理解张量的几何含义和代数运算规则，并将其应用于向量和余向量的性质分析中。 最后，本书会给出一些应用实例，展示向量和余向量的几何性质如何在物理学、工程学、计算机图形学等领域发挥作用。例如，在电磁学中，电场和磁场可以被视为向量场；在流体力学中，速度场和压强梯度则与余向量相关。通过这些实例，读者将能更深刻地理解抽象的数学概念与现实世界的联系。 本书的目标是为读者建立一个扎实的向量和余向量几何性质的理解框架，使其能够自信地处理与这些概念相关的各种数学和物理问题。

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这本书的装帧设计简直是一场视觉盛宴，封面那富有张力的几何图形与深邃的色调搭配，让人在拿起它的一刹那，就仿佛被拉入了一个充满抽象美感的数学宇宙。内页的排版更是考究，文字与图示的留白处理得恰到好处，墨水的色泽也显得沉稳而有力。我特别欣赏作者在处理复杂公式时的细腻之处，那些符号并非冷冰冰的堆砌，而是被精心布局，使得原本晦涩的理论在视觉上变得清晰可辨，即便是初次接触这些概念的读者，也能在心理上降低一定的阅读门槛。装订工艺牢固，纸张的质感也相当不错，即便是需要频繁翻阅查找特定定理的场景，也丝毫不用担心书本会轻易损坏，这对于需要长时间与书本为伴的专业人士来说，无疑是一个巨大的加分项。可以说，从触感到视觉，这本书都体现了对知识的尊重与对读者的关怀，是一本值得陈列在书架上，也值得时常翻阅的佳作。

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老实说，这本书的语言风格初看之下略显“干燥”，但深入阅读后，我领悟到这是一种刻意的、极简主义的美学表达。作者的措辞精准到不容许任何歧义，每一个动词和名词的选择都直指核心概念，没有冗余的叙述或华丽的辞藻来分散读者的注意力。这种近乎“冷峻”的学术风格，反而确保了信息的纯粹性。对于我这样的研究者而言，最怕的就是模糊不清的定义，而这本书在这方面做得无懈可击。它要求读者保持高度的专注力，一旦跟上了作者的思维节奏，就会发现这种简洁的力量是多么强大，它迫使我们的大脑以最有效率的方式处理信息，直接与数学的本质对话，这是一种非常高效的学习体验。

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这本书的结构设计非常巧妙，它不仅仅是知识的线性堆砌，更像是一张精心编织的知识网。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采用的“铺垫”技巧，往往在看似基础的章节中，就已经埋下了未来更深层次理论的伏笔。例如，某个看似普通的积分变换，在后续章节中被揭示为更宏大理论的特例，这种“回响”机制极大地增强了阅读的连贯性和趣味性，避免了知识点的碎片化。此外，书中提供的习题——虽然数量不多——但每一个都极具代表性和挑战性，它们的设计思路不是简单地测试计算能力，而是考验对所学概念的内化和灵活运用，真正做到了学以致用，而不是死记硬背公式。

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这本书带给我最大的价值在于它对“直觉”培养的深刻影响。很多物理和工程背景的读者在面对纯粹的几何分析时常感吃力，因为我们习惯于依赖具体图像。然而，这本书通过构建一种高度抽象但又逻辑自洽的框架，成功地引导读者超越了对具体空间形态的依赖，转向对内在结构关系的把握。它没有过多依赖于三维或四维的具象类比，而是直接深入到代数和拓扑的根基，从而构建起一种更具普适性的“几何直觉”。读完后，我发现自己看待许多传统问题时，视角都变得更加开阔和灵活，仿佛多了一双能够看穿表象、直达本质几何规律的眼睛，这对于任何需要进行抽象建模的领域都具有不可估量的长期指导意义。

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我对这本书的论述深度感到由衷的敬佩，作者在每一个章节的过渡和逻辑推进上展现出了惊人的洞察力。它并非仅仅是对现有理论的简单复述或整合，更像是对向量和协向量世界进行了一次彻底而优雅的“解剖”。阅读过程中，我发现作者总能在看似不相关的概念之间搭建起坚实的桥梁，让原本需要多本书籍才能建立起来的整体认知，在这本书中得到了有机的统一。特别是在探讨高维空间中的张量结构时，作者的论证路径清晰而有力，每一步的推导都如同精密的机械运作，环环相扣，让人不得不停下来反复咀嚼其中的精髓。这种行云流水的叙述方式，极大地激发了我的思考，让我对基础数学工具的理解上升到了哲学思辨的层面，远超出了单纯的工具书范畴。

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