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出版者:

作者:Shifrin, Theodore

出品人:

页数:504

译者:

出版时间:2004-1

价格:1825.00元

装帧:

isbn号码:9780471526384

丛书系列:

图书标签:

• 数学-微分几何
• 数学-calculus
• 数学-LinearAlgebra
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• 数学
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探索浩瀚数学星辰：一本关于分析、代数与几何的融合之旅 本书并非一本关于“多变量数学”的教科书，而是一次深入数学核心概念的精彩探索，旨在揭示构成现代科学与工程基石的数学原理。我们穿越严谨的分析学领域，深入理解函数的精妙变化；徜徉于抽象的代数结构，领略逻辑的优雅力量；翱翔于可视化的几何空间，感受形状与维度的奥秘。 第一部分：函数分析的深度雕琢 我们将从最基础的数学语言——函数开始，但目光将超越单变量的局限，直抵多变量函数的精妙世界。在这里，你将接触到： 极限与连续性： 深入理解多变量函数在趋近某一点时的行为，以及函数在空间中的平滑过渡。这不仅仅是数值上的逼近，更是对函数“整体性”理解的基石。我们将通过直观的几何解释和严谨的数学定义，让你领略到“无限接近”的深刻含义。 微分的艺术： 探索偏导数和方向导数，理解函数在不同方向上的变化率。我们不仅仅计算数值，更要理解这些数值背后所代表的几何意义——切平面、梯度以及函数最陡峭的上升方向。梯度下降等优化算法的根源，便藏于此。 积分的广阔天地： 从二重积分和三重积分开始，我们将学习如何在多维空间中计算面积、体积和质量。多重积分并非简单的累加，而是通过巧妙的变换（如雅可比变换）将复杂区域转化为简单区域，从而实现计算的简化。我们将接触到线积分和面积分，理解向量场在曲线或曲面上的“做功”或“流量”，这是物理学中电磁学、流体力学等领域不可或缺的工具。 级数与收敛性： 探索函数级数和幂级数，理解如何用无限项的简单函数逼近复杂的函数。泰勒级数不仅仅是一个公式，它更是将局部信息推广到整体的强大工具，是理解很多分析工具的钥匙。我们将分析级数的收敛性，确保我们构建的数学模型是稳定可靠的。 第二部分：抽象代数的力量之源 本部分将引领你进入一个由符号和结构构建的逻辑殿堂。我们将摒弃具体数值的束缚，专注于数学对象的内在属性和它们之间的关系： 群论的优雅： 从对称性入手，理解群的概念——一个集合加上一个二元运算，满足特定的性质。我们将探索置换群、循环群等具体例子，理解它们的结构和性质。群论不仅在数学内部有着深远的影响，更是化学（分子对称性）、物理学（粒子物理学）和密码学等领域的重要理论基础。 环与域的和谐： 在群的基础上，我们进一步引入两种运算，构建环和域。环是具有加法和乘法运算的代数结构，而域则是在环的基础上进一步要求乘法运算的“可逆性”。整数环、多项式环、复数域等都是我们探索的对象。这些结构为我们理解数域的扩张、代数方程的解以及数论中的许多问题提供了框架。 线性代数的基石： 向量空间、线性变换、矩阵等概念将是本部分的重中之重。我们将学习如何用向量和矩阵来描述和操作高维空间中的对象，以及如何通过矩阵运算来解决线性方程组、进行坐标变换、求解特征值和特征向量。线性代数是机器学习、计算机图形学、数据科学以及几乎所有工程领域的核心语言。 第三部分：几何学的维度与变换 几何学不仅仅是关于形状的描述，更是关于空间性质的深刻洞察。本部分将拓展你的几何视野，进入抽象的几何空间： 欧几里得几何的延伸： 我们将从熟悉的欧几里得空间出发，理解向量的几何意义，以及点积、叉积等运算在几何中的应用。点积与角度和投影密切相关，而叉积则能帮助我们理解垂直向量和面积。 流形初探： 探索更一般的几何空间——流形。流形是局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间，这使得我们可以将微积分的工具推广到弯曲的空间中。微分流形是研究黎曼几何、广义相对论等前沿科学的必备工具。 度量空间的结构： 理解度量空间的定义，以及距离、范数等概念在度量空间中的意义。这为我们理解各种空间的“大小”和“形状”提供了统一的框架，是泛函分析等高级领域的基础。 变换的视角： 学习各种几何变换，如平移、旋转、缩放、剪切等，以及它们在线性代数中的矩阵表示。理解这些变换如何改变几何对象，以及它们在计算机图形学、图像处理等领域的应用。 本书的写作风格力求清晰、严谨且富有启发性。我们不会仅仅罗列公式和定理，而是注重概念之间的联系，强调数学思想的内在逻辑。通过丰富的例子和适度的练习，我们鼓励读者积极思考，主动构建自己的数学理解。无论你是对数学理论本身充满好奇，还是希望为你的科学工程研究打下坚实基础，本书都将是你一次充满收获的旅程。我们将一起拨开数学的迷雾，领略其深邃而迷人的魅力。

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我个人对教材的“可读性”有着近乎苛刻的要求，因为很多时候，一本数学书的优劣就在于作者的叙述风格。有些书写得非常严谨，但读起来像是在啃一块没有调味的干面包，索然无味。而这本《Multivariable Mathematics》的叙事方式非常人性化。它不像某些经典著作那样高高在上，而是保持了一种平易近人但又不失专业性的口吻。作者在关键转折点会插入一些历史背景或者著名数学家是如何发现这些概念的“小故事”，这极大地丰富了阅读体验，让学习过程不那么枯燥。更重要的是，它的数学符号和术语介绍非常规范和细致，每一个新符号的出现，都会伴随着清晰的定义和使用规范，避免了不同作者间符号不统一带来的困扰。我发现自己不仅仅是在“学习知识点”，更像是在学习一套“规范的数学语言体系”。这种对细节的把控，让我在阅读其他参考资料时，也感到更加自信和流畅，可以说，它教会了我如何正确地“阅读”一本高级数学书。

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这本书的理论深度和广度，完全对得起它“多变量”这个名字。我原本以为它会像市面上一些入门书籍那样，把重点放在二维和三维空间的操作上，但它远不止于此。作者对抽象空间的处理非常到位。从欧几里得空间到更一般的流形（虽然只是点到为止的引入），这本书提供了一个非常坚实的数学基础，让你明白我们所学的偏导数、多重积分，本质上都是线性代数和泛函分析在特定场景下的具体表现。特别是在讨论格林公式、斯托克斯定理这些高级工具时，作者的表述极其清晰，它没有把这些看作是一堆需要死记硬背的积分公式，而是着重强调了它们背后的“微分形式”和“边界关系”这一核心思想。通过对这些定理几何意义的深入剖析，我终于摆脱了那种“套公式”的低效学习状态，开始理解为什么这些定理在物理学中如此重要。这本书更像是一座桥梁，连接了传统的微积分计算与现代的微分几何概念，对于未来想从事理论研究的人来说，无疑是极佳的导航图。

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我必须得说，这本书的习题设置简直是艺术品级别的难度梯度管理。很多教材的习题要么过于简单，做完感觉没学到什么新东西，要么就是突然冒出几道神仙题，让人看了就想合上书本去喝杯咖啡冷静一下。但《Multivariable Mathematics》的编排恰到好处。基础题部分巩固了基本计算和定义理解，让你扎扎实实地掌握了工具的使用方法；紧接着的“应用型练习”部分，则巧妙地将微积分知识点嵌入到物理、经济甚至稍微有点晦涩的拓扑背景中，让你不得不思考如何将数学语言“翻译”成实际问题。最让我惊喜的是那些“挑战题”或“探索性问题”。这些题目往往需要综合运用好几个章节的知识点，甚至要求读者自己去证明一些小的引理。完成其中一道这样的题目，那种醍醐灌顶的成就感，是单纯通过听讲座或看别人的笔记绝对无法获得的。它真正锻炼的是那种独立思考、构建数学论证链条的能力，这才是高等数学学习的核心价值所在。我已经把错题本做得比课本本身还厚了，每次翻阅都像是在跟一位严厉又耐心的导师对话。

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这本书，说实话，我拿到手的时候还是有点小激动的。封面设计简洁大气，一看就知道是那种正经的、学术范儿十足的教材。我当时正在为微积分的后续课程做准备，尤其对多变量函数的分析部分感到有点吃力。这套书的排版很舒服，字体选择和行距都让人阅读起来很放松，这一点对于长时间盯着公式和证明材料看的人来说简直是救命稻草。我记得我刚翻开第一章，就感受到了作者在构建知识体系上的用心良苦。他们似乎非常清楚初学者在理解向量空间、偏导数这些概念时会遇到的思维定势和常见误区，因此在引入新概念时，总会用非常直观的、贴近实际的例子来做铺垫，而不是直接抛出抽象的定义。比如，在讲解梯度向量时，作者没有急于展示复杂的向量演算，而是先从山坡的坡度和水流的方向这种物理图像入手，让人一下子就抓住了“方向导数”的本质含义。这种循序渐进、寓教于乐的讲解方式，极大地降低了学习的心理门槛，让我觉得原本那些高高在上的数学理论，其实也充满了生活的美感和逻辑的严谨。我已经把它当成我近期学习的“定海神针”了。

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这本书在处理微积分与线性代数的交汇点时，展现出了罕见的洞察力。很多多变量微积分的书籍，要么线性代数部分讲得太浅，只是把矩阵运算作为一种工具来使用，要么就是直接假定读者已经完全掌握了所有线性代数知识，导致学习曲线非常陡峭。而《Multivariable Mathematics》采取了一种高明的策略：它将线性代数的概念，比如矩阵的秩、特征值分解，非常自然地融合到多变量函数的分析中。例如，在讨论二阶偏导数构成的Hessian矩阵时，作者不仅展示了如何计算它，更深入地解释了Hessian矩阵的正定性如何直接对应于函数极值的鞍点、局部最小值或最大值。这种“计算驱动理论，理论解释计算”的良性循环，让我真正理解了为什么线性代数是多变量分析的骨架。通过这本书，我开始以一种更结构化的眼光看待整个数学学科的联系，而不是孤立地看待每一个知识模块。它真正达到了“融会贯通”的学习效果，远超我最初的预期。

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trash, but 205 is so fun

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