具体描述
同调代数领域在20世纪后半叶己演进成为数学研究人员的一种基本工具。本书论述了关于当今同调代数的基本概念，并阐述了同调代数与拓扑学、正则局部环以及半单李代数联系的历史渊源。
本书前半部分论述了导出函子、Tor与Ext函子、透视维数及谱序列等同调代数的典范论题，群的同调和李代数解释了这些论题。其间混杂某些不甚典范的论题，如导出逆极限函子lim、周部上同调、伽罗瓦上同调以及仿射李代数。
本书后半部分论述了一些并非传统的论题，它们是现代同调数学工具箱中的重要部分，如单纯形法、霍赫希尔德和循环同调、导出范畴以及全导出函子。本书通过展示这些工具的使用方法，帮助初学者突破同调代数的技术壁垒。
作者简介
Charles A.Weibel罗格斯大学教授，数学系研究生项目副主任，《Journal of Pure and Applied Algebra》杂志主编。他的研究领域包括代数K理论、代数几何和同调代数等。
目录信息
1 Chain Complexes
1.1 Complexes of R-Modules
1.2 Operations on Chain Complexes
1.3 Long Exact Sequences
1.4 Chain Homotopies
1.5 Mapping Cones and Cylinders
1.6 More on Abelian Categories
2 Derived Functors
2.1 -Functors
2.2 Projective Resolutions
2.3 Injective Resolutions
2.4 Left Derived Functors
2.5 Right Derived Functors
2.6 Adjoint Functors and Left/Right Exactness
2.7 Balancing Tor and Ext
3 Tot and Ext
3.1 Tot for Abelian Groups
3.2 Tor and Flatness
3.3 Ext for Nice Rings
3.4 Ext and Extensions
3.5 Derived Functors of the Inverse Limit
3.6 Universal Coefficient Theorems
4 Homological Dimension
4.1 Dimensions
4.2 Rings of Small Dimension
4.3 Change of Rings Theorems
4.4 Local Rings
4.5 Koszui Complexes
4.6 Local Cohomology
5 Spectral Sequences
5.1 Introduction
5.2 Terminology
5.3 The Leray-Serre Spectral Sequence
5.4 Spectral Sequence of a Filtration
5.5 Convergence
5.6 Spectral Sequences of a Double Complex
5.7 Hyperhomology
5.8 Grothendieck Spectral Sequences
5.9 Exact Couples
6 Group Homology and Cohomology
6.1 Definitions and First Properties
6.2 Cyclic and Free Groups
6.3 Shapiro's Lemma
6.4 Crossed Homomorphisms and Hi
6.5 The Bar Resolution
6.6 Factor Sets and H2
6.7 Restriction, Corestriction, Inflation, and Transfer
6.8 The Spectral Sequence
6.9 Universal Central Extensions
6.10 Covering Spaces in Topology
6.11 Galois Cohomology and Profinite Groups
7 Lie Algebra Homology and Cohomology
7.1 Lie Algebras
7.2 ft-Modules
7.3 Universal Enveloping Algebras
7.4 Hl and Hi
7.5 The Hochschild-Serre Spectral Sequence
7.6 H2 and Extensions
7.7 The Chevalley-Eilenberg Complex
7.8 Semisimple Lie Algebras
7.9 Universal Central Extensions
8 Simplicial Methods in Homological Algebra
8.1 Simplicial Objects
8.2 Operations on Simplicial Objects
8.3 Simplicial Homotopy Groups
8.4 The Dold-Kan Correspondence
8.5 The Eilenberg-Zilber Theorem
8.6 Canonical Resolutions
8.7 Cotriple Homology
8.8 Andre-Quillen Homology and Cohomology
9 Hochschild and Cyclic Homology
9.1 Hochschild Homology and Cohomology of Algebras
9.2 Derivations, Differentials, and Separable Algebras
9.3 H2, Extensions, and Smooth Algebras
9.4 Hochschild Products
9.5 Morita Invariance
9.6 Cyclic Homology
9.7 Group Rings
9.8 Mixed Complexes
9.9 Graded Algebras
9.10 Lie Algebras of Matrices
10 The Derived Category
10.1 The Category K(A)
10.2 Triangulated Categories
10.3 Localization and the Calculus of Fractions
10.4 The Derived Category
10.5 Derived Functors
10.6 The Total Tensor Product
10.7 Ext and RHom
10.8 Replacing Spectral Sequences
10.9 The Topological Derived Category
A Category Theory Language
A.1 Categories
A.2 Functors
A.3 Natural Transformations
A.4 Abelian Categories
A.5 Limits and Colimits
A.6 Adjoint Functors
References
Index
· · · · · · (收起)
读后感
范畴（category）理论是现代数学中的一个基本概念，下面我们就来对它做一个相对比较深入的讨论，主要介绍Abel范畴、三角范畴与导出范畴的基本概念。 所谓范畴C，主要是由下列数据组成： （1）对象Ob（C） （2）对象之间的态射Hom（X，Y），X，Y∈Ob（C） ...
评分范畴（category）理论是现代数学中的一个基本概念，下面我们就来对它做一个相对比较深入的讨论，主要介绍Abel范畴、三角范畴与导出范畴的基本概念。 所谓范畴C，主要是由下列数据组成： （1）对象Ob（C） （2）对象之间的态射Hom（X，Y），X，Y∈Ob（C） ...
评分范畴（category）理论是现代数学中的一个基本概念，下面我们就来对它做一个相对比较深入的讨论，主要介绍Abel范畴、三角范畴与导出范畴的基本概念。 所谓范畴C，主要是由下列数据组成： （1）对象Ob（C） （2）对象之间的态射Hom（X，Y），X，Y∈Ob（C） ...
评分范畴（category）理论是现代数学中的一个基本概念，下面我们就来对它做一个相对比较深入的讨论，主要介绍Abel范畴、三角范畴与导出范畴的基本概念。 所谓范畴C，主要是由下列数据组成： （1）对象Ob（C） （2）对象之间的态射Hom（X，Y），X，Y∈Ob（C） ...
评分范畴（category）理论是现代数学中的一个基本概念，下面我们就来对它做一个相对比较深入的讨论，主要介绍Abel范畴、三角范畴与导出范畴的基本概念。 所谓范畴C，主要是由下列数据组成： （1）对象Ob（C） （2）对象之间的态射Hom（X，Y），X，Y∈Ob（C） ...
用户评价
在我看来，一本真正好的数学导论，不仅要能够清晰地介绍核心概念，更要能够激发读者进一步探索的兴趣，并为读者未来的学习路径提供清晰的指引。《同调代数导论》正是这样一本令人印象深刻的书籍。作者以其深厚的学术功底和独到的教学智慧，将同调代数这一相对抽象的领域，以一种既严谨又易于理解的方式呈现出来。我特别喜欢书中对“范畴”（category）和“函子”（functor）的引入，这为我打开了一个全新的数学视角。我从未想过，如此抽象的概念，竟然能够如此自然地贯穿于整个同调代数体系，并且能够提供一个统一的语言来描述和分析各种代数结构。作者在讲解导出函子时，巧妙地利用了链复形和同调群的性质，让我看到了一个看似“不完善”的函子，可以通过导出函子来获得更丰富的信息，这让我对数学的“补全”和“拓展”思想有了更深刻的理解。书中还适时地引用了一些重要的定理，如蛇引理（snake lemma），并对其证明进行了详细的阐述，这不仅让我掌握了这一重要的工具，也让我领略了代数证明的精妙之处。总而言之，这本书不仅仅是一本教材，更是一次数学思维的洗礼。它让我学会了如何用更抽象、更普遍、更具洞察力的方式去思考数学问题，这种思维方式的转变，将对我未来的数学学习和研究产生深远的影响。
评分这本书的出现，对我来说，仿佛在迷雾重重的代数世界里点亮了一盏明灯，让我得以窥见那些曾经遥不可及的抽象概念的内在联系。我一直对数学怀有浓厚的兴趣，尤其是在接触了一些基础的群论、环论和域论之后，总觉得代数结构之间似乎存在着一种更深层次、更普适的关联，而《同调代数导论》恰恰解答了我长久以来的困惑。翻开第一页，我就被作者严谨而清晰的逻辑所吸引。从基础的模（module）的概念出发，循序渐进地引入了同态（homomorphism）、核（kernel）、像（image）等基本工具，并详细阐述了它们在代数构造中的作用。随后，对短正合列（short exact sequence）的深入探讨，更是让我眼前一亮。我从未想到，如此简单的结构竟然能蕴含如此丰富的信息，并且能够被用来分析和理解更复杂的代数对象。作者通过大量的实例和精心设计的练习题，帮助我一步步地掌握同调代数的核心思想，比如函子（functor）的概念，以及左函子和右函子在研究代数结构时的强大威力。特别是关于导出函子（derived functor）的引入，让我初步领略到了代数拓扑中奇异同调（singular homology）的代数根源，这对我来说是一个巨大的启发。书中对阿贝尔范畴（Abelian category）的初步介绍，也为我理解同调代数的普遍性打下了基础，让我意识到这些概念并非仅仅局限于某些特定的代数系统，而是可以推广到更广泛的范畴框架下。总而言之，这本书不仅仅是一本教材，更像是一次深入的思维训练，它不仅教授了我知识，更重要的是，它教会了我如何去思考代数问题，如何发现隐藏在表象之下的深刻联系。
评分作为一名对数学充满好奇心的学习者，我一直在寻找能够拓展我思维边界的书籍。《同调代数导论》无疑满足了我的这一期待。作者在讲解同调代数的核心思想时，始终强调着“关联”和“结构”的重要性。我特别喜欢书中对链复形和同调群的介绍，这不仅仅是形式上的运算，更是对代数对象“结构性缺陷”的一种度量。通过引入链同伦的概念，我明白了在同调代数中，我们关注的往往是“等价”的结构，而非具体的表示，这是一种非常强大的抽象和分类思想。书中对自由模、投射模、内射模的详细介绍，以及它们在构造同调分解中的核心作用，为我理解复杂代数对象的结构提供了坚实的基础。特别是关于Ext和Tor函子的讲解，让我看到了同调代数在研究模的扩张和结构方面的巨大潜力。作者还通过对比分析，让我清晰地认识到正合函子和非正合函子之间的区别，以及如何利用导出函子来“弥补”非正合函子带来的信息损失。这种“补全”和“导出”的思想，在数学中具有普遍的意义。总而言之，这本书不仅仅是教授我一套新的数学工具，更重要的是，它教会了我如何用一种更抽象、更普遍、更具洞察力的方式去思考数学问题，这种思维模式的转变，将对我未来的数学学习和研究产生深远的影响。
评分作为一名在数学领域摸索多年的学习者，我深知掌握一套有效的抽象工具对于深化理解的重要性。《同调代数导论》正是这样一本能够极大提升我数学理解力的书籍。作者在讲解时，非常注重逻辑的严谨性和论证的完备性，但又不失数学的趣味性。我特别欣赏作者在介绍链复形时，所使用的“层次”和“链接”的比喻，这让我能够直观地理解复形中各个部分之间的关系，以及链映射（chain map）如何传递这些信息。而对于“链同伦”的讨论，则让我明白了在同调代数中，我们关注的往往是“结构”而非“具体表示”，这是一种非常强大的抽象思想。书中对自由模、投射模、内射模的引入，以及它们在构造上同调（homological resolution）中的重要性，为我理解更复杂的代数对象提供了基础。特别是对Ext和Tor函子的详细讲解，让我看到了同调代数在研究模的扩张和结构方面的巨大潜力。作者还通过对比的方式，解释了正合函子（exact functor）和非正合函子（non-exact functor）的区别，以及如何利用导出函子来“补偿”非正合函子的损失，这让我对同调代数的强大功能有了更深刻的认识。读完这本书，我感觉自己在代数思维上得到了极大的锻炼，对于数学中普遍存在的“分类”和“结构”的思想有了更深的体会，也为我未来深入学习代数几何、数论等领域打下了坚实的基础。
评分我一直认为，好的数学书籍不仅仅是传递知识，更重要的是培养读者的数学直觉和解决问题的能力。《同调代数导论》在这一点上做得尤为出色。这本书的叙述风格非常细腻，作者仿佛知道我会在哪里遇到困难，然后在那里提前做好铺垫，或者给出恰到好处的提示。例如，在引入张量积（tensor product）的概念时，作者并没有直接给出复杂的定义，而是先从向量空间的直积（direct product）和张量积之间的区别入手，并通过具体的例子来展示张量积在构造新空间时的独特性，这让我很快就理解了其本质。而当讨论到函子的性质时，比如左正合性（left exactness）和右正合性（right exactness），作者更是通过对比分析，让我清晰地认识到不同类型的函子在保持代数性质方面的差异。特别是对Ext函子（Extension functor）和Tor函子（Torsion functor）的详细介绍，让我明白了它们在研究模的扩张（extensions of modules）和线性代数中与自由模的关系等方面的重要作用。书中大量的图示和表格，也为我理解抽象的链复形和同伦类提供了直观的帮助。我尤其欣赏作者在讲解过程中，并没有回避一些看似“复杂”的定理，而是通过循序渐进的论证，逐步引导读者理解定理的证明思路。这让我感觉自己不是被动地接受知识，而是主动地参与到数学的创造过程中。读完这本书，我不仅掌握了同调代数的基本工具，更重要的是，我学会了如何从更抽象、更普遍的角度去理解代数问题，这种思维方式的转变，是我在这本书中最宝贵的收获。
评分在我接触《同调代数导论》之前，我对代数结构的理解，更多地停留在具体的例子和操作层面。这本书的出现，则为我打开了一个全新的视角，让我能够以一种更抽象、更普遍的眼光来审视代数世界。作者在引入范畴论的概念时，并没有让其显得过于高高在上，而是巧妙地将其与具体的代数对象联系起来，让我理解了范畴论作为一种强大的抽象框架，是如何统一和组织各种代数结构。我尤其欣赏作者对函子概念的讲解，特别是左函子和右函子在保持代数性质方面的差异，以及如何利用导出函子来“扩展”或“补偿”这些性质。这让我看到了代数结构之间一种深刻的、动态的联系。书中对阿贝尔范畴的讨论，更是为我提供了理解同调代数普适性的重要依据。我明白了，许多在特定代数系统中出现的同调概念，都可以在更广阔的阿贝尔范畴框架下得到统一的解释。作者在叙述过程中，并没有回避一些看似“复杂”的定理，而是通过循序渐进的论证，逐步引导读者理解定理的证明思路。这让我感觉自己不是被动地接受知识，而是主动地参与到数学的创造过程中。读完这本书，我不仅掌握了同调代数的基本工具，更重要的是，我学会了如何从更抽象、更普遍的角度去理解代数问题，这种思维方式的转变，是我在这本书中最宝贵的收获。
评分当我第一次翻开《同调代数导论》，我并没有抱有太高的期望，因为“同调代数”这个词本身就带着一种令人望而生畏的抽象感。然而，这本书以其出色的组织结构和清晰的阐述，彻底颠覆了我的认知。作者非常注重概念的引入和发展，每一个新概念的出现，都伴随着充分的背景介绍和 Motivation（动机）。我尤其欣赏作者对“正合性”（exactness）概念的深入剖析，不仅仅是给出定义，更是通过对短正合列的分解和重建，让我理解了正合性在代数运算中的重要作用，以及它如何能够揭示代数结构之间的深层联系。书中关于“范畴”（category）的引入，也为我打开了一个全新的视角。我从未想过，如此抽象的范畴论能够如此自然地与具体的代数对象联系起来，并且能够提供一个统一的框架来理解各种代数结构。通过对阿贝尔范畴的讨论，我初步理解了同调代数为何能够如此普遍地适用于各种代数系统。书中对导出函子的讲解，也让我认识到，即使一个函子本身不是正合的，我们仍然可以通过构造链复形和计算其同调群来“挽救”它，从而获得有用的信息。这种“挽救”的思想，在数学中具有普遍的意义。总而言之，这本书不仅仅是教授我一套新的数学工具，更重要的是，它教会了我如何用一种更抽象、更普遍、更具洞察力的方式去思考数学问题，这种思维模式的转变，将对我未来的数学学习产生深远的影响。
评分我一直坚信，理解数学的本质在于抓住其核心思想，并学会如何运用这些思想解决问题。《同调代数导论》正是这样一本能够帮助我达成目标的书。作者在讲解同调代数的核心概念时，始终围绕着“结构”和“关系”这两个关键词展开。我特别欣赏作者在引入链复形和同调群时，所做的形象比喻，这让我能够直观地理解链复形中“缺失”的部分，也就是同调群所衡量的“洞”。而对于链同伦的讨论，则让我明白了在同调代数中，我们往往关注的是“等价”的结构，而非具体的表示。书中对自由模、投射模、内射模的介绍，以及它们在构造同调分解（homological resolution）中的作用，为我理解复杂代数对象的结构提供了有力的工具。特别是关于Ext和Tor函子的讲解，让我看到了同调代数在研究模的扩张和结构方面的巨大潜力。作者还通过对比分析，让我清晰地认识到正合函子和非正合函子之间的区别，以及如何利用导出函子来“弥补”非正合函子带来的信息损失。这种“补全”和“导出”的思想，在数学中具有普遍的意义。总而言之，这本书不仅仅是教授我一套新的数学工具，更重要的是，它教会了我如何用一种更抽象、更普遍、更具洞察力的方式去思考数学问题，这种思维模式的转变，将对我未来的数学学习和研究产生深远的影响。
评分对于那些渴望在抽象代数领域有所建树的读者来说，《同调代数导论》绝对是一本不容错过的佳作。我曾尝试过阅读一些其他介绍同调代数的书籍，但往往因为概念过于跳跃或者讲解过于理论化而感到力不从心。然而，这本书的出现彻底改变了我的看法。作者在讲解的逻辑顺序上做得非常考究，从最基础的模和同态开始，逐步过渡到链复形、同调群、函子，再到导出函子，每一步都衔接得非常自然，毫不突兀。我特别喜欢书中关于“泛性质”（universal property）的论述，这让我深刻理解了在代数中，许多构造的本质并非在于其具体形式，而在于其所满足的特定性质。例如，自由模和投射模都可以通过泛性质来刻画，这极大地简化了对它们的理解。书中对同调代数在其他数学分支中的应用进行了广泛的介绍，例如它如何与群上同调（group cohomology）、环上同调（ring cohomology）以及代数几何中的层上同调（sheaf cohomology）等概念相联系。这些应用实例，让我看到了同调代数强大的生命力和普适性，也激发了我进一步探索的兴趣。作者在讲解中，也适时地提醒读者注意一些容易混淆的概念，比如链同伦和链同态的区别，这对于初学者来说是非常重要的。总而言之，这本书不仅让我系统地学习了同调代数的知识，更让我对数学研究的整体图景有了更宏观的认识。
评分作为一名对纯粹数学抱有极大热情的学生，我常常在图书馆的书架间穿梭，寻找能够拓展我视野、深化我理解的经典著作。《同调代数导论》无疑是近年来我遇到的一本真正意义上的“宝藏”。作者在处理抽象概念时，并没有一味地堆砌定义和定理，而是巧妙地将理论与直观的几何或组合意义联系起来，使得原本晦涩的同调概念变得生动起来。比如，书中对于链复形（chain complex）的讲解，不仅仅是形式上的加减运算，更是通过类比“洞”的概念，让我对同调群（homology group）的意义有了更深刻的理解，它衡量的是一个空间或代数结构中“缺失”的部分，或者是“洞”的存在。而对于链同伦（chain homotopy）的讨论，则让我明白了在同调代数中，我们关注的往往是“形态”而非“具体形态”，两个链复形如果链同伦等价，那么它们的同调群就必然相同，这是一种非常强大的抽象和分类思想。书中对自由模（free module）和投射模（projective module）等概念的引入，以及它们在构造上同调（homological resolution）中的作用，都为我理解复杂代数对象的结构提供了有力的工具。特别是关于内射模（injective module）的研究，以及它们在导出函子构建中的核心地位，让我看到了代数结构之间的一种“互补”关系。作者在叙述过程中，时不时地引用一些代数史上的经典问题，并展示同调代数是如何解决这些问题的，这不仅增加了阅读的趣味性，也让我体会到了数学研究的演进过程和方法的魅力。读完这本书，我感觉自己的代数功底得到了显著提升，对于范畴论的初步认识也更加清晰，为我未来深入学习代数几何、代数拓扑等领域打下了坚实的基础。
评分百科全书一样的，但我说有必要写这么抽象，还这么多的错误，再下去要崩溃了
评分百科全书一样的，但我说有必要写这么抽象，还这么多的错误，再下去要崩溃了
评分一个自学起来非常爽的书。里面有十分优美的同调体系和充足的结论。强力推荐。这是我代数学的开始
评分同调代数标准参考书。
评分同调代数标准参考书。
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