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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

作者:Joseph J. Rotman

出品人:

页数:120

译者:

出版时间:1990-8

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9783540973058

丛书系列:universitext

图书标签:

• 数学
• 伽罗华理论
• 代数
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好的，这是一本关于“群论基础与应用”的图书简介，字数约为1500字，完全不提及您提到的那本书： --- 《群论基础与应用：代数结构、对称性与结构解析》 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的群论学习体验，内容涵盖从基础概念到前沿应用的完整脉络。群论作为抽象代数的核心分支，不仅是理解数学结构的关键工具，更是解析物理学、化学、计算机科学等多个领域中“对称性”这一核心概念的基石。本书的编写遵循循序渐进的原则，力求在保持数学严谨性的同时，提供清晰直观的解释和丰富的实例。 第一部分：群论的基石与构造 本书伊始，我们首先确立群论的正式定义与基本性质。我们将详细探讨群（Group）的公理化定义，包括封闭性、结合律、单位元和逆元的存在性。随后，我们将深入研究子群（Subgroup）的概念，并引入区分特定子群类型的重要工具——陪集（Coset）。陪集的结构性分析，直接导向了群论中最关键的概念之一：正规子群（Normal Subgroup）。 正规子群的引入是通往更深层次理解的必经之路。我们随后将介绍商群（Quotient Group）的构造，解释如何通过等价关系将一个群分解为一个更简洁、结构更清晰的代数对象。这部分内容强调了抽象化思维的培养，使读者能够从具体运算转向对结构本身的洞察。 第二部分：同态、同构与结构定理 在奠定基础之后，本书转向研究群之间的关系。群同态（Group Homomorphism）和群同构（Group Isomorphism）是描述不同群之间结构相似性或完全同一性的核心概念。我们将详细阐述核（Kernel）和像（Image）在同态映射中的作用，特别是核如何始终是一个正规子群。 这一部分的高潮是著名的同构定理（Isomorphism Theorems）。我们将系统地阐述第一同构定理（也称基本同构定理），并阐述其在简化群结构分析中的强大威力。此外，我们还将探讨第二和第三同构定理，展示它们如何揭示子群与商群之间的内在联系。通过这些定理，读者将掌握“结构不变性”这一代数思维的核心准则。 第三部分：有限群的结构分析 有限群的研究是群论中最经典、最成熟的部分。本书将重点剖析有限群的内部结构。我们将首先介绍拉格朗日定理（Lagrange's Theorem），这一基础性定理精确地限定了子群阶数与群阶数之间的关系。 在此基础上，我们将深入探讨Sylow 定理。Sylow 定理是分析有限群结构，特别是确定是否存在特定阶子群（如p-群子群）的决定性工具。我们将详细推导并论证Sylow的第一、第二和第三定理，并展示如何运用这些定理来判定一些重要群（如小阶群）的性质，例如判断其是否为阿贝尔群，或是否存在唯一正规子群。 本书还将涵盖直积（Direct Product）和半直积（Semi-direct Product）的概念，解释如何通过组合更小的群来构造更大的群，这对于理解复杂群的分解至关重要。 第四部分：群作用与排列群 对称性的直观体现常常通过“作用”来捕捉。我们将引入群在集合上的作用（Group Action）的概念，这使得抽象的群结构能够作用于具体的对象集合上。我们将阐述轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）的概念，并通过轨道-稳定子定理建立它们之间的定量关系。 特别地，我们将聚焦于排列群（Permutation Groups），即对称群 $S_n$。排列群是所有群的“通用构造器”，任何有限群都同构于某个排列群。我们将使用循环分解、对换等工具分析排列的性质，并探讨交错群 $A_n$（所有偶排列构成的群）在群论中的特殊地位。 第五部分：阿贝尔群的分类与应用前瞻 对于交换群（阿贝尔群），其结构分析更为彻底。我们将介绍初等因子理论（Elementary Divisor Theory），这是阿贝尔群分类的核心。我们将证明有限阿贝尔群分类定理，即任何有限阿贝尔群都可以唯一地分解为初等p-幂群的直积。这一结果为理解更一般的代数结构（如模论）打下了坚实的基础。 在应用层面，本书会穿插介绍群论在不同领域中的实际体现，例如： 1. 化学中的分子对称性：如何使用点群来描述晶体和分子的对称操作，这与光谱分析和化学键理论息息相关。 2. 密码学中的有限域与循环群：在公钥密码体系中，群论在构造安全算法方面扮演的角色。 3. 组合学中的计数问题：利用伯恩赛德引理（Burnside’s Lemma）通过群作用来解决复杂的计数问题。 本书特色 本书的重点在于概念的清晰定义和逻辑的严密推进。我们不仅提供了详尽的数学证明，还配备了大量的练习题，从基础计算到高级理论探索，以帮助读者巩固知识。书中的例题和图示旨在弥合抽象概念与直观理解之间的鸿沟，确保读者能够真正掌握群论作为一种强大分析工具的精髓。本书适合数学系学生、物理和化学专业的研究人员，以及所有希望深入理解抽象代数核心思想的读者。

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这本书对于提升读者的抽象思维能力有着显著的帮助。伽罗瓦理论本身就是一门高度抽象的学科，它要求读者具备跳出具体数值、关注结构和关系的思维能力。《Galois Theory》正是通过其严谨的论证和清晰的阐述，逐步引导读者进入这种抽象的思维模式。在阅读过程中，我能够清晰地感受到自己的思维方式在发生 Subtle 的变化，我开始能够更好地理解和运用群论、域论中的抽象概念，并且在面对新的数学问题时，能够尝试从更宏观、更结构化的角度去思考。

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我发现，《Galois Theory》在数学符号的运用上非常规范且一致。作者在引入新的数学符号时，都会给出明确的定义，并且在后续的论述中始终保持一致性。这对于我这样的读者来说，极大地减少了阅读的障碍。很多时候，在阅读其他数学书籍时，我常常会因为符号的混淆而感到困扰，但在这本书中，这种困扰几乎不存在。每一个符号都仿佛被赋予了生命，它们在作者的笔下，流畅地勾勒出数学的结构和逻辑，让我能够更专注于理解理论本身，而不是被符号所困扰。

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这本书的魅力，很大程度上在于它将抽象的数学理论与历史的智慧巧妙地结合在一起。作者在介绍伽罗瓦理论的起源时，并没有生硬地罗列历史事件，而是通过讲述那些伟大数学家们为了解决特定问题而进行的思想探索，展现了数学发展的脉络。读到关于三次方程、四次方程根式解法的历史时，我仿佛能感受到那个时代数学家们攻坚克难的艰辛与喜悦。这种历史的厚重感，让《Galois Theory》不仅仅是一本技术性的著作，更像是一部关于数学思想演进的史诗，它告诉我，每一个抽象的概念背后，都凝结着人类智慧的结晶。

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随着阅读的深入，我惊喜地发现《Galois Theory》并没有一开始就抛出过于艰深的概念，而是循序渐进，从一些相对容易理解的代数基础知识开始，为我们构建起坚实的知识体系。这种“打地基”式的教学方式，对于我这样并非科班出身，但又对抽象代数充满热情的读者来说，无疑是一剂强心剂。作者在讲解每一个概念时，都力求清晰透彻，即使是一些看似枯燥的定义，也通过精心设计的例子来加以阐释，让抽象的符号活了起来。我尤其喜欢其中关于群论基本性质的讨论，从群的定义到子群、陪集、正规子群，再到同态和同构，每一个环节都安排得恰到好处，为后续理解伽罗瓦群打下了牢固的基础。

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《Galois Theory》在处理群论和域论之间的联系时，展现出了令人赞叹的逻辑严谨性。作者通过“伽罗瓦连接”这一核心概念，将原本看似独立的两个数学领域紧密地编织在一起，形成了一个强大的理论框架。我反复研读了关于域扩张、伽罗瓦扩张、以及其对应的子群与中间域之间的对应关系的部分。作者的论证过程丝丝入扣，每一步推理都建立在清晰的定义和公理之上，让人在阅读中感受到数学的逻辑之美。这种将抽象概念“可视化”的阐述方式，帮助我更直观地理解了伽罗瓦理论的精髓，也让我对数学的严谨性有了更深刻的体会。

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总而言之，《Galois Theory》是一部令我受益匪浅的著作。它不仅让我系统地学习了伽罗瓦理论的核心内容，更重要的是，它以一种引人入胜的方式，让我体会到了数学的逻辑之美、历史之厚重以及思想之深刻。这本书的价值，远不止于理论知识的传授，更在于它能够激发读者对数学探索的持久热情，培养严谨的思维方式，并最终在抽象代数的领域中，找到属于自己的那片广阔天地。我强烈推荐所有对数学，尤其是抽象代数感兴趣的读者，都来阅读这本书。

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初次拿到这本《Galois Theory》，我怀揣着一丝忐忑和一份期待。一直以来，伽罗瓦理论在我的数学认知中都笼罩着一层神秘的面纱，它连接着抽象的群论和解决千古难题的根式可解性，理论的深度和应用的前瞻性让我既好奇又畏惧。翻开书的扉页，扉页的设计简洁而有力，标题“Galois Theory”以一种沉静的姿态呈现在眼前，仿佛在无声地诉说着它所承载的数学思想的精妙。作者的名字虽不熟悉，但从封面上透露出的严谨感，以及那坚实的纸张触感，都预示着这是一部值得深入探索的作品。我迫不及待地想一探究竟，看看它将如何引领我穿过那些充满代数的丛林，最终抵达理解伽罗瓦理论的彼岸。

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令我印象深刻的是，这本书在解释一些非常抽象的概念时，总是能找到恰当的比喻或者类比。例如，在解释“群的阶”和“子群的阶”时，作者并没有仅仅停留在数字的层面，而是通过一些生活化的例子，比如集合的元素个数，来帮助我们理解这些概念的直观含义。当涉及到一些更深奥的定理，比如西罗定理或伽罗瓦基本定理时，作者会采用一种“抽丝剥茧”的方式，逐步引导读者理解其证明思路，而不是直接给出一个冗长的证明。这种耐心细致的讲解，让我能够真正地“消化”这些复杂的理论，而不是囫囵吞枣。

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《Galois Theory》在案例分析方面做得非常出色。书中通过一系列精心挑选的例子，展示了伽罗瓦理论在解决实际问题中的应用。从经典的三大几何作图问题（倍立方、三等分角、化圆为方）的不可解性证明，到多项式的根式可解性判别，每一个例子都生动地揭示了伽罗瓦理论的强大力量。我尤其着迷于书中关于多项式根式可解性的证明过程，它清晰地展示了如何通过构造伽罗瓦群来判断一个多项式是否可以通过根式表达其根。这让我看到了抽象代数理论与具体数学难题之间的深刻联系。

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《Galois Theory》在章节的编排上也体现了作者的深厚功力。每一章的开始都对本章内容进行了概括性的介绍，明确了学习目标，而每一章的结束则会进行总结，并给出一些思考题或进一步阅读的建议。这种结构化的学习路径，使得读者能够更好地把握整体知识框架，并且在自我检测中巩固所学。我特别喜欢书中给出的那些“挑战性”的问题，它们虽然有一定难度，但恰恰是激发读者深入思考、融会贯通的最佳途径。

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rotman很有趣啊就是废话比较多

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