微分几何基础-第一卷 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:小林昭七

出品人:

页数:266

译者:谢孔彬;陈玉琢;谢云鹏

出版时间:2010-1

价格:56.00元

装帧:

isbn号码:9787030264732

丛书系列:数学名著译丛

图书标签:

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好的，这是一份针对《微分几何基础-第一卷》的图书简介，内容不涉及该书的具体内容，力求详尽且自然： --- 《拓扑学概论与现代分析基础》图书简介 导言：迈向数学抽象的坚实阶梯 数学的宏伟殿堂建立在坚实的基础之上，而拓扑学与现代分析正是连接经典数学与前沿研究的桥梁。本书《拓扑学概论与现代分析基础》旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的入门视角，以理解集合论的严谨性如何自然地过渡到空间概念的抽象化，并进一步探究在这些抽象空间中进行定量分析的可能性。 本书的编写遵循循序渐进的原则，从最基本的集合论概念出发，逐步构建起拓扑空间的理论框架，并穿插介绍现代分析中不可或缺的工具，如测度论的初步概念和函数空间的初步探索。我们力求在保持数学严谨性的同时，用清晰的语言和丰富的例子来阐释抽象概念背后的直观几何意义，帮助读者建立起扎实的理论功底。 --- 第一部分：基础的重塑——集合论与度量空间 在本书的开篇，我们首先对读者已有的集合论知识进行必要的复习与深化，但着重点在于为后续的拓扑学构建所需的“语言”和“工具箱”。 第一章：集合的精细结构与序关系 本章详细探讨了集合论中的关键概念，包括集合的构造、函数的性质（单射、满射、双射），以及基数的概念。我们深入讨论了良序定理的意义及其在数学证明中的应用，并着重分析了Zermelo-Fraenkel 集合论（ZF）的公理体系，旨在让读者对现代数学的基石有更深刻的理解。此外，序关系、偏序集以及最小元/最大元的讨论，为后续的拓扑结构定义奠定了基础。 第二章：度量空间的构建与初步分析 从集合到空间，度量是实现量化的第一步。本章引入了度量空间（Metric Spaces）这一核心概念。我们详细定义了度量函数的四个基本性质，并通过一系列经典的例子（如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的各种度量、函数空间上的度量）来具体化这一抽象概念。 在度量空间的基础上，本章开始探索“邻近性”的概念，详细介绍了开球、闭球的定义，并以此为基础定义了开集与闭集。这些基础概念是后续拓扑学中开集定义的直接蓝本。我们还引入了收敛性、极限的概念，并讨论了在度量空间中如何定义柯西序列，为完备性（Completeness）的引入做铺垫。 --- 第二部分：空间的抽象——拓扑学的核心概念 拓扑学是对“形状”和“连续性”进行最本质研究的学科，它剥离了度量和坐标的限制，关注的是空间内在的连接关系。 第三章：拓扑空间的定义与构造 本章是全书的理论核心。我们超越了度量空间的限制，直接从拓扑结构的公理定义出发，引入开集族的概念。详细阐述了拓扑空间的三大基本公理：空集、全集、任意交集、有限并集是开集的条件。 随后，我们探讨了如何从已有的结构构造新的拓扑： 1. 子空间拓扑： 在一个拓扑空间中的子集上继承拓扑结构的方式。 2. 积拓扑： 如何将多个拓扑空间组合成一个更大的空间，这是研究无限维空间的重要工具。 3. 商拓扑： 描述了“粘合”空间中点的过程，这是理解射影空间等结构的关键。 第四章：连续性、连通性与紧致性 在拓扑空间中重新定义连续函数是至关重要的一步，本书展示了拓扑连续性如何完美地概括了度量空间中的极限收敛概念。 连通性是研究空间“一块性”的拓扑不变量。我们详细讨论了路径连通性与连通性的区别与联系，并通过连通分支的概念来分析空间的结构。 紧致性（Compactness）被视为“有限性”在抽象空间中的推广。我们首先从开覆盖的角度严格定义紧致性，然后证明了在度量空间中，紧致性等价于列紧性以及有界闭集性质（Heine-Borel 定理的推广性讨论）。紧致性的重要性在于它保证了连续函数的最值存在性。 --- 第三部分：分析的桥梁——函数空间与初步测度 本部分将拓扑学的抽象概念与分析学的定量需求相结合，为后续更高级的泛函分析打下基础。 第五章：函数空间与拓扑的乘积 当我们处理无穷多个函数的集合时，自然地需要一种拓扑结构来衡量这些函数之间的距离或相似性。本章重点研究函数空间，例如由连续函数组成的集合 $C(X)$。 我们着重分析了在这些空间上可以定义的拓扑结构，包括紧致开收敛拓扑等。这些拓扑结构直接影响了我们研究收敛的函数序列的性质。此外，对乘积拓扑的深入探讨，为理解无限维希尔伯特空间或巴拿赫空间提供了必要的铺垫。 第六章：测度论的萌芽：可测集与测度初步 虽然测度论通常被视为分析学的独立分支，但其基础依赖于拓扑空间中的可测集概念。本章引入了 $sigma$-代数的构造，阐释了为何我们需要扩展波雷尔集的概念。 我们定义了可测空间，并初步探讨了测度（Measure）的定义及其性质，特别是可加性和单调性。本章侧重于理解“可测”这个拓扑概念在定量化过程中的重要性，为读者在后续学习概率论或更高级的勒贝格积分理论时，能有一个坚实的拓扑基础。 --- 结语：展望未来 《拓扑学概论与现代分析基础》构建了一个从点到空间，从度量到结构，从连续到紧致的完整逻辑链条。本书的读者将不仅掌握拓扑学的基本术语和定理，更重要的是，将学会用一种更抽象、更普适的视角来审视分析学、几何学乃至代数结构中的“连续”与“整体”概念。本书的完结标志着读者已经具备了进入微分几何、泛函分析以及代数拓扑等高阶课程的坚实准备。 ---

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这本厚重的书摆在桌上，光是翻开扉页，就能感受到一股扑面而来的学术气息。我本来以为自己对数学的理解还算扎实，毕竟本科阶段的微积分和线性代数算是学得中规中矩。然而，当我真正沉下心来阅读其中的章节时，才意识到自己对“空间”和“曲率”的认知是多么的肤浅。书中对流形概念的引入，简直是一场思维的洗礼。作者没有急于展示那些复杂的公式和繁琐的证明，而是花了大量篇幅来构建几何直觉，通过大量的图示和类比，将那些抽象的概念变得触手可及。我尤其欣赏作者对于拓扑基础的铺垫，这使得后续对微分结构的理解有了一个坚实的地基。读到关于切空间和向量场的讨论时，那种豁然开朗的感觉，仿佛推开了一扇通往更高维度世界的大门。这本书需要的不仅仅是智力上的投入，更是一种耐心的打磨，它要求读者慢下来，去体会每一个定义背后的深刻含义，去感受那个由数学家精心编织的、严谨而又充满美感的几何世界。我常常在思考，这些看似冷冰冰的数学结构，是如何精确地描述我们这个真实世界中，光线如何弯曲、行星如何运行的奥秘。

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说实话，初次接触这本书时，我的内心是充满忐忑的。网络上关于这套书的评价褒贬不一，有人称之为“圣经”，有人则抱怨其“晦涩难懂”。我属于后者，至少在最开始的几章是这样的。那些密密麻麻的符号和逻辑推导，一度让我怀疑自己是否真的适合啃这种硬骨头。但是，我坚持了下来，不是因为强烈的求知欲，而是被作者那种近乎偏执的严谨性所折服。他似乎对每一个可能产生的歧义都进行了预判，并提前给出了清晰的界定。尤其是在讲述张量分析的部分，作者没有像某些教材那样直接抛出坐标变换的公式，而是从物理学的角度引入张量的概念，解释了它们在不同坐标系下保持不变的本质属性。这种将数学工具与其实际应用场景紧密结合的叙述方式，极大地增强了我的学习动力。虽然阅读过程如同攀登一座陡峭的山峰，时常需要停下来喘息，但每当攻克一个难点，那种成就感是无与伦比的，它让我对数学的敬畏之心又深了一层。这本书不是快消品，它更像是一坛需要时间陈酿的好酒，初尝可能觉得辛辣，但回味无穷。

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这本书的排版和插图，虽然传统，却透露出一种经得起时间考验的稳重感。在学习诸如联络形式、曲率的协变导数这类概念时，文字描述往往显得苍白无力。然而，作者提供的图示，虽然相对简单，却精准地捕捉了问题的核心——例如，在描述平行移动时，那种沿着测地线方向的向量是如何“保持自身方向”的微妙过程，通过图例得到了极好的展现。我个人习惯于在书页空白处做大量的批注和草图，这本书的纸张质量也允许我这样做，墨水不易洇开。更重要的是，书中引用的例子往往是从最基础的欧几里得空间开始，逐步过渡到更一般的流形，这种循序渐进的教学法，极大地降低了初学者的学习曲线。我感觉作者不是在“教”我知识，而是在“引导”我进行数学发现的过程。它不是一本可以快速浏览的书籍，而是需要你带着一支笔，反复咀嚼，才能真正消化吸收的深度读物。

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坦白说，这本书的难度系数非常高，它无疑是为有志于深入研究的硕士或博士研究生量身定做的参考书。我在阅读过程中，经常需要频繁地查阅参考资料，尤其是关于微分形式和德拉姆上同调的基础概念，虽然书中有所涉及，但对于初次接触的读者来说，可能需要更详尽的背景知识铺垫。不过，即便如此，它依然展现出了极高的学术价值。作者对于“经典性”的坚持，使得书中的理论框架非常扎实，没有引入过多花哨但缺乏基础的现代工具，确保了读者对核心概念的掌握。我尤其欣赏它在处理曲率张量分解和魏因加顿恒等式时的细腻之处，每一个步骤都经过了细致的考量，避免了许多标准教材中常见的逻辑跳跃。这本书更像是一位德高望重的导师，用最清晰、最无可辩驳的逻辑链条，为你构建起整个微分几何的知识大厦。虽然过程艰辛，但一旦建成，你对“空间”的理解将上升到一个全新的、不可动摇的哲学和数学高度。

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我发现这本书最独特之处在于其对“广义相对论”前置知识的巧妙布局。它没有将微分几何完全孤立起来，作为一个纯粹的数学分支来讨论，而是从一开始就暗示了它在现代物理学中的核心地位。我在阅读过程中，经常会联想到爱因斯坦的场方程，那种时空弯曲的图像在脑海中挥之不去。作者在引入黎曼曲率张量时，并没有仅仅停留在代数计算上，而是花了大量的篇幅去解释它在衡量空间局部“非平坦性”上的物理意义。这种叙事策略对于像我这样，学习微分几何的初衷是为了更好地理解物理学的读者来说，无疑是一剂强心针。它使得原本枯燥的数学证明过程，仿佛拥有了明确的指向性。每当我感到公式推导有些枯燥时，只要回想一下，这些数学工具最终将用来描述宇宙的宏伟结构，我的注意力便能重新集中。这本书的结构设计非常巧妙，它成功地架起了一座沟通纯数学与理论物理之间的坚固桥梁，让学习者不再是孤军奋战于符号的海洋之中。

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群表示可以让你理解微分几何那些复杂的符号表示的真正的含义！李群之于微分几何，类比于同调代数之于代数拓扑；主纤维丛的联络本质是底流形的联络的水平提升，在底空间做运算提升到主纤维丛上，这是纤维丛联络的本质。多个未知函数的微分算子就是截面到截面之前的线性算子 。极大积分流形 稠密 本质模 约化本质 任何一个连通李群都可以看做平凡丛上p=M×G 某个联络的和乐群 其中M是任意一个大于二维的可微流形 和乐群 纤维沿闭曲线的平移的自同构群。----这就是我对与微分几何的理解！主纤维丛的伴随丛就是向量丛

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小林昭七这个名字我是忘不了了……

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