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出版者:Springer

作者:Sylvestre Gallot

出品人:

页数:322

译者:

出版时间:2004-11-18

价格:USD 52.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540204930

丛书系列:universitext

图书标签:

• 数学
• 几何
• 黎曼几何
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• 微分几何7
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几何的疆域：从欧几里得到非欧空间 本书旨在为读者提供一次跨越数千年几何学发展的深度旅程。我们不会聚焦于特定流形上的黎曼几何的精细结构，而是将目光投向更宏大的图景：几何思想是如何演变，如何挑战我们对空间本质的固有认知，并最终塑造了现代物理学和数学的基础。 第一部分：欧几里得的遗产与危机 我们将从最古老的几何体系——欧几里得几何——开始。这套由古希腊数学家奠基的理论，基于五条公理，成功地描述了我们日常经验中的平面和三维空间。我们会细致剖析这五条公理，特别是第五公设（平行线公设），它在两千多年间被视为一个需要被证明的定理，而非不证自明的公理。 欧几里得几何的完备性与局限性： 我们首先将探讨欧几里得几何在逻辑上的严谨性，及其在描述自然现象时的巨大成功。然而，随着对公理系统更深层次的探究，这种“完美”的结构开始显现出其内在的限制。对第五公设的怀疑从未停止，这为后续的几何革命埋下了伏笔。我们将详细考察历代数学家试图证明或推翻第五公设的努力，例如普罗克洛斯和萨凯里的工作。这些“反证”的尝试，虽然未能达到预期的目标，却无意中开启了通往全新空间的钥匙。 从坐标到图形： 在讨论纯粹的几何结构的同时，我们也会穿插代数几何思想的萌芽。笛卡尔的解析几何如何将抽象的几何问题转化为可操作的代数方程，这为理解更高维空间和非标准空间提供了必要的工具。几何不再仅仅是关于尺规作图，而是关于方程的解集。 第二部分：非欧空间的诞生与拓扑学的曙光 本部分的核心是几何思想的一次根本性革命——非欧几何的建立。我们将详细介绍高斯、罗巴切夫斯基和波雅伊独立发现的罗巴切夫斯基几何（双曲几何），以及里曼的前驱工作，特别是关于曲面的内在几何的初步探索。 双曲空间的奇景： 双曲几何的诞生，是对欧几里得绝对真理的第一次致命打击。我们将深入探讨双曲空间的基本特性：三角形内角和小于180度，以及“无穷多个”平行线通过给定点。我们不会使用现代黎曼几何的语言来描述这些空间，而是聚焦于当时数学家如何构建一个自洽的、与欧几里得几何并存的逻辑体系。我们将分析克莱因等人在模型构建上的贡献，用更直观的方式（如庞加莱圆盘模型）来展示双曲空间的几何直觉。 射影几何的视角： 在曲率概念被正式化之前，射影几何提供了一个理解空间变换的独特框架。我们探讨射影几何如何关注“不变性”——哪些几何性质在投影变换下得以保留？这为后来理解不同几何系统间的转换关系提供了重要视角。 第三部分：从曲面到流形的构想 在这一部分，我们将聚焦于空间概念的泛化，特别是转向曲面和更高维度的内在研究。我们将避开黎曼的特定度量张量框架，转而考察更基础的拓扑学思想如何开始萌芽，以及空间如何可以被“内在”地描述，而非仅仅依赖于嵌入空间。 高斯对曲面的“绝妙定理”： 高斯对曲面（如球面和旋转抛物面）的内在几何研究是里程碑式的。他的“绝妙定理”（Theorema Egregium）证明了曲面的高斯曲率可以在不参考嵌入空间的情况下，仅通过曲面自身的度量性质来确定。我们将深入分析这个定理的深刻含义：它标志着几何研究的焦点从“物体在空间中如何存在”转向了“空间本身的性质”。我们会用具体例子（如圆柱面和球面）来阐释零曲率和常正曲率的概念。 拓扑学的先驱：欧拉与拓扑不变量： 我们将回顾早期拓扑学的开端，特别是欧拉对柯尼斯堡七桥问题的解决，以及李昂哈德·欧拉对多面体顶点、边、面数量关系的发现（欧拉示性数）。这种对连接性和孔洞的研究，表明几何学的一个重要分支开始关注那些在弯曲、拉伸甚至拓扑形变下保持不变的性质——这与度量和角度的敏感性形成了鲜明的对比。 第四部分：几何学与物理学的交汇点 几何学的演变并非孤立的数学活动，它与物理学的直觉紧密相连。本部分将探讨早期几何思想如何影响了牛顿力学之后的宇宙观，并为现代物理学的兴起铺平道路。 空间的概念演变： 从牛顿认为的绝对、平直的空间，到莱布尼茨基于关系构建的空间，再到19世纪后期对“以太”的探索，我们审视了物理学家们对所处空间的先验假设。几何学的发展，特别是对非欧空间的接受，迫使物理学家重新思考宇宙的几何结构是否真的是欧几里得式的。 运动与测地线： 我们将考察在不同几何背景下，物体自然运动的轨迹概念。在欧几里得空间中是直线，在弯曲空间中则推广为测地线。我们会探讨这种“最直接路径”的概念如何渗透到早期对引力和运动规律的描述中，为后续的理论发展提供必要的概念工具。 本书的目的是让读者理解，几何学的伟大不在于其对一个特定空间的精确描述，而在于其不断拓展和重塑我们理解“空间”和“形状”的能力。它是一部关于人类如何质疑基本假设、如何从局部经验推导出普遍真理的史诗。

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这本书的价值，我体会最深的是它在处理“几何直觉与代数形式”之间平衡上的努力。我之前总觉得，一旦进入微分几何的领域，那种清晰的、可触摸的几何画面就变得模糊不清，取而代之的是一堆符号运算。但《黎曼几何学》在这方面做得相当出色。它非常巧妙地将外微分系统与向量场的运算结合起来，使得读者在操作张量时，脑海中仍能浮现出切平面上向量场扭曲的图像。书中对“曲率算子”的引入，是一个巨大的亮点。作者不仅展示了它如何通过李括号的非对易性体现出来，还清晰地阐明了它在描述平行移动不闭合性中的核心作用。我尤其喜欢书中穿插的一些历史注脚和对先驱工作的引用，这让冰冷的数学理论有了一丝人情味。不过，书中对于一些高级主题，比如拉普拉斯算子的谱性质，介绍得略显简略，更像是点到为止，这让我这个对谱几何略感兴趣的读者感到有些意犹未尽。总而言之，这是一本需要反复阅读和细细品味的经典之作。

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这本《黎曼几何学》，我拿到手时，心中满是期待。首先吸引我的是它的装帧设计，那种沉稳的深蓝色封皮，配上烫金的书名，散发出一种古典而严谨的气息。翻开书页，纸张的质感相当不错，印刷清晰，即使是那些复杂的公式和图示，也能让人看得一清二楚。我之前接触过一些微分几何的入门教材，但总觉得在概念的阐述上有些跳跃，而这本书的叙事方式则显得格外耐心和细致。它没有急于抛出那些晦涩难懂的定理，而是循序渐进地构建起整体的框架，从基础的流形概念、切空间，到张量场的定义，每一步都扎实可靠。特别值得称赞的是，作者在引入曲率概念时，运用了大量的几何直觉来铺垫，而不是直接堆砌外微分的形式语言，这对于我这种更偏爱几何图像的读者来说，无疑是巨大的帮助。书中对测地线的讨论，也远比我预想的要深入，结合了变分法的视角，使得“最短路径”的物理意义得到了很好的体现。我花了大量时间去消化第一部分的材料，感觉像是重新学习了一遍基础，但这次的理解深度是之前无法比拟的。这本书的排版也很友好，定理、引理和例子的区分明确，使得查阅和复习起来非常方便。

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说实话，这本书的阅读体验，对于非专业人士来说，可能需要一些毅力。我花了几个星期的时间，才勉强啃完了关于联络和黎曼曲率张量的章节。坦率地说，它更像是一本为已经有了扎实拓扑和线性代数基础的研究生准备的“工具箱”，而非面向广大爱好者的科普读物。作者的写作风格是典型的数学家风格——极其精确，但同时也相当“吝啬”于口头上的解释。他更倾向于用严密的符号和逻辑链条来推进论证，仿佛读者已经完全心领神会了每一步的必然性。比如，在讨论 Bianchi 恒等式时，上下文的衔接略显紧凑，如果不是我特地去查阅了相关的李群表示理论，可能很难把握其背后的深刻几何含义。我尤其欣赏的是书中对“曲率的几何解释”的探讨，作者没有止步于代数运算，而是反复强调曲率如何量化了空间中“偏离欧几里得”的程度。书中附带的一些习题难度不低，但解答这些问题，往往能带来豁然开朗的体验，它们不仅仅是练习，更像是对所学知识的深度检验和重构。

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读完这本书，我最大的感受是，它提供了一个极为坚固的数学骨架，但需要读者自己去填充血肉。它的逻辑推导严密到几乎不容置疑，每一个定义、每一个定理的出现都有其深刻的必然性。我特别欣赏作者在构建抽象概念时的那种“克制”——不滥用高级工具，而是尽可能地利用已有的代数和分析工具去构建几何世界。比如，作者在引入指标符号的计算规则时，处理得非常细致，确保了读者不会在初期的指标“游戏”中迷失方向。这本书的后半部分，探讨了曲率与拓扑的联系，例如高斯-邦内定理的推广思路，虽然没有给出完整的证明，但其阐述的物理意义和几何洞察力是极具启发性的。对于希望深入理解广义相对论基础或者想在纯数学领域深耕微分几何的人来说，这本书绝对是绕不开的里程碑。它不提供轻松的答案，它提供的是一套思考问题的底层逻辑和最精密的工具箱。如果你准备好了接受挑战，这本书将为你打开一扇通往更深层几何世界的大门。

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我对这本书的看法比较复杂。从数学的严谨性角度来看，它无疑是一部杰作，结构宏大，论证无懈可击。然而，从教学法的角度审视，它似乎在某些关键的“过渡点”上处理得不够圆滑。我发现自己在阅读过程中，经常需要频繁地查阅其他辅助教材，以求得一个更直观的“脚手架”。例如，当介绍完基本形式和度量后，如何自然地过渡到协变导数的定义，书中直接给出了公式，虽然正确，但缺少了一些对“为什么需要这种导数”的哲学层面的引导。我希望作者能用更多篇幅来解释，为什么在弯曲空间中，我们不能简单地使用普通的方向导数。这本书的优点在于其深度和覆盖面，几乎涵盖了黎曼几何中的所有核心主题，包括测地线流、爱因斯坦方程的早期铺垫，以及一些拓扑与几何的联系。但这种“全面覆盖”也带来了一定的阅读压力，使得读者很难在某一个特定主题上停留足够久来彻底消化。

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62require, only understood less than 1/4, at the end geo, top, algebra, and analysis are all in there together, it's hard

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三个整体结果：Cartan-Hadamard，Myers'，Milnor定理。测地线（度量诱导拓扑等价于流形测地凸域拓扑）表示拓扑和曲率表示的分析的关系。Bochner Weitzenböck公式是从交换律和取迹的方法得到）和谱论。测地线方程是非线性而雅可比方程是其线性化。测地线是变分极值点，引出指数映射（切向量场到流形）和它的奇异点就是共轭点的重数就是临界值的空间的维数，法坐标，测地凸域。二阶微分方程可以一阶化，关键在于一阶导数作为未知函数，则提升到切丛且可以利用度量得到余切丛上的辛结构。Hopf–Rinow是从紧性过渡到完备性的定理；关于含有偏导数和梯度，散度的公式的结构和估计可以再偏微分方程中找到物理意义！把数学的复杂的公式换算为物理图像理解，切丛理解为淹没。

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本科时候的参考书，Mr. Wang的黎曼几何绝对是本科上过最刚的一门课之一...http://staff.ustc.edu.cn/~wangzuoq/Courses/16S-RiemGeom/index.html

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