直观几何（下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:希尔伯特(D.Hilbert)

出品人:

页数:163

译者:王联芳

出版时间:1964

价格:0.70

装帧:平装

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丛书系列:直观几何

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空间与形式的探索：一部关于解析几何的深度论述 书名：解析几何：高维空间中的结构与变换 作者：[虚构作者名] 出版社：[虚构出版社名] 字数：约 780,000 字 (上下两册合计) --- 内容提要： 《解析几何：高维空间中的结构与变换》是一部系统而深入地探讨欧几里得空间中几何对象代数表示、性质分析及其相互转化的经典著作。本书摒弃了传统几何教学中侧重于直观图形的描述，转而聚焦于如何运用代数工具——特别是线性代数和向量演算——来精确地刻画和解决复杂的几何问题。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在培养读者从“形”到“式”的思维模式，并为深入学习微分几何、代数拓扑及现代物理学的空间理论打下坚实的基础。 本书的核心理念在于揭示几何直觉背后隐藏的代数规律。它不仅仅是对二维和三维空间中点、线、面的解析描述，更是对 $n$ 维实数空间 $mathbb{R}^n$ 结构特性的全面剖析。 --- 卷首语：从直观到精确的飞跃 几何学的演进历程，是一部不断追求更精确、更普适描述方式的历史。从古希腊的公理化体系，到笛卡尔引入坐标系，几何开始穿上代数的“外衣”。然而，许多早期的解析几何教材仍受限于对三维空间的过度依赖，限制了对更高维度、更抽象概念的探索。本书的目标在于彻底解放这种束缚，将解析几何提升到一个纯粹的、基于向量空间理论的高度，确保所有论证的严密性，同时又不失对关键几何意义的深刻洞察。我们相信，真正的几何直觉并非来自对图形的观察，而是源自对变换群、度量结构和拓扑性质的代数理解。 --- 第一部分：基础骨架——向量空间与坐标系 (约 15 万字) 本部分奠定了全书的理论基石，主要围绕向量空间理论在几何学中的应用展开。 第一章：向量空间与仿射空间 1.1 域的结构与向量空间的基本定义： 详细讨论实数域 $mathbb{R}$ 上的向量空间，区别于域论中的一般向量空间。 1.2 线性组合、基与维数： 严格定义线性无关性、张成空间，并证明基的存在性和唯一性。引入规范基的概念及其在坐标转换中的作用。 1.3 线性映射与矩阵表示： 线性映射的定义、核空间与像空间，以及矩阵如何表示线性变换。重点讨论矩阵的相似变换与坐标系的旋转和平移。 1.4 仿射空间的概念： 引入点与向量的区别，建立仿射空间 $mathcal{A}^n$ 与向量空间 $V$ 之间的关系。这是理解非齐次几何对象（如普通直线和平面）的关键。 第二章：度量结构的引入——内积空间 2.1 实数域上的内积： 定义内积（点积），并证明其满足正定性、对称性和双线性性。 2.2 长度、距离与角度的代数表达： 利用内积定义向量的范数（长度），以及两向量间的夹角。 2.3 正交性与施密特（Gram-Schmidt）正交化过程： 构造正交基的重要性。深入讨论正交补空间的概念及其在投影问题中的应用。 2.4 欧几里得空间： 在完备的内积空间中讨论度量和拓扑性质的初步关联。 --- 第二部分：一、二维对象的精确刻画 (约 18 万字) 本部分将理论应用于 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$，侧重于经典几何元素的现代解析处理。 第三章：直线、平面与超平面 3.1 直线的参数方程与点法式： 在 $n$ 维空间中，直线被定义为一个一维的仿射子空间。讨论直线的方向向量和法向量。 3.2 平面的定义与法向量： 三维空间中平面的一般方程 $mathbf{n} cdot (mathbf{x} - mathbf{x}_0) = 0$ 的向量推导。 3.3 子空间的交与并： 利用线性方程组求解两个或多个子空间的交集，并利用维度公式 $dim(W_1 + W_2) = dim(W_1) + dim(W_2) - dim(W_1 cap W_2)$ 分析其几何形态。 3.4 法线与投影： 将一个点投影到给定的直线或平面上的精确代数方法，涉及最小二乘的思想。 第四章：二次型与二次曲面 4.1 二次型的定义与矩阵表示： 引入二次型 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$，其中 $A$ 是对称矩阵。 4.2 惯性定理与主轴变换： 利用特征值分解或奇异值分解将二次型对角化。这是消除交叉项（如 $xy, xz$ 等）的关键步骤。 4.3 二次曲面的分类与规范形： 详细推导椭球面、双曲面、抛物面（包括单曲面和双曲面）的规范方程。讨论如何通过判断矩阵 $A$ 的特征值符号来确定曲面的几何性质，而无需直观想象。 4.4 曲面的旋转与平移： 讨论如何通过正交矩阵（旋转）和坐标平移（向量平移）将任意二次曲面化为标准形式。 --- 第三部分：运动与变换——刚体运动的代数表达 (约 22 万字) 本部分是本书的亮点之一，它系统地处理了空间中的刚体运动，将运动学提升到群论的高度。 第五章：正交矩阵与刚体运动群 5.1 正交矩阵的性质： 定义正交矩阵 $R$ ($R^T R = I$ 且 $det(R) = pm 1$)，并证明其保持内积和长度不变。 5.2 旋转的表示： 讨论 $det(R) = +1$ 的正交矩阵（纯旋转）。在三维空间中，详细介绍欧拉角和旋转轴/旋转角（轴角表示）的转换关系，特别是罗德里格斯旋转公式的向量推导。 5.3 反演与反射： 讨论 $det(R) = -1$ 的变换，如关于平面或直线的反射。 5.4 欧几里得群 $E(n)$： 将刚体运动定义为旋转和平移的组合，即 $T(mathbf{x}) = Rmathbf{x} + mathbf{t}$。引入齐次坐标和四元数（作为旋转的高效替代工具）来统一表示这些变换。 第六章：张量分析基础在几何中的应用 6.1 张量的初步概念： 引入二阶张量（如惯性张量、应力张量）的坐标变换法则，区别于一般向量和矩阵。 6.2 对称张量的对角化： 再次强调特征值分解在物理几何（如惯性主轴）中的重要性。 6.3 协变与反变分量： 简要介绍在非正交坐标系或更一般流形中处理几何量时，区分上标和下标的必要性，为后续的微分几何做铺垫。 --- 第四部分：高维空间的拓扑与度量 (约 23 万字) 本部分将视野扩展到 $n > 3$ 的空间，并引入更高级的几何概念。 第七章：$n$ 维欧几里得空间中的拓扑基础 7.1 开球与闭球的定义： 基于范数（距离）定义拓扑结构。 7.2 连续函数与开集、闭集： 如何用代数不等式来定义集合的开闭性。 7.3 紧致性与海涅-博雷尔定理的推广： 证明在 $mathbb{R}^n$ 中，有界闭集是紧致的，并讨论其对几何优化问题的意义。 7.4 连通性： 讨论 $n$ 维空间中路径连通性的代数判据。 第八章：超曲面与曲率的初探 8.1 参数化曲面（$n-1$ 维流形）： 如何用一组参数 $u_1, dots, u_{n-1}$ 来描述 $n$ 维空间中的一个“曲面”。 8.2 第一基本形式： 利用内积定义曲面上任意两条切向量之间的内积，即度量张量 $g_{ij}$ 的系数。 8.3 曲面的第一类基本量与主方向： 利用高斯映射将曲率的概念从传统的三维空间推广到 $n$ 维嵌入空间中的“表面”。讨论主曲率与特征值之间的关系。 8.4 测地线简介： 介绍测地线作为空间中“最短路径”的代数定义，即其切向量在曲面上的协变导数为零的曲线。 --- 结语：从解析到抽象的桥梁 本书的价值在于，它清晰地展示了数学家如何借助代数的严谨性来驾驭空间本身的复杂性。完成本书的学习，读者将不再受限于三维图像的限制，能够自信地在任意有限维空间中进行几何推理。它为进一步探索微分几何、拓扑学、乃至广义相对论所需的数学工具，构建了坚实而精确的基石。本书是献给所有致力于追求几何真理，而非仅仅依赖视觉经验的严谨学者的工具书。 --- (全书共计四大部分，三十余个详尽章节，辅以数千个精心设计的习题，旨在深化对线性代数、矩阵理论与几何概念之间深刻联系的理解。)

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说实话，当我翻开《拓扑学入门与趣味应用》这本书时，最先吸引我的是它那种天马行空的想象力。这本书完全颠覆了我过去对“形状”的刻板印象。它没有过多纠缠于欧氏空间中的精确测量，而是把重点放在了对象的“连通性”和“形变”上。书中的魔环（莫比乌斯带）和克莱因瓶的讨论，简直是打开了一个全新的维度。我特别欣赏作者用非常简洁的语言描述了那些深刻的拓扑概念，比如同胚和同伦。它不像某些硬核教材那样，上来就抛出一堆定义和定理，而是通过一个个引人入胜的问题——比如“能不能把咖啡杯变成甜甜圈而不撕裂”——来引导我们自然而然地理解拓扑学的核心思想。读完关于流形和边界理论的那几章，我甚至开始重新审视我们日常生活中那些不规则的物体，开始思考它们在拓扑学意义上到底属于哪一类。这本书的价值在于，它拓宽了读者的思维边界，让人明白几何的探索永无止境。

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我最近在研究《解析几何的现代视角》，这本书的叙述风格非常新颖，它明显带有强烈的现代数学分支的烙印。它并没有停留在传统的笛卡尔坐标系下处理二次曲线和曲面，而是大量引入了矩阵代数和线性变换的工具。这种处理方式，让原本繁琐的坐标推导变得异常优雅和高效。例如，在处理椭圆和双曲线的分类问题时，通过特征值和特征向量的分析，直接揭示了这些二次型背后的本质结构，而不是仅仅依赖于配方法。对于我这种更偏爱代数思维的读者来说，这本书简直是量身定做。唯一的挑战是，它要求读者对线性代数有非常扎实的掌握，否则在阅读关于二次型标准化的章节时会感到吃力。然而，正是这种深度，使得它成为了少数几本能够真正连接经典几何与现代代数结构的高阶读物。它教会我，几何的本质往往隐藏在更基础的代数结构之中。

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这本《微分几何基础：黎曼流形的直观导引》无疑是一部面向进阶读者的专业著作，其内容深度和广度都达到了一个相当高的水准。书中对于曲率张量、测地线方程以及黎曼度量的阐述，逻辑清晰，步步为营，展现了数学家对几何世界深刻的洞察力。我特别欣赏作者在引入协变导数和张量分析时所下的苦功，他没有急于给出复杂的公式，而是先用切空间和向量场的概念，将这些抽象工具具体化。书中的“测地线偏离方程”的推导过程，完美展示了如何从局部性质推导出整体结构的弯曲程度。虽然阅读过程中需要频繁回顾张量分析的预备知识，但这绝对是值得的投入。读完之后，我对爱因斯坦的广义相对论中时空弯曲的概念有了更坚实的数学基础支撑，不再是停留在概念层面上的理解。这是一本需要反复研读、深入思考的经典之作。

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我最近读到了一本名为《非欧几何与空间想象力训练》的书籍，它彻底刷新了我对“直线”和“平面”的认识。这本书非常专注于双曲几何和椭圆几何，作者非常擅长用历史的眼光来审视欧几里得体系的局限性，并巧妙地引入了庞加莱圆盘模型和球冠模型。最精彩的部分在于它对“平行公设”的替代如何彻底改变了整个几何宇宙。书中对双曲空间中三角形内角和恒小于180度的性质，以及球面上两个大圆的“相交”关系的描述，充满了视觉冲击力。作者的文笔生动，尤其是在描述如何“生活”在曲率不一的空间中时，仿佛能让人真切地感受到那种视觉上的扭曲和拉伸。这本书的价值不在于提供复杂的计算技巧，而在于它极大地锻炼了读者的空间想象力和批判性思维，让人明白我们习以为常的几何规则并非宇宙的唯一真理。

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这部《几何基础原理解析》简直是数学爱好者的福音！我一直对三维空间的结构和变换抱有浓厚兴趣，但市面上很多教材要么过于抽象，要么侧重于复杂的计算，让人望而却步。这本书则完美地平衡了直观理解和严谨证明。作者从最基本的点、线、面概念出发，层层递进，将复杂的空间关系用非常清晰的图示和生活中的例子来阐释。特别是关于向量投影和旋转矩阵的部分，以前总觉得难以捉摸，但通过书中的“空间透镜”比喻，一下子就豁然开朗了。它不仅仅是教你如何解题，更是教你如何“看”空间，如何用几何的眼光去思考问题。读完这部分内容，我感觉自己对工程设计和计算机图形学中涉及的空间几何都有了更深一层的洞察力。它要求读者有一定的预备知识，但对于那些真心想在几何领域深耕的人来说，这本书的深度和广度都是顶级的，绝对是案头必备的参考书。它教会我，几何美学和数学逻辑可以如此完美地融合在一起。

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