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出版者:北京师范大学出版社

作者:董延闿

出品人:

页数:234

译者:

出版时间:1988

价格:1.7

装帧:

isbn号码:9787303002634

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《高等代数：从基础到前沿》 内容提要： 本书旨在为数学、物理、计算机科学及相关工程领域的研究者和高年级本科生提供一套系统、深入且富有启发性的高等代数教程。不同于侧重于纯粹结构化证明的传统教材，《高等代数：从基础到前沿》致力于搭建起抽象概念与实际应用之间的坚实桥梁。全书共分七大部分，涵盖了线性代数、多线性代数、抽象代数（群、环、域）以及有限域理论的核心内容，并适度引入了现代研究中的一些前沿主题。 第一部分：线性空间与线性变换的几何化重构 本部分着重于线性代数的重新审视。我们从向量空间的严谨定义出发，深入探讨了基、维数、线性映射的核与像。重点章节在于对线性变换的深入剖析，特别是其矩阵表示的选取。我们详细讨论了相似理论，包括Jordan标准型的构造与唯一性，并从代数几何的角度解释了特征多项式和最小多项式的内在联系。本章特别强调了内积空间，通过引入黎曼度量和度量张量，为后续的微分几何和泛函分析奠定了坚实的几何基础。我们在欧几里得空间中对正交分解、奇异值分解（SVD）进行了详尽的讲解，并展示了SVD在数据降维和图像处理中的实际应用。 第二部分：多线性代数与张量分析的基石 本部分是连接经典线性代数与现代几何学和物理学的关键。张量概念不再被视为简单的多维数组，而是被定义为在特定张量积空间上的多重线性映射。我们从双线性形式入手，系统地介绍了二次型、合同性以及Sylvester惯性定理。随后，我们构建了张量积 $V otimes W$ 及其自然线性映射的性质。对于张量代数 $mathcal{T}(V)$、对称代数 $ ext{Sym}(V)$ 和反对称代数 $Lambda(V)$ 的构造过程进行了严谨的数学推导，并着重分析了楔积在微分形式理论中的重要性。本章末尾引入了流形上的张量场概念，为广义相对论的初步理解提供了必要的代数工具。 第三部分：群论：对称性的语言 本部分转向抽象代数的核心——群论。从群的公理化定义出发，本书详细讨论了子群、陪集、正规子群和商群的结构。同态与同构定理被赋予了深刻的理解。在深入研究有限群时，我们对Sylow定理进行了详尽的证明和应用，揭示了有限群内部的阶层结构。对于无限群，我们探讨了自由群、无限循环群以及模群的性质。此外，我们深入分析了群作用及其在轨道-稳定子定理中的应用，并介绍了表示论的初步概念，特别是群的矩阵表示及其在物理学（如晶体对称性）中的应用，展示了群论如何量化“不变性”。 第四部分：环论：代数结构的扩展 本书将环作为带有乘法结构的有理想的集合来构建。我们从交换环开始，详细研究了整环、域、零因子、域的构造（如分数域）。核心内容集中在理想理论上：主理想环（PID）、唯一分解整环（UFD）和诺特环的区分与联系。我们对多项式环 $F[x]$ 的深入分析，特别是其与域扩张理论的交织，为域扩张的建立做好了铺垫。对于非交换环，我们引入了模的概念，作为向量空间的推广，并讨论了简单的环（如矩阵环）的性质。 第五部分：域论与伽罗瓦理论的辉煌 域论是高等代数中最具内在美感的部分之一。本章系统地介绍了域的扩张、代数元与超越元、最小多项式以及扩张次数。我们深入探讨了正规扩张、可分扩张，并构建了扩张域的伽罗瓦群 $ ext{Gal}(L/K)$。伽罗瓦理论的核心——伽罗瓦对应定理——被详尽阐述和证明，该定理清晰地揭示了域扩张与群论之间的深刻对偶性。本章的重点应用在于证明了五次及以上方程的根式不可解性（阿贝尔-鲁菲尼定理），并讨论了尺规作图问题的代数判据。 第六部分：有限域与编码理论的连接 本部分专注于有限域 $mathbb{F}_q$ 的结构。我们证明了有限域的存在性和唯一性（伽罗瓦域），并讨论了其乘法群的循环性。我们详细分析了特征 $p$ 域上的多项式环结构，特别是不可约多项式的性质。这些结构直接应用于现代通信技术：我们介绍了一阶和二阶线性反馈移位寄存器（LFSR）的原理，并深入探讨了有限域上的BCH码和Reed-Solomon码的代数构造原理，展示了抽象代数在信息论中的强大威力。 第七部分：进阶主题与现代视角 最后一部分旨在拓宽读者的视野。我们引入了交换代数的基础概念，特别是代数簇的希尔伯特零点定理（不进行完全拓扑证明，侧重于代数推论）。我们重新审视了线性算子，从有限维向量空间过渡到无穷维希尔伯特空间上的有界线性算子理论的初步框架，为泛函分析的进入做准备。此外，我们还简要介绍了李代数作为无限维李群的切空间结构，并展示了其在规范场论中的基础作用。 本书特色： 深度与广度并重： 涵盖从基础线性代数到前沿交换代数和表示论的完整脉络。 概念的层层递进： 严格遵循从具体到抽象的教学逻辑，确保读者能平稳过渡到高阶抽象结构。 丰富的例证与习题： 每节后附有精心设计的理论习题和计算练习，并穿插大量数学史上的关键发现作为背景知识，增强阅读趣味性。 强调内在联系： 持续追踪不同代数结构之间的相互转化和统一性，特别是群、环与域之间的“对偶”关系。 目标读者： 数学系本科高年级及研究生；理论物理、应用数学、密码学及理论计算机科学专业的研究人员。本书要求读者已具备微积分和初步的集合论与逻辑基础。

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这本厚重的精装书一入手，就给我一种沉甸甸的学术气息。我本来是抱着一种既好奇又有些忐忑的心情开始翻阅的，毕竟“集合论”这三个字听起来就带着一种抽象的距离感。然而，翻开扉页，精美的排版和清晰的字体立刻让我放松了下来。作者似乎非常清楚初学者的困境，引入概念的方式极其耐心，每一个定义、每一个公理的阐述都辅以生动的例子或者类比，这使得那些原本只能在脑海中构建的抽象结构，渐渐变得触手可及。我记得在学习幂集的概念时，书中通过一个关于选举人团的简化模型，将原本枯燥的数学符号转化成了一个可以想象的现实场景，这对我理解集合之间的相互映射和基数概念的差异起到了决定性的作用。整体阅读体验下来，感觉作者不仅是学识渊博的数学家，更是一位极富同理心的优秀教师，他搭建的知识阶梯非常稳固，让我能一步步踏实地向上攀登，而不是被那些深奥的符号吓退。这本书的数学严谨性毋庸置疑，但其最大的优点在于，它成功地将纯粹的逻辑推理与直观的理解进行了完美的融合，让人在掌握硬核知识的同时，还能享受到发现数学美感的乐趣。

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坦白说，我买这本书纯粹是因为工作需要，需要快速理解一些关于现代数学基础的底层逻辑。我期待的是一本快速上手、直击要害的工具书，而不是一本事无巨细的大学教材。这本书在这一点上，可以说是“超预期”地完成了任务，但方式却出乎我的意料。它并没有一开始就抛出ZFC公理体系，而是花了大篇幅在构建“为什么我们需要公理”的哲学背景上。起初我有些不耐烦，觉得这是在浪费时间，但读到后面才明白，这种铺垫至关重要。它让你明白，数学家为什么要做出那些看似武断的“选择”。书中的论证结构非常精妙，它没有使用过多的复杂的图示或复杂的证明符号，而是大量采用了自然语言和清晰的逻辑推演来构建论点。这使得我这个偏向应用科学背景的读者，也能迅速捕捉到核心思想。特别是关于“选择公理”的讨论部分，作者的分析角度非常犀利，既展示了其在构造性数学中的强大威力，也毫不避讳地指出了其带来的哲学困境，这种平衡的视角，让我对数学的认识上升到了一个新的层面。

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我是一个非常注重阅读体验的读者，纸张的质感、装帧的坚固程度，甚至油墨的味道都会影响我的阅读心情。这本书的印刷质量简直是教科书级别的典范。纸张选择了哑光处理，有效避免了在强光下阅读时产生的反光问题，这对长时间面对数学公式的眼睛来说是一种极大的保护。更值得称赞的是，在处理那些涉及到复杂的集合运算和子集嵌套时，作者运用了一种非常巧妙的字体和间距设计。比如，当涉及到序数和基数的比较时，那些下标和上标的处理得干净利落，根本不会出现相互遮挡或拥挤不清的情况。这在很多国外引进的数学著作中是一个常见问题，但这本书显然在这方面投入了极大的心力。阅读的过程是一种享受，你不会因为视觉疲劳而中断思考的连贯性。同时，书后附带的索引做得极其详尽，很多关键术语的首次出现页码都被清晰标注，这对于需要反复查阅特定定义的我来说，无疑是提高了极大的检索效率，充分体现了出版方对学术读者的尊重。

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这本书的叙事风格非常具有个人色彩，我甚至能从中感受到作者仿佛就在我的身边，手持一支笔，在黑板上缓缓勾勒出数学世界的轮廓。与其他追求绝对客观和冷峻的数学书籍不同，这本书充满了对数学美学的热情讴歌。在证明某个定理的关键步骤时，作者会突然插入一句感叹，或是对某个结构优雅性的赞美，这极大地缓解了纯粹逻辑推演带来的枯燥感。例如，在处理策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）的构造性证明时，作者的语言风格陡然变得诗意起来，他将每一个公理的应用描述为“解锁”了数学宇宙中一个新的“维度”或“可能性”。这种充满激情的叙述方式，成功地将原本冷冰冰的数学公理系统，描绘成了一个充满生命力的理论体系。对于那些曾经被传统教科书劝退的读者来说，这本书简直是一剂强心针，它证明了严谨性与感染力绝不是对立面，而是可以完美结合的。

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我尝试用这本书来为我那些对数学基础感到恐惧的学生做入门辅导。通常，集合论的入门材料要么过于简单导致覆盖面不足，要么过于复杂导致学生望而却步。但这本书的结构处理得非常巧妙，它采用了多层次的讲解策略。对于基础的集合运算和逻辑连接词，它用非常直观的日常语言和图示确保了所有学生都能跟上；而对于更深层次的，比如关于超限归纳法和不可定义性的探讨，它则构建了一套独立的、更具形式化的章节。这些更深入的部分被设计成“进阶阅读”模块，不会打断初学者的主线学习进程，但又为那些有能力和兴趣深入钻研的学生提供了足够的深度和挑战。我观察到，那些在传统教材中容易卡壳的学生，在这本书的引导下，竟然能更自如地在直观理解和形式化表达之间切换。这种“分流而不放弃”的教学设计思路，体现了作者对教育学深刻的理解，使其超越了一本普通的参考书，更像是一份精心设计的学习路径图。

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数学 集合 北师大

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写得浅显易懂，有时候还会用现实的例子做比喻。真是一本好书。

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数学 集合 北师大

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写得浅显易懂，有时候还会用现实的例子做比喻。真是一本好书。