Computability and Randomness pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Oxford University Press, USA

作者:Andre Nies

出品人:

页数:420

译者:

出版时间:2009-1-29

价格:USD 125.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780199230761

丛书系列:

图书标签:

• 数理逻辑
• 数学
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• 计算理论
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• 理论计算机科学

图书名称：《计算性与随机性》（Computability and Randomness） 图书简介 这是一本深入探讨计算理论、可计算性概念以及随机性本质之间复杂交织的专著。本书旨在为读者提供一个严谨而全面的视角，解析经典可计算性理论如何与现代信息论、概率论以及复杂性理论相互渗透，共同构建起对“计算的极限”与“信息的本质”的理解。 本书的结构设计旨在循序渐进，首先奠定扎实的理论基础，随后逐步引入更深层次的概念与应用。 第一部分：可计算性理论的基石 本部分将回顾并深化对图灵机模型及其等价性的理解。我们不再仅仅将图灵机视为计算的抽象模型，而是将其作为理解任何形式信息处理过程的元理论框架。 详细内容涵盖： 递归函数与图灵可计算性： 从$mu$-递归函数到$lambda$-演算，系统性地展示不同形式化体系之间的等价性。重点分析了邱奇-图灵论题的哲学意义及其在现代计算机科学中的实践体现。 可判定性与不可判定性： 深入探讨了停机问题（Halting Problem）的本质，并将其推广到更一般的判定问题。本书将详尽分析莱斯定理（Rice's Theorem），阐明一般函数性质的不可判定性，这对于软件验证和自动推理领域具有根本性的意义。 递归论（Recursion Theory）： 这是本书核心理论的奠基石。我们将超越基础的可判定性/不可判定性，进入对可计算集（Recursively Enumerable Sets）结构的研究。重点考察了递归度（Degrees of Unsolvability）的概念，例如图灵度（Turing Degree）和算术度（Arithmetical Degree）。我们将分析菊域（Kechis Classes）、非结构化集合（Simple Sets）以及超稳定集（Hyperimmune Sets），揭示可计算性层级内部的精细结构。 算术化与二阶逻辑： 探讨如何使用形式语言（如皮亚诺算术）来“编码”计算过程本身。这部分内容将引向对算术层级（Arithmetical Hierarchy）的介绍，展示如何用逻辑公式来区分不同复杂程度的可计算性问题。 第二部分：随机性的信息论基础 随机性是本书的另一核心支柱。本部分将从信息论和概率的角度切入，构建对随机性集合概念的数学描述。 详细内容涵盖： 概率与可测性： 简要回顾测度论的基础，重点关注柯尔莫哥洛夫公理体系在定义随机性集合时的作用。 香农信息论与极限： 引入信息熵的概念，并探讨信息源的编码效率。这部分内容将为后续引入复杂性度量做铺垫。 随机性的定义： 本部分将重点对比和分析几种主要的随机性概念，特别是： 马丁-洛夫随机性（Martin-Löf Randomness）： 这是本书最核心的随机性概念。我们将严格定义可压缩性（Incompressibility）和有效可检测性（Effective Testability），阐明一个序列是随机的，意味着它无法被任何有效的算法以有限的错误率所拒绝。 柯尔莫哥洛夫复杂性（Kolmogorov Complexity, KC）： 引入描述随机性的标准——最短程序长度。详细讨论KC的非可计算性（不可判定性），及其与算法信息论的关系。 KC与概率的关系： 分析柯尔莫哥洛夫复杂性如何作为一种“无概率”的随机性度量，并探讨它与基于概率测试的随机性定义之间的联系与区别。 第三部分：计算性与随机性的交汇 此部分是全书的核心，深入探讨图灵机如何“产生”或“识别”随机序列，以及随机性对可计算性理论的约束。 详细内容涵盖： 随机集的可计算性特征： 探讨随机集（Random Sets）的递归论性质。例如，一个集合是否是随机的，与它的图灵度是否足够高（如高到超出所有可计算集）之间存在怎样的联系？我们将分析随机度（Randomness Degrees）的概念。 随机性与图灵度： 深入分析随机集是不可计算的这一基本事实。研究随机集与任何可计算集的关系，例如，是否存在一个随机集$R$使得任何可计算集$A$都可以被$R$有效地计算出来（即$A$的图灵度低于$R$的图灵度）？ 随机性的分层结构： 引入算术随机集（Arithmetically Random Sets）的概念，并将其置于算术层级之中。分析$n$-随机集与$Sigma_n$或$Pi_n$公式之间的关系，这要求读者对数理逻辑有较好的理解。 有效测试的局限性： 再次回到马丁-洛夫随机性，探讨为什么“有效”的随机性测试必然是可计算的，而随机性的定义本身要求它能抵抗所有有效的（即图灵可计算的）测试。这揭示了计算能力与随机性识别能力之间的深刻张力。 复杂性理论的影子： 简要探讨随机性在复杂性理论中的应用，例如伪随机数生成器（PRNGs）的构造，以及它们在P vs NP问题中的潜在联系（虽然本书不直接解决P vs NP，但会探讨随机性在区分可验证性和可计算性中的作用）。 第四部分：前沿与展望 本部分将涉及一些较新或交叉领域的议题，展示计算性与随机性研究的广阔前景。 概率图灵机（Probabilistic Turing Machines）： 介绍如何将随机性引入计算模型本身，探讨概率图灵机与确定性图灵机在计算能力上的等价性（基于概率$1/2+epsilon$的定义）。 随机过程的编码： 探讨如何用计算理论的工具来分析和模拟复杂的随机过程，例如随机游走和马尔可夫链的收敛性。 目标读者 本书面向具有扎实的离散数学、基础理论计算机科学（算法与数据结构）以及概率论背景的读者。它特别适合高年级本科生、研究生以及从事理论计算机科学、数理逻辑、信息论和统计物理学的研究人员。本书的严谨性要求读者具备处理形式化证明和抽象概念的能力。 本书特色 严谨的数学化处理： 所有核心概念均提供严格的定义和证明。 结构清晰的层次划分： 从可计算性到随机性的定义，再到两者的深度交织，逻辑递进。 聚焦核心理论： 避免陷入过多的工程应用细节，专注于计算性与随机性在理论层面的根本联系。

评分☆☆☆☆☆

作者是这一领域内最为杰出的学者之一。不同于Downey-Hirschfeldt 的大百科著作algorithmic randomness and complexity （以下以DH简称）， Nies的书以刻画低性这一算法随机性理论的核心内容作为主线。因此篇幅上只有DH的一半。这本书写得非常仔细。几乎所有定理证明都是作者自...

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作者是这一领域内最为杰出的学者之一。不同于Downey-Hirschfeldt 的大百科著作algorithmic randomness and complexity （以下以DH简称）， Nies的书以刻画低性这一算法随机性理论的核心内容作为主线。因此篇幅上只有DH的一半。这本书写得非常仔细。几乎所有定理证明都是作者自...

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作者是这一领域内最为杰出的学者之一。不同于Downey-Hirschfeldt 的大百科著作algorithmic randomness and complexity （以下以DH简称）， Nies的书以刻画低性这一算法随机性理论的核心内容作为主线。因此篇幅上只有DH的一半。这本书写得非常仔细。几乎所有定理证明都是作者自...

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**评价五：文本的韵律与读者的挑战** 这本书的文字本身就带有某种独特的韵律感，这或许是作者深厚学术功底与文字驾驭能力的体现。句子结构变化多端，从简短有力的断言，到层层递进的复杂从句，这种文本上的变化有效地保持了读者的注意力，避免了纯理论书籍容易产生的单调乏味感。但我要坦诚地说，它的难度是相当高的。它对读者的预备知识有较高的要求，如果缺乏扎实的离散数学和基础集合论背景，阅读体验可能会非常受挫。我个人不得不时常查阅参考资料来巩固那些略显生疏的概念，才能真正跟上作者的思路。这本书更像是一场智力上的马拉松，需要持续的毅力和高强度的认知投入。它不会轻易地将知识塞给你，而是要求你通过自己的努力去“解锁”每一个深层的见解。最终的回报是巨大的，但通往回报的道路上布满了需要认真对待的思维陷阱和逻辑难关。

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**评价一：深入浅出的思想火花** 这本书的内容着实令人耳目一新，它没有像许多同类著作那样故作高深，堆砌晦涩难懂的数学符号，而是以一种近乎哲学思辨的方式，引导读者去探索计算的本质与随机性的深层含义。我尤其欣赏作者在阐述复杂概念时所展现出的那种克制而精准的语言风格。读完之后，我感觉自己对“什么能被计算”以及“随机性在信息世界中的地位”有了更深刻的、非技术层面的直觉把握。书中对于图灵机模型及其局限性的讨论，并非仅仅停留在理论介绍，而是巧妙地将其与现实世界中信息处理的瓶颈联系起来，这种跨越学科的洞察力是极其宝贵的。作者似乎在提醒我们，在追求更强大计算能力的道路上，我们首先需要清晰地界定“能力”的边界。对于那些希望从更宏观、更概念化的角度理解计算理论基石的读者来说，这本书无疑是一盏明灯，它点燃的不是算法的激情，而是对知识边界的敬畏与好奇。

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**评价二：结构严谨的逻辑殿堂** 我不得不说，这本书在构建其知识体系方面达到了令人赞叹的专业水准。它像一座精心设计的逻辑殿堂，每一个章节的过渡都如同精确校准的齿轮，严密而不可或缺。作者对形式化语言的运用达到了炉火纯青的地步，尤其是在区分可判定性与不可判定性集合时，那种步步为营、滴水不漏的论证过程，让人在跟随的同时，不得不为这种数学上的严谨性感到由衷的钦佩。我发现在阅读过程中，我需要反复咀嚼那些定义和引理，因为每一个微小的概念都承载着后续推导的重量。这本书显然不是为那些寻求轻松阅读体验的读者准备的，它要求读者投入高度的专注力和批判性思维。然而，一旦你跟上了作者的节奏，你会发现你不仅学到了知识，更重要的是，你习得了如何进行一场完美的、无懈可击的数学证明。这对于任何希望在理论计算机科学领域深耕的人来说，都是一份无可替代的财富。

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**评价四：历史脉络与未来展望的交汇点** 阅读这本书的过程，仿佛是一次穿越时空的旅程。作者不仅详尽地梳理了可计算性理论从早期奠基者那里继承而来的经典成果，更以一种非常动态的眼光审视了这些理论在当代计算环境下的“生命力”。我特别喜欢其中穿插的历史背景介绍，它们让冰冷的公式拥有了人性的温度，理解了特定理论是如何在特定的时代背景下被“发明”出来的。然而，这本书的价值远不止于回顾。它后半部分对现代复杂性理论与随机性在密码学等前沿领域应用的探讨，清晰地勾勒出了未来研究可能的发展方向。这种将历史深度与未来广度完美结合的叙事策略，使得全书读起来既有学术的厚重感，又不失对新兴领域的敏锐捕捉，让人在合上书卷时，脑海中充满了对下一步探索的渴望。

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**评价三：跨越学科的思维拓宽** 这本书最成功的地方在于，它成功地将看似抽象的理论计算机科学与信息论、甚至某些统计物理学的思想巧妙地编织在了一起，极大地拓宽了我的思维边界。我原本以为这会是一本专注于传统可计算性理论的教科书，但作者对“随机性”这一核心概念的探讨，引入了许多超越标准课程体系的视角。例如，书中对Kolmogorov复杂度和信息熵在衡量“真正随机”程度上的比较分析，非常具有启发性。它促使我去思考，我们日常生活中接触到的“随机数生成器”究竟在多大程度上满足了理论上的随机性要求？这种对理论与实践鸿沟的深刻反思，是这本书区别于其他教材的关键所在。对于希望了解计算限制如何影响信息压缩、加密乃至人工智能模型的底层逻辑的专业人士，这本书提供了扎实的理论支撑和前瞻性的讨论空间。

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