Logical Foundations of Mathematics and Computational Complexity pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Pavel Pudlák

出品人:

页数:695

译者:

出版时间:2013-4-23

价格:USD 189.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783319001180

丛书系列:

图书标签:

逻辑
计算机科学
哲学
Math
数理逻辑
数学
mathematics
思维法则
数学基础
计算复杂性
逻辑学
可计算性理论
形式系统
证明论
递归论
算法
图灵机
复杂类

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具体描述

The two main themes of this book, logic and complexity, are both essential for understanding the main problems about the foundations of mathematics. Logical Foundations of Mathematics and Computational Complexity covers a broad spectrum of results in logic and set theory that are relevant to the foundations, as well as the results in computational complexity and the interdisciplinary area of proof complexity. The author presents his ideas on how these areas are connected, what are the most fundamental problems and how they should be approached. In particular, he argues that complexity is as important for foundations as are the more traditional concepts of computability and provability. Emphasis is on explaining the essence of concepts and the ideas of proofs, rather than presenting precise formal statements and full proofs. Each section starts with concepts and results easily explained, and gradually proceeds to more difficult ones. The notes after each section present some formal definitions, theorems and proofs. Logical Foundations of Mathematics and Computational Complexity is aimed at graduate students of all fields of mathematics who are interested in logic, complexity and foundations. It will also be of interest for both physicists and philosophers who are curious to learn the basics of logic and complexity theory.

深入解析：当代计算理论与数理逻辑的交汇点 1. 绪论：从可计算性到复杂度的宏大叙事本书旨在提供一个全面且深入的视角，探索连接数学基础、可计算性理论和现代计算复杂性理论的桥梁。我们不再将这些领域视为孤立的分支，而是视其为一个统一的、不断演进的知识体系，共同回答一个核心问题：什么是可以被有效计算的？本书将首先回顾图灵的奠基性工作，详述通用图灵机模型及其在定义“算法”和“可计算性”方面的关键作用。我们将细致考察停机问题，并将其作为不可判定性（Undecidability）的里程碑，展示纯数学逻辑的局限性如何深刻影响了我们对计算能力的理解。在此基础上，我们将过渡到可计算函数论的核心——递归论（Recursion Theory），系统地梳理出 $mu$-递归函数、图灵可归约性以及不同类型的可计算集（如递归集、递归可枚举集）之间的复杂层级结构。 2. 形式系统与数学基础的重估在深入探讨计算限制的同时，本书将不可避免地回到数学形式系统的根基。我们将重访哥德尔的完备性定理与不完备性定理，并从计算的视角重新诠释这些发现。重点在于，为什么一个足够强大的形式系统必然包含不可判定的命题？我们将探讨这些逻辑上的不完备性与算法效率之间的微妙关系。随后，我们将考察不同类型的逻辑系统对计算能力的表达能力。这包括命题逻辑、一阶逻辑（First-Order Logic）的表达力，以及它们与自动推理（Automated Reasoning）之间的联系。特别地，我们将讨论如何使用逻辑工具来形式化和验证算法的行为，引入如霍尔兹布赫（Hoare Logic）等在软件验证中至关重要的工具，尽管本书的重心在于理论而非应用实践。 3. 计算复杂性理论的精细划分本书的核心章节将聚焦于计算复杂性理论（Computational Complexity Theory），这是从可计算性到“有效计算”跨越的关键一步。我们不再满足于一个问题是否“可解”，而是追问它“以何种效率”可解。时间复杂度与空间复杂度：我们将建立起对时间复杂度类（如 $P$ 和 $NP$）的严格定义，利用确定性图灵机（DTM）和非确定性图灵机（NTM）的模型差异，精确界定这些类之间的关系。本书将详尽分析 $P$ 与 $NP$ 问题的核心区别，探讨 $NP$-完全性（$NP$-Completeness）的概念，并阐述库克-列文（Cook-Levin）定理在确立 $SAT$ 问题 $NP$-完全性中的关键地位。空间复杂性与交互式证明系统：随后，我们将拓展到对空间资源敏感的问题，讨论诸如 $L$（对数空间）、$NL$（非确定性对数空间）以及 $PSPACE$ 和 $EXPTIME$ 等更广阔的复杂性类别。我们将深入探讨萨维奇定理（Saxe's Theorem），展示对空间限制的微妙调整如何导致复杂性等级的巨大飞跃。交互式证明与零知识：为了更全面地描绘现代复杂性理论的图景，本书会介绍交互式证明系统（Interactive Proof Systems）的概念，例如 $IP$ 和 $MIP$。这些系统不仅关乎计算的效率，更关乎信息传递的效率。我们将探讨零知识证明（Zero-Knowledge Proofs）的理论框架，理解信息隐藏在高效验证中的重要性，以及它如何与基础的密码学原语产生深刻的联系。 4. 复杂性类之间的鸿沟与统一复杂性理论的魅力在于其试图揭示不同计算任务之间的内在联系与根本差异。本书将专门开辟章节来探讨复杂性类之间的关系，超越 $P$ 与 $NP$ 的争论。结构与分离：我们将考察诸如多项式时间层级（Polynomial Hierarchy, $PH$）的结构，以及它在处理量词嵌套问题时的重要性。我们还会审视关于复杂性类分离的推测，例如指数时间假设（Exponential Time Hypothesis, $ETH$）和指数速度下限（Exponential Speedup Lower Bounds）的含义，这些假设直接影响了对特定算法有效性的判断。随机性与近似性：随后，我们将引入随机性在计算中的角色，分析随机化算法（Randomized Algorithms）的强大之处，并定义 $RP, ZPP, BPP$ 等类别。对于那些理论上难以精确求解的问题，本书将引入近似复杂性理论（Approximation Complexity），讨论如何利用复杂性理论的洞见来设计和评估那些只能给出“足够好”解的算法，例如关于可近似性（Inapproximability）的证明。 5. 前沿探索：计算与物理的边界在全书的尾声，我们将进行一次跨学科的展望，探讨计算理论对更广泛科学领域的启示。量子计算的理论基础：虽然本书不专注于量子计算的物理实现，但我们将严格定义量子图灵机模型，并分析其对经典复杂性类的挑战。我们将简要介绍 $BQP$（有界误差量子多项式时间）与 $P$ 之间的关系，以及量子算法（如Shor算法和Grover算法）在理论复杂度上的优势。信息论与复杂性：最后，本书将探索信息论概念（如交互信息、熵）在复杂性证明中的应用，特别是如何利用信息论的边界来证明某些问题在特定资源下是不可解的，从而进一步巩固计算理论作为连接纯粹逻辑与经验科学的基石地位。本书旨在为拥有坚实离散数学和初步计算机科学背景的读者提供一个严谨的、结构化的学习路径，以掌握当代计算理论的核心概念及其深远的哲学意义。

作者简介

目录信息

1 Mathematician’s World ......................... 1
1.1 Mathematical Structures....................... 2
1.2 Everything Is a Set.......................... 25
1.3 Antinomies of Set Theory ...................... 36
1.4 The Axiomatic Method ....................... 43
1.5 The Necessity of Using Abstract Concepts . . . . . . . . . . . . . 54
Main Points of the Chapter ........................ 64
2 Language,Logic and Computations .................. 65
2.1 The Language of Mathematics.................... 66
2.2 Truth and Models .......................... 80
2.3 Proofs ................................ 92
2.4 Programs and Computations.....................123
2.5 The Lambda Calculus ........................146
Main Points of the Chapter ........................155
3 Set Theory.................................157
3.1 The Axioms of Set Theory......................159
3.2 The Arithmetic of Infinity......................176
3.3 What Is the Largest Number? ....................196
3.4 Controversial Axioms ........................215
3.5 Alternative Set-Theoretical Foundations . . . . . . . . . . . . . . 231
Main Points of the Chapter ........................253
4 Proofs of Impossibility..........................255
4.1 Impossibility Proofs in Geometry and Algebra . . . . . . . . . . . 256
4.2 The Incompleteness Theorems ...................272
4.3 Algorithmically Unsolvable Problems. . . . . . . . . . . . . . . . 300
4.4 Concrete Independence .......................319
4.5 The Independent Sentences of Set Theory. . . . . . . . . . . . . . 340
Main Points of the Chapter ........................364
5 The Complexity of Computations....................365
5.1 What Is Complexity? ........................366
5.2 Randomness, Interaction and Cryptography . . . . . . . . . . . . . 410
5.3 Parallel Computations........................437
5.4 Quantum Computations .......................448
5.5 Descriptional Complexity ......................479
Main Points of the Chapter ........................493
6 Proof Complexity.............................495
6.1 Proof Theory.............................496
6.2 Theories and Complexity Classes..................523
6.3 Propositional Proofs.........................540
6.4 Feasible Incompleteness.......................562
Main Points of the Chapter ........................580
7 Consistency,Truth and Existence....................583
7.1 Consistency and Existence......................584
7.2 The Attributes of Reality ......................609
7.3 Finitism and Physical Reality ....................646
Main Points of the Chapter ........................664
Bibliographical Remarks ...........................667
References .
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

这是本什么样的书？正如本书前言所说，本书的基本内容是关于逻辑、数学基础和计算复杂性。最大特点是可读性强，用的是叙述性的自然语言而不是数学教科书式的专用数学语言：定义，定理，证明，举例。本书关注的重点是20世纪初以来在数学基础论、逻辑等传统问题，包括了康托尔...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，坦白说，是对耐心和专注力的一次长期考验，但它提供的回报是无与伦比的智力满足感。我发现作者在构建每一个论证时，都仿佛预设了一个最挑剔的读者，提前考虑到了所有可能的质疑和误解，并将其消弭于无形。很多涉及到计算界限的证明，往往需要极其精妙的编码和归约技巧，作者对这些技巧的展示毫不含糊，详尽到每一步转换都清晰可循，这对于希望真正掌握这些工具而非仅仅“知道它们存在”的读者来说，是最大的福音。此外，书末提供的延伸阅读清单也极为权威和前沿，很多都是领域内最新的论文或经典著作的索引，为希望进一步深挖特定子领域的读者指明了清晰的进阶路线。这本书的难度并非来自故弄玄虚，而是源于其论题本身的内在复杂性，它要求你全身心地投入，一旦你投入了，它就会回报你以清晰的逻辑结构和坚实的理论基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格非常独特，它没有采用那种冷冰冰的、纯粹符号化的表达，而是在严谨的数学语言中，巧妙地穿插了一些富有洞察力的、近乎散文化的议论，使得冗长的定理陈述不至于显得单调乏味。比如说，在阐述哥德尔不完备性定理的哲学意涵时，作者的措辞充满了对人类理性局限性的深刻反思，这极大地拓宽了这本书的适用范围，吸引了那些对数学哲学抱有浓厚兴趣的读者。此外，本书在处理复杂定义时，总是习惯性地提供一个直观的、非正式的“故事版本”作为引子，然后再转入精确的数学描述，这种“先感性认识，后理性把握”的教学策略非常有效，它成功地搭建了一座连接直觉与形式逻辑的桥梁。这本书的阅读过程，与其说是在学习知识，不如说是在参与一场与顶尖数学家的深度对话，每一次思辨都让人感到自己的思维正在被重塑和打磨。

评分☆☆☆☆☆

初读这本书的开篇部分，我就被作者那种近乎严苛的清晰度所折服。它不像许多同类书籍那样，上来就抛出一堆晦涩的符号和术语，而是选择了一种循序渐进、层层递进的讲解方式。作者似乎深知初学者在面对基础公理体系时的困惑，因此对“为什么选择这个公理”而非“这个公理是什么”进行了大量的背景铺垫和哲学思辨的引入。我印象最深的是关于非经典逻辑在构造性数学中的应用那章，作者没有停留在表面描述，而是深入挖掘了不同推理规则对可计算性结果的具体影响，那种洞察力让人拍案叫绝。阅读过程中，我经常需要停下来，不是因为看不懂，而是因为被某些精妙的论证结构所震撼，需要时间去回味和消化其中蕴含的深刻思想。行文风格兼具了数学家的精准与哲学家的广博，使得原本枯燥的数理推导也充满了思想的张力，读起来酣畅淋漓，有一种在攀登思想高峰的快感。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计深得我心，封面那种沉稳的深蓝色调，配上烫金的字体，散发着一种低调而专业的学术气息。拿到手里，厚重而坚实的质感让人立刻感到这是一部经过深思熟虑的力作。内页的纸张选择也十分考究，既不反光影响阅读，又保证了长时间翻阅的舒适性。章节布局清晰，从宏观的理论概述到具体的证明推导，逻辑链条编织得密不透风，即便内容非常硬核，排版上的留白和字体大小的调整也极大地减轻了阅读的疲劳感。我特别欣赏作者在处理复杂定义时采用的图示辅助，有些抽象的概念，通过精心绘制的流程图或结构图，一下子就变得立体起来，仿佛所有的逻辑节点都被一一点亮。装帧的细节处理上，比如书脊的坚固程度，以及扉页的致谢部分，都能看出出版方对这部学术著作的尊重和投入，这对于我们这些需要反复查阅和深入研究的读者来说，无疑是一种极大的加分项。这本书的实体版本，完全称得上是书架上的一件镇物。

评分☆☆☆☆☆

这本书在处理那些传统教材常常一笔带过的高级主题时，展现出了非凡的深度和细致入微的关怀。例如，涉及到递归论的某些复杂判定问题时，作者不仅给出了经典证明，还追溯了早期研究者的不同尝试和最终收敛的路径，这使得读者能够理解理论的“来之不易”。更值得称赞的是，作者对于不同学派之间的观点碰撞也有着公正且深刻的评述，比如直觉主义与形式主义在构造性证明上的差异，作者用大量对比鲜明的实例来阐释，这对于培养批判性思维至关重要。我个人觉得，这本书的价值远超于一本纯粹的教科书，它更像是一部对近现代数学基础发展史的精炼总结。即便你已经对这些领域有所了解，重读此书，依然能从中发现新的视角和更深的理解层次，每一次翻阅都有新的收获，是那种可以伴随人整个学术生涯的参考书。

评分☆☆☆☆☆