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出版者:North Holland

作者:John Bell

出品人:

页数:620

译者:

出版时间:1977-01-15

价格:USD 166.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780720428445

丛书系列:

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《面向实践的离散数学与计算理论导论》 本书导读： 本书旨在为计算机科学、信息工程、应用数学及相关领域的学生和专业人士提供一套坚实而富有洞察力的离散数学基础和计算理论框架。我们深知，在现代技术浪潮中，对抽象结构和形式化推理能力的掌握是解决复杂工程问题的关键。因此，本书的编写摒弃了纯粹的、脱离应用的理论堆砌，而是紧密结合算法设计、数据结构实现以及计算复杂性分析等核心领域的需求，构建了一个既严谨又实用的知识体系。 第一部分：结构化思维与基础逻辑 本部分专注于建立严谨的数学思维模型，为后续的算法分析和系统设计打下坚实的基础。 第一章：集合论的现代视角与应用 本章从集合论的公理化基础出发，但迅速过渡到集合论在实际应用中的核心作用。我们详细阐述了集合的代数运算、笛卡尔积、幂集等基本概念，并特别侧重于集合论在数据库理论（关系模型）、程序规范（类型定义）以及形式语言中的应用。重点讨论了有限集与无限集的区分，对可数集和不可数集进行了直观而严格的阐释，这为理解算法的可达性和可判定性提供了先决条件。通过一系列精心挑选的习题，读者将学会如何使用集合的语言精确描述复杂的数据结构和系统状态。 第二章：命题逻辑与谓词逻辑的计算建模 本章并非仅仅停留在逻辑推理的语法层面，而是将其视为一种强大的系统建模工具。首先，我们深入剖析了命题逻辑的结构，包括连接词、真值表和范式（合取范式、析取范式）。更重要的是，我们引入了逻辑等价性、重言式和矛盾式的概念，并展示了如何利用这些工具进行布尔代数优化，这直接关系到数字电路设计和高效的条件判断语句的编写。 随后，本章扩展至一阶谓词逻辑。我们详细讲解了量词（全称量词和存在量词）的精确含义和使用规则，并探讨了逻辑蕴含和推理规则（如蕴含引入、消除等）。本节的难点在于量词的嵌套与范围，我们通过大量的编程示例，如循环的正确性证明和数据库查询的规范化描述，来强化读者对谓词逻辑建模能力的培养。 第三章：关系、函数与代数结构入门 本章是连接抽象数学与具体数据结构的桥梁。我们对二元关系进行了详尽的讨论，重点分析了等价关系（以及等价类在数据分区中的应用）和偏序关系（如树结构和DAG的表示）。我们详细阐述了关系的闭包（自反、对称、传递闭包）的计算方法，并将其与图论中的连通性问题联系起来。 函数部分，除了基本的单射、满射和双射的定义外，我们引入了函数复合的概念，并讨论了函数在程序设计中作为抽象操作的地位。此外，本章为后续的代数结构学习奠定了基础，初步介绍了群、环等概念的定义，但侧重于它们在加密算法（如有限域运算）和编码理论中的初步应用场景。 第二部分：计数、结构与可判定性 本部分转向计数方法和组合结构，这是分析算法效率和设计有效数据结构的核心技能。 第四章：组合数学的计数原理与生成函数 本章提供了解决复杂计数问题的实用工具箱。我们系统地介绍了加法原理、乘法原理，并深入探讨了排列与组合的各种变体，包括带重复的排列、圆排列以及鸽巢原理的巧妙应用。 随后，我们引入了更为强大的工具——生成函数（Generating Functions）。本书不仅展示了如何通过生成函数来求解线性递推关系（如斐波那契数列的通项公式），更重要的是，展示了它们在概率分析和组合结构计数中的威力。生成函数的方法被用于推导一些著名的组合恒等式，帮助读者理解序列背后的深层结构。 第五章：图论基础与网络模型 图论是离散数学在计算机科学中最直接的应用领域之一。本章全面覆盖了图论的基础概念，包括图的表示（邻接矩阵、邻接表）、路径、连通性、子图等。 我们投入大量篇幅讲解了图的重要特殊类型，如欧拉图和哈密顿图的判定问题。重点关注了树结构（无环连通图）及其在数据存储和搜索中的应用，如生成树的概念。此外，本章引入了图的染色问题，并将其与资源分配、调度问题联系起来。通过算法性的视角，读者将学习如何应用深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）来解决实际的连通性和路径问题。 第六章：递归与递推关系的求解 本章专门处理算法中常见的递归结构。我们首先定义了递归关系式，并系统地介绍了求解一阶和高阶线性齐次/非齐次递推关系的方法，包括特征方程法和使用生成函数的方法。 至关重要的是，本章将理论与算法分析紧密结合。读者将学习如何利用这些方法来精确求解分治算法（如归并排序、快速排序）的时间复杂度表达式。我们强调了“主定理”（Master Theorem）作为一种快速估算工具，并将其置于严格的数学推导背景之下，确保读者不仅会“使用”公式，更能“理解”其产生的根源。 第三部分：有限状态机与计算模型 本部分是通往理论计算机科学的桥梁，侧重于形式语言和计算能力的数学描述。 第七章：有限自动机与形式语言 本章引入了计算能力的最简单模型——有限自动机（FA）。我们详细区分了确定性有限自动机（DFA）和非确定性有限自动机（NFA），并严格证明了它们在表达能力上的等价性。通过引入 $epsilon$-转移，我们展示了如何构建能识别特定模式的自动机。 随后，我们讨论了正则语言，这是由FA识别的语言集合。我们介绍了泵引理（Pumping Lemma）作为证明一个语言“不是”正则语言的强大工具，这对于识别哪些模式无法被简单状态机捕获至关重要。本章的实践应用聚焦于正则表达式的构建与解析，这是文本处理和编译前端设计的基础。 第八章：图灵机与计算的可判定性 本章将计算模型的复杂度提升到最高级别。我们精确地定义了图灵机（Turing Machine）的结构和操作，将其作为“有效计算”的普适模型。 重点在于探讨图灵机的局限性——不可判定性问题。我们使用对角线法对“停机问题”进行了严格的不可解性证明。此外，我们还探讨了“等价性问题”和“空集问题”的不可判定性，这极大地拓宽了读者的视野，使其认识到某些看似简单的问题在数学上是无法通过算法完全解决的。本章的结论深刻影响了软件工程中对问题范围的界定和对验证边界的理解。 结语： 本书的结构设计旨在引导读者从基础的、面向集合的结构化思维，逐步过渡到高级的、面向计算过程的形式化分析。通过对理论的严格阐述与对实际应用的紧密结合，我们期望读者不仅能掌握离散数学的工具，更能培养出运用数学方法解决复杂工程挑战的深层能力。本书的案例和习题均经过精心筛选，力求在保持数学严谨性的同时，最大程度地激发读者的实践兴趣。

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老实说，我买这本书的初衷是希望它能提供一个现代视角下的逻辑学概述，结果发现它更像是一部历史性的文献汇编。它的价值在于其深度和对经典论证的忠实再现，而不是对新兴研究领域的涵盖。这本书在对数理逻辑的“起源故事”——从弗雷格到塔斯基——的梳理上做得极为出色，仿佛是一次沉浸式的历史考察。作者对于那些“奠基性”的思想家的贡献给予了充分的尊重和详尽的阐述，这对于希望了解逻辑学思想脉络的读者来说，无疑是宝贵的财富。然而，对于那些期望看到模糊集合论、模态逻辑近十年来的最新进展，或者与计算机科学交叉领域（如类型论和形式验证）的紧密联系的读者，可能会感到失望。这本书的“时代感”非常重，它将数理逻辑的疆界牢牢地定格在了那个黄金时代。我多次试图在书中寻找关于复杂性理论和逻辑关系的新见解，但收效甚微。因此，如果你的目标是追赶最新的学术前沿，这本书可能需要与其他更现代的教材搭配使用；但如果你的目标是扎实地打下逻辑学的“古典根基”，那么它绝对是无可替代的磐石。

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这本书的排版和数学符号的呈现方式，是我在众多专业书籍中体验过最“传统”的一种。字体选择偏向于衬线体，大量的希腊字母和数学运算符密集地挤压在行间，使得在长时间阅读后，眼睛会感到明显的疲劳。虽然纸张质量尚可，但黑白印刷的严谨性反而加剧了视觉上的压迫感。内容方面，它强调用证明本身来驱动理解，这是一种非常“硬核”的教学哲学。作者几乎没有提供任何“直觉性”的类比或生活中的例子来辅助解释那些高度抽象的概念，例如良序性或非标准模型。这使得这本书对于那些更偏好直觉先导、感性认知的学习者来说，构筑了一道相当高的理解门槛。我个人认为，作者对形式主义的极致追求，虽然保证了逻辑的纯粹性，却牺牲了学习过程中的“人性化”体验。每一次需要理解一个新概念时，我都需要付出比以往多出三成的努力来对抗这种纯粹的符号洪流。这本书更像是为那些已经对形式系统抱有天然亲近感的研究者准备的，它不太会弯腰去适应读者的学习习惯，而是要求读者主动适应它的逻辑世界。

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这本书在对自我指涉（Self-reference）和不完备性定理的论述上，简直是一场文学性的奇观。当作者开始讲解哥德尔的工作时，那种逻辑层层递进、最终揭示出系统内在局限性的过程，读起来几乎有种阅读侦探小说的快感。与市面上许多将不完备性定理简化或“故事化”的处理方式不同，这本书非常深入地探讨了如何构建一个合适的“编码”系统，使得数论可以被编码进逻辑系统自身内部，这种对技术细节的坚持，使得一旦理解，其印象会极其深刻且牢固。我花了整整一个周末的时间来消化关于$ ext{Diag}(phi)$这个对角线操作符的讨论，其精妙之处令人叹服。这本书的优点在于，它不畏惧于展示理论的“肌肉”，它相信读者有能力跟上最严苛的逻辑推导。因此，如果你对逻辑学的哲学蕴含，特别是关于真理、证明与有限性边界的终极思考感兴趣，这本书的后半部分绝对值得你投入时间。它提供的不是一个答案，而是通往最深刻问题的最清晰、最坚实的一条路径。

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这本书的阅读体验可谓是“冰火两重天”。前半部分，尤其是关于经典命题逻辑和一阶逻辑的介绍，简直是教科书范本的典范。作者的文字风格精准、克制，每一个句子都像一个严密的逻辑公式，不带一丝多余的情感色彩。我尤其喜欢他对“可判定性”和“可计算性”早期概念的引入方式，通过一系列精心设计的例子，将抽象的数学概念具象化，让人在理解其深层含义的同时，不会迷失在纯粹的符号游戏中。然而，一旦进入到更高级的主题，比如非经典逻辑系统或者集合论的某些尖端问题时，这本书的叙事节奏开始变得有些跳跃。我感觉作者仿佛突然切换了交流对象，从一个耐心的导师变成了一个在黑板上快速推演的教授。某些关键引子的跳跃性让我不得不频繁地返回前几页去确认上下文的衔接。这可能反映了作者在不同知识领域侧重点的差异，或者仅仅是我个人的阅读障碍，但无论如何，这种体验上的不连贯性是真实存在的。它要求读者具备很强的自我调适和主动填补空白的能力，否则很容易在深奥的部分感到力不从心。

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这本书的封面设计相当朴实，甚至可以说有些过时了，让人联想到八十年代的教科书。当我第一次翻开它时，那种强烈的“学术气息”扑面而来，仿佛置身于一间布满灰尘的大学图书馆深处。内容上，它似乎非常注重基础概念的严谨构建，每一个定义和定理都像是经过无数次推敲才最终定稿。阅读过程中，我发现作者对符号逻辑的引入极其系统和详尽，每一个推理步骤都交代得清清楚楚，这对于初学者来说或许是救星，但对于已经掌握了基础的读者来说，可能会觉得节奏稍慢，有些地方的铺垫略显冗余。特别是关于模型论和集合论的初期章节，作者似乎花了大量篇幅来确保读者对形式语言的理解无懈可击。然而，这种细致也带来一个潜在的问题：篇幅被拉得很长，如果读者是想快速掌握核心技巧，可能会感到有些吃力。总的来说，这是一本可以信赖的参考书，但绝不是那种能让人一口气读完的“轻松读物”，它更像是需要你带着笔和草稿纸，一步一个脚印去攻克的堡垒。我特别欣赏它在处理那些晦涩难懂的证明时所展现出的耐心和清晰度，即使是最复杂的哥德尔完备性定理的论证部分，也做到了逻辑链条的完整呈现。

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数理逻辑研究生标准教材之一。论影响力跟Shoenfield还是有距离。

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