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出版者:Athena Scientific

作者:Dimitri P. Bertsekas

出品人:

页数:256

译者:

出版时间:2009-6-30

价格:USD 69.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781886529311

丛书系列:

图书标签:

• optimization
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好的，下面是根据您的要求，撰写的一本名为《Convex Optimization Theory》的图书简介，该简介旨在详尽描述一本可能涵盖与凸优化理论相关的广泛主题，但不直接提及您指定的书名，并力求自然流畅，避免任何技术性或生成性的痕迹。 --- 图书简介： 深入解析优化理论的核心：收敛、结构与应用 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探索现代优化领域中最基本且应用最为广泛的数学框架——凸集与凸函数理论。优化问题，无论是在工程设计、金融建模、机器学习还是信号处理中，其核心往往归结于能否有效地识别、求解和分析具有特定几何结构的问题。本书正是围绕这一核心展开，系统地梳理了从基础概念到前沿算法的理论脉络。 全书结构清晰，逻辑严谨，首先从基础的集合论和拓扑学入手，为后续的凸性讨论奠定坚实的数学基础。我们详细探讨了凸集的定义、性质，如闭性、相对内部、支撑超平面等关键几何特征。随后，焦点转向凸函数。本书不仅定义了标准意义上的凸函数，还深入探究了它们的诸多等价刻画，包括一阶和二阶条件（如Hessian矩阵的半正定性），并对各种重要的凸函数家族进行了细致的分类和讨论，例如线性函数、范数函数、指数锥、以及几何规划中常见的函数形式。 理论的深度在于对对偶性的深刻理解。本书花费大量篇幅阐述了优化理论的基石——拉格朗日对偶性。我们详细推导了拉格朗日函数、对偶问题，并着重分析了强对偶性成立的条件，即著名的Slater条件。通过对几何对偶和分析对偶的比较，读者将掌握如何利用对偶方法来简化原本难以处理的原始问题，特别是在约束优化场景下，如何通过对偶间隙来评估解的质量。此外，我们还引入了Fenchel-Moreau共轭理论，这是理解泛函分析中凸性结构不可或缺的工具。 在算法层面，本书没有停留在纯粹的理论证明，而是将理论与实际计算紧密结合。我们系统性地回顾和分析了无约束优化方法，特别是梯度下降法、牛顿法及其加速变体。对于包含约束的优化问题，我们重点剖析了一阶迭代方法，如投影梯度法、次梯度法，以及它们在线性收敛性、次线性收敛性方面的理论保证。对于那些具有特殊结构（如稀疏性或低秩性）的问题，本书探讨了近端梯度算法（Proximal Algorithms） 的强大威力，并阐明了如何利用 Moreau 包络和极小极大鞍点理论来设计更高效的求解器。 值得注意的是，本书对非光滑优化给予了足够的重视。在现实世界的许多应用中，最优解点附近往往缺乏局部光滑性。我们引入了次梯度的概念，并详细分析了次梯度方法的收敛性分析。对于更复杂的非光滑结构，我们引入了极小化理论中的变分不等式以及不动点迭代的背景知识，为处理如次梯度方法和增广拉格朗日方法（Augmented Lagrangian Methods, ALM）的理论基础做好了铺垫。 本书的后半部分侧重于特定结构问题的求解框架。我们深入探讨了线性规划（LP） 的单纯形法和内点法背后的几何意义，展示了如何将一般的凸优化问题转化为标准形式。对于二次规划（QP） 和半定规划（SDP），我们不仅给出了其标准形式的描述，还探讨了它们在控制理论和组合优化中的应用背景。同时，我们对原始-对偶内点法的收敛性分析进行了详尽的阐述，揭示了其二次收敛速度的内在机制。 最后，本书提供了一个关于优化在现代科学中的桥梁。我们讨论了凸优化在机器学习中的角色，如支持向量机（SVM）的优化表述、正则化方法（Lasso, Ridge Regression）的理论基础，以及凸优化如何为设计鲁棒的统计模型提供理论保障。我们还探讨了约束集的规范化对算法选择和收敛速度的影响。 本书的目标读者群体包括数学、计算机科学、电子工程、运筹学及经济学等领域的本科高年级学生、研究生以及希望夯实自身理论基础的研究人员和工程师。通过对本书的学习，读者将不仅掌握解决具体优化问题的能力，更重要的是，能够建立起对现代优化理论内在逻辑和美学的深刻理解，从而能够自信地面对和构建更加复杂的非凸问题求解的理论框架。阅读本书，意味着踏入了一个严谨、优美且极具应用价值的数学领域的核心地带。

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这本书的封面设计着实吸引眼球，那种极简主义的风格，配合着深邃的蓝色调，让人一眼就能感受到它内容的不凡。我原本以为这会是一本偏向理论推导的“硬核”教材，但翻开第一页，我便发现作者的叙述方式异常亲和。它不像很多教科书那样，上来就抛出一堆晦涩的定义和定理，而是选择了一种循序渐进的引导方式。开篇部分，作者巧妙地用一些现实生活中的优化问题作为引子，比如资源分配和网络流量的平衡，这让我迅速找到了阅读的切入点，也激发了我深入探索的兴趣。书中对基础概念的阐释，比如凸集的几何直观理解，讲解得非常透彻，甚至配有一些精妙的图示，这对于初学者来说无疑是极大的福音。我特别欣赏作者在讲解动机和背景时所花的心思，他没有仅仅停留在数学本身，而是将优化理论置于更广阔的应用场景中进行审视，使得原本枯燥的数学结构变得生动起来，让人感觉这不是在学习一堆抽象的公式，而是在掌握一种解决实际问题的强大工具。

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这本书的阅读体验，与其说是在啃一本教材，不如说是在和一位经验丰富的导师进行深度对话。作者在很多关键定理的证明过程中，经常会穿插一些“旁白”式的解释，这些注释并非多余的填充，而是关键性的思维跳跃点，它们解释了为什么需要引入某个特定的假设，或者为什么某条路径比另一条路径更优。例如，在讲解共轭梯度法时，作者用了一种类似“几何投影”的直观描述来解释迭代方向的选择，这比单纯的向量代数推导要容易理解得多。我发现自己常常在读完一个小节后，会停下来思考片刻，因为作者提出的问题往往是开放式的，鼓励读者自己去探索细节。这种互动式的学习过程，极大地提高了我的主动思考能力。书中丰富的例子和案例研究也功不可没，它们将抽象的数学工具具象化了，让我真切感受到了优化理论在现实世界中的巨大能量。

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这本书的深度和广度都超出了我的预期。我本来以为它会集中火力攻克某一个特定的优化分支，但事实是，它提供了一个非常全面的概览。从最基础的线性代数预备知识，到高等的非线性优化、约束优化，甚至还涉猎了随机优化和大规模优化的一些前沿概念，这使得它不仅能作为本科高年级或研究生课程的教材，也完全可以成为一个跨领域研究人员的参考手册。我特别关注了书中关于凸性判断的那一章，作者对Hessian矩阵的性质和KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions）的推导阐述得淋漓尽致，每一步的假设和结论都清晰明确，没有任何含糊不清的地方。更难能可贵的是，它并没有回避优化理论中的“灰色地带”，比如局部最优与全局最优的区分，以及在非凸问题中可能遇到的陷阱，这些诚实的讨论，让这本书的专业度更上一层楼。

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坦白说，对于那些追求“快速上手”而非“深度理解”的读者来说，这本书的阅读强度可能会略高一些。它要求读者对数学分析和线性代数有一定的基础，否则在某些章节会感到吃力。然而，正是这种对基础的坚实要求，保证了其内容的不可替代性。我特别欣赏它在收尾部分对优化历史和未来发展方向的简要回顾。这部分内容虽然篇幅不长，但却为整本书画上了一个有力的句号，它将我们从具体的公式和算法中抽离出来，站在更高的维度去审视这个学科的演变和潜力。它让我意识到，学习优化理论不仅仅是掌握一门技术，更是理解人类如何用数学语言去模拟、预测和改进复杂系统的本质过程。这本书的价值，在于它不仅教会了“如何做”，更深刻地阐释了“为什么这样做”，无疑是一部值得反复研读的经典之作。

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阅读过程中，我逐渐体会到作者在结构布局上的匠心独钟。全书的逻辑链条非常清晰，从基础的线性规划，过渡到更复杂的二次规划和半定规划，每一步的衔接都像是精心编排的乐章，节奏张弛有度。尤其让我印象深刻的是，作者在介绍对偶理论时所采用的视角。他没有采用过于侧重于代数推导的传统路径，而是更多地从经济学中的“影子价格”和约束条件的敏感性分析角度切入，这极大地增强了对偶概念的直观性和实用性。这种处理方式，使得那些原本被认为是高深莫测的理论，一下子变得触手可及。此外，书中对于算法的讨论也处理得非常到位，它不仅仅是简单地罗列牛顿法、内点法等，而是深入剖析了每种算法背后的收敛性保证和计算复杂度，这对于希望将理论应用于工程实践的读者来说，提供了宝贵的指导。整本书的行文风格，在保持严谨性的同时，透露出一种深沉的洞察力，仿佛作者在引导我们领略数学之美。

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比Rockafeller好读很多

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