大代数(上)

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出版者:科学普及出版社,
作者:(英)H.S.霍尔, S.R.奈特
出品人:
页数:0
译者:席小云译
出版时间:1983-1985
价格:1.50
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丛书系列:
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具体描述

《几何探源:欧几里得的遗产与现代空间的构建》 导言: 人类对空间、形状与结构的理解,是文明进步的基石之一。从古希腊哲学家对完美图形的沉思,到十九世纪非欧几何的诞生,再到二十世纪拓扑学对连续性的深入剖析,几何学始终扮演着连接直觉与严谨逻辑的桥梁角色。本书《几何探源:欧几里得的遗产与现代空间的构建》并非一部传统的代数教材,而是一部旨在深入剖析几何学发展脉络、揭示其内在美学与强大工具性的思想史与方法论著作。我们试图带领读者穿越时空,重温那些定义了我们感知世界的关键概念,并展示几何学如何渗透并重塑了现代科学与工程的方方面面。 第一部分:欧氏几何的黄金时代——公理体系的奠基 本部分将聚焦于几何学的“圣经”——欧几里得的《几何原本》。我们不会仅仅停留在罗列定理的层面,而是深入探讨欧几里得是如何构建一个由五条基本公设和若干公理(公认的普遍真理)所构成的演绎系统。 第一章:公理与演绎推理的胜利。 详细分析欧几里得如何从极少数的、不证自明的陈述出发,通过逻辑推理,推导出包括勾股定理、三角形全等判定法在内的数百个命题。着重探讨“第五公设”(平行线公设)的特殊地位,它不仅是欧氏几何的标志,更是后世数学革命的导火索。我们将通过具体的例子,展示这种基于公理的严谨证明方式如何成为西方科学思维的典范。 第二章:古典几何的扩展与深化。 探讨《几何原本》在古代和中世纪的应用与流传,包括对圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)的早期研究。这些图形不仅是几何对象,更是开普勒行星运动定律的内在描述,揭示了纯粹的几何思考如何服务于天文学的重大突破。 第二章的重点在于: 阐释在没有坐标系概念的背景下,古人如何仅凭尺规作图来解决复杂的空间问题,体现了对构造性方法的推崇。 第二部分:坐标系的革命——解析几何的诞生与代数化的力量 十六和十七世纪,数学迎来了其最重要的范式转移之一:解析几何的诞生。笛卡尔与费马的洞察力将几何问题转化为代数方程,极大地拓宽了可解问题的范围。 第三章:点、线、面的代数编码。 全面介绍笛卡尔坐标系的基本原理。分析如何用线性方程(如 $ax+by+c=0$)描述直线,用二次方程描述圆锥曲线。我们将详细演示如何通过代数运算来证明几何定理,例如使用代数方法证明中线定理,而不是依赖传统的尺规作图证明。 第四章:运动的几何学——微积分的前奏。 几何学不再仅仅研究静止的图形,而是开始研究曲线的性质,如切线、曲率和面积。本章将探讨解析几何如何为牛顿和莱布尼茨发展微积分提供了必要的几何直觉基础,例如曲线下面积的极限定义与切线斜率的局部近似。 本部分的核心价值在于: 展现几何学如何通过“翻译”成代数语言,获得了处理无限和变化的能力,为后来的物理学和工程学打下了坚实的数学基础。 第三部分:空间的多元性——非欧几何的突破与现代拓扑学的兴起 十八世纪以来,数学家们对欧几里得第五公设的质疑从未停止。十九世纪,对“什么是空间”的根本性思考,导致了非欧几何的诞生,彻底颠覆了人们对“真实空间”的认知。 第五章:挑战“绝对空间”——罗巴切夫斯基与黎曼的贡献。 详细介绍对平行公设进行修改后产生的两个主要非欧几何体系:罗巴切夫斯基的“双曲几何”和黎曼的“椭圆几何”(球面几何的推广)。我们将用直观的模型(如马鞍面和球体)来解释这些空间中三角形内角和不再是固定的180度,以及两点之间最短路径(测地线)的性质变化。 第六章:从度量到连续性——拓扑学的萌芽。 在非欧几何的冲击下,数学家开始寻求一种更“本质”的几何研究,即只关注图形在连续形变下保持不变的性质,即拓扑性质。本章介绍拓扑学的起源,如柯尼斯堡七桥问题,以及“同胚”的概念——即拉伸、扭曲而不撕裂的形变等价性。 本部分的思想深度在于: 揭示几何学的本质并非关于测量距离或角度,而是关于空间的基本结构和连接性。这为二十世纪的物理学(如广义相对论中的弯曲时空)提供了必要的数学框架。 第四部分:现实的应用与展望 本书的最后部分将视野投向现代科学与技术,展示几何学的思想是如何无处不在的。 第七章:从三维到高维——线性代数与向量空间。 探讨解析几何如何抽象化为线性代数中的向量空间概念。我们将解释 $n$ 维空间是如何通过代数结构被严格定义的,以及矩阵、线性变换在描述复杂系统(如数据分析、图论)中的几何意义。 第八章:形态识别与世界的重建。 介绍微分几何在现代科学中的应用,包括黎曼曲率张量在爱因斯坦引力场方程中的作用,以及计算几何在计算机图形学、机器人路径规划中的实际应用。例如,Bézier曲线如何通过几何构造实现平滑的数字设计。 总结: 《几何探源》旨在证明,几何学绝非一套僵硬的定理集合,而是一门充满活力、不断自我革新的学科。它从对地面的测量(“几何”的本意)出发,发展成为描述宇宙结构和抽象结构的强大语言。本书强调的是几何思维的逻辑严谨性、视觉直觉的引导力,以及其作为连接人类直觉与数学真理的永恒价值。通过对不同几何范式的考察,读者将更深刻地理解数学知识的生成过程,以及几何学对我们理解现实世界不可替代的贡献。

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读后感

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用户评价

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《大代数(上)》这本书的编排方式给我留下了非常深刻的印象。不同于以往我阅读过的其他数学书籍,它并没有一开始就直接抛出大量枯燥的定义和定理,而是循序渐进,从最基础的概念入手,并通过大量精心设计的例子和图示来辅助理解。我特别欣赏作者在引入新概念时,总是会先从一些现实生活中的场景或问题出发,然后巧妙地将它们与代数概念联系起来,这种“情境导入”的方式极大地降低了学习门槛,也让抽象的数学知识变得更加生动有趣。例如,在讲解变量的概念时,作者并没有直接给出“变量是变化的量”这样的定义,而是通过一个关于“不同身高的人,同一件衣服的长度会有什么不同”的生活化场景来引入,引导读者思考,什么因素会影响结果,而这个“因素”就自然而然地引出了变量的概念。这种教学设计,充分考虑到了读者的认知过程,让我在阅读过程中,始终保持着一种积极主动的学习状态,而不是被动地接受信息。我能感受到作者在每一个章节的设置上都花费了大量的心思,力求让知识的传递过程既高效又富有启发性,这种严谨而又充满人文关怀的教学方式,无疑是这本书最宝贵的财富之一,也让我对接下来的内容充满了信心和期待,相信它能够真正帮助我构建起对代数坚实而深刻的理解。

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拿到《大代数(上)》这本书,纯粹是被它沉甸甸的质感和封面那股古典又严谨的神秘感所吸引。我一直对那些能将复杂概念剖析得清晰透彻的书籍情有独钟,总觉得它们像一把万能钥匙,能打开通往新世界的大门。这本《大代数(上)》在我心中就承载着这样的期望,它不仅仅是一本关于代数的书,更是一种对数学思维方式的探索,一种对逻辑推理美学的体验。翻开书页,首先映入眼帘的是作者那严谨而又充满激情的序言,字里行间流露出对数学深深的热爱,以及对如何将抽象概念化为生动理解的不懈追求。我尤其喜欢作者在序言中提到的“数学是构建我们理解世界基石的语言”,这句话深深触动了我,也让我对这本书接下来的内容充满了好奇和期待。我预感,这不仅仅是一次学习代数知识的旅程,更是一次与作者思想深度对话的体验,它会引领我进入一个我曾经认为遥不可及的数学王国,去感受那些隐藏在符号和公式背后的宏大叙事和精妙智慧。我期待它能为我构建起一个扎实的代数基础,让我在未来的学习和生活中,能够更加自信地运用数学的逻辑来分析和解决问题,也希望它能激发我内心深处对知识的渴望,让我在探索未知领域时,拥有更多的勇气和方向。

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这本书的语言风格同样令人称道。作者在叙述过程中,既保持了数学的严谨性,又融入了恰当的幽默感,使得阅读体验非常轻松愉快。我尤其喜欢作者在解释一些比较难以理解的概念时,偶尔会插入一些富有哲理性的思考,或者一些历史典故,这让原本可能枯燥的数学讲解变得生动有趣,也让我感受到了作者深厚的文化底蕴。例如,在介绍“多项式”的概念时,作者没有直接罗列公式,而是花了一部分篇幅讲述了古希腊数学家是如何从解决实际问题中逐步发展出代数符号的。这样的背景介绍,不仅让我了解了多项式的历史渊源,更重要的是,让我理解了数学概念诞生的必然性和重要性,也让我对数学的敬畏之情油然而生。这种叙述方式,让我觉得我不是在和一个冷冰冰的教材对话,而是在和一个充满智慧、富有情感的老师交流。它让我对数学的认识不再仅仅停留在符号和公式层面,而是开始去感受数学的生命力和它所承载的智慧。

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这本书的作者,在逻辑的严谨性和创新的思维之间找到了一个绝佳的平衡点。他既能够清晰地阐述传统的代数理论,又能够巧妙地融入一些新的视角和方法,让我在学习过程中不断产生新的思考。我记得在讲解“线性代数”的一些基础概念时,作者并没有拘泥于传统的矩阵运算,而是从向量空间的角度出发,将复杂的概念联系起来,展现出一种更加宏观和统一的视角。这种处理方式,让我开始意识到,数学的各个分支并非孤立存在,而是相互关联,共同构成一个宏大的知识体系。通过作者的引导,我能够更加清晰地看到这些联系,也更加理解了数学的整体美。它不仅仅是在教授我如何计算,更是在培养我如何用更广阔的视野去看待问题,如何去发现数学知识体系内部的关联和统一性。

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《大代数(上)》这本书让我对“学习”这件事本身有了新的认识。它不再仅仅是死记硬背公式和解题技巧,而是一种思维方式的培养,一种对知识内在联系的探索,以及一种解决问题的能力。作者在书中不仅仅是传授知识,更是在传递一种学习的态度和方法。我记得在每一章的结尾,作者都会留有一些思考题,这些题目往往没有明确的解法,需要我结合本章内容,甚至跨章节的知识,进行深入的思考和推导。这些思考题,虽然有时会让我感到沮丧,但每一次的成功解决,都会给我带来巨大的满足感和成就感。它让我意识到,真正的学习,是能够融会贯通,是将知识内化为自己的思维方式,并能够灵活运用到解决实际问题中的过程。这本书,无疑为我打开了一扇新的学习之门,让我对未来的学习之路充满了期待和信心。

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《大代数(上)》这本书带给我的,远不止是知识的增长,更是一种对思维方式的深刻影响。作者在书中反复强调数学思维的重要性,并不仅仅是教授运算技巧,而是更侧重于培养读者解决问题的能力和严谨的逻辑推理习惯。我尤其欣赏作者在讨论“函数”概念时所采用的方法。他没有直接给出函数抽象的定义,而是从一些现实生活中的“输入-输出”关系入手,比如“输入一个人的年龄,输出对应的星座”,或者“输入一个商品的单价,输出购买两件商品的总价”。通过这些贴近生活的例子,我能够非常直观地理解函数作为一种映射关系的核心思想。然后,作者再将这些生活化的例子逐步抽象化,最终引向代数中的函数定义。这种从具体到抽象,再从抽象回到具体的教学过程,让我不仅学会了如何运用函数,更重要的是理解了函数背后的逻辑和哲学。这本书让我开始重新审视自己在学习和生活中遇到的问题,思考如何用数学的思维方式去分析、去拆解、去找到最优解。这种能力,我觉得比任何具体的知识点都来得更加重要和宝贵,它会伴随我一生。

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《大代数(上)》在练习题的设计上也极具匠心。这些练习题不仅仅是为了巩固所学知识,更重要的是,它们的设计非常具有启发性,能够引导我深入思考,甚至发现一些作者在讲解时未曾明确提及的数学规律。我尤其喜欢书中那些“挑战题”或者“探索题”,它们往往没有直接的答案提示,需要我运用所学知识,结合自己的思考和推理来解决。我记得有一次,我被一道关于“因式分解”的题目难住了,题目要求我找到一种非常规的方法来分解一个高次多项式。起初我尝试了书中的几种方法,但都无法奏效。经过反复思考和尝试,我突然想到了作者在前面讲解时提到的一种关于“对称性”的思路,并将其巧妙地运用到了这道题目中,最终成功地找到了解决方案。那一刻的成就感,是我在其他任何学习过程中都难以体会到的。这本书让我明白,学习数学不仅仅是掌握技巧,更是培养一种独立思考和解决问题的能力。

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在阅读《大代数(上)》的过程中,我常常惊叹于作者将复杂数学问题解释得如此清晰明了的能力。书中的每一个概念,无论多么抽象,都能被作者拆解成若干个易于理解的小部分,并配以生动形象的比喻和图示。我记得在学习“方程”这个概念时,作者并没有一开始就用复杂的符号语言来定义,而是用了一个非常贴切的“天平”的比喻。天平两端放着不同的物体,只有当两端的重量相等时,天平才会保持平衡,这就好比方程的两边是相等的。然后,作者再逐步引导读者思考,如何在保持天平平衡的前提下,通过对一边的操作来推断另一边物体的重量,这就自然而然地引出了对方程进行各种变换的方法。这种将抽象概念具象化的处理方式,让我能够非常直观地理解数学的本质,也让我感受到了数学逻辑的美妙之处。我从未想过,学习代数可以如此有趣和有条理,它不仅仅是在记忆公式和运算规则,更是在理解数学思维的运作方式。这本书让我意识到,数学并非高不可攀的学科,而是充满智慧和趣味的探索过程,它能培养我们的逻辑思维能力,也能提升我们的解决问题的能力。

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这本书的排版设计也相当考究,每一页的内容都恰到好处,留白适中,字体清晰易读,这对于一本需要长时间阅读的书籍来说,无疑大大提升了阅读体验。我特别欣赏作者在书中对于符号和公式的标注方式。每一个新的符号出现时,都会有清晰的解释和使用示例,而且在关键的地方,还会用加粗或者不同的颜色来突出显示,这让我能够非常容易地找到和理解这些重要的数学元素。此外,书中穿插的数学史小故事和名人名言,也为原本就精彩的内容增添了一抹人文色彩,让我在学习数学知识的同时,也能感受到数学背后的人文精神和历史沉淀。这些细节的处理,都体现了作者和出版方对于知识传播的尊重和对读者的负责。它让我觉得,这本书不仅仅是一本工具书,更是一件艺术品,一件值得细细品味和珍藏的知识载体。

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《大代数(上)》这本书的深度和广度都让我感到惊喜。作者并没有满足于仅仅讲解基础的代数概念,而是深入到了一些更具挑战性的领域,并以一种非常易于理解的方式呈现出来。我尤其喜欢书中关于“群论”初步介绍的部分。虽然我之前对群论一无所知,但作者通过一系列生动的例子,比如对称群、置换群等,将这个抽象的数学概念解释得非常清晰。我至今还记得作者用“魔方”来类比群的概念,通过对魔方进行各种旋转操作,来展示群的封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。这种巧妙的比喻,让我一下子就抓住了群论的核心思想,也为我日后进一步学习更深入的代数理论打下了坚实的基础。这本书不仅仅是教授代数知识,更是在引导我认识到数学世界的广阔和奇妙,激发了我对更深层次数学探索的渴望。

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这才是真正的初等代数学!

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