Lie Groups, Lie Algebras, and Representations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Brian C. Hall

出品人:

页数:250

译者:

出版时间:2003-8-7

价格:USD 64.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387401225

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 李群
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• 抽象代数7
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好的，这里为您提供一个关于李群、李代数及其表示的图书简介，该简介聚焦于不包含您提到的那本特定教材内容的方面，旨在提供一个全面且深入的概述，同时保持专业和自然的写作风格。 《微分几何与拓扑视角下的李群、李代数与表示论导论》 图书简介 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的李群、李代数及其表示理论的导论，特别侧重于其在微分几何、拓扑学以及数学物理中的应用与联系。本书的叙述风格力求严谨的代数结构与直观的几何图景相结合，避免了对特定经典教材叙述路径的重复，转而探索更具拓扑和微分流形基础的视角。 核心主题与结构 本书的结构围绕着从几何直觉到代数抽象，再到表示论具体构造的逻辑链条展开。我们从李群的拓扑性质入手，随后过渡到李代数的定义及其与群的指数映射关系，最后深入探讨表示的分类与结构理论。 第一部分：李群的几何基础 本部分着重于从微分流形的角度理解李群。我们不直接跳入李代数的定义，而是首先探讨李群作为一类特殊光滑流形所具备的内在结构。 流形上的乘法结构： 详细讨论李群作为群结构与光滑结构兼容的流形，引入左不变和右不变向量场的概念。这种不变性是理解其局部线性化（即李代数）的关键几何动机。 哈尔-测度与拓扑性质： 阐述紧致李群上的哈尔测度（Haar Measure）的唯一性与重要性，并分析其在傅里叶分析和泛函分析中的初步应用。我们探讨李群的连通性、单连通性以及基本群如何影响其结构。 子群与商空间： 深入研究李群中的闭子群、正规子群，以及由此构造出的商群。这部分内容将与纤维丛理论中的主丛概念紧密联系起来，为后续的表示论打下拓扑基础。 第二部分：李代数的局部线性化与结构 李代数被视为李群在单位元处的“切空间”，它捕获了群结构的无穷小信息。本部分关注如何从几何实体精确地提取代数实体。 从群到代数的过渡： 严谨推导出李括号 $[X, Y] = X circ Y - Y circ X$ 实际上源于流形上的向量场对易性。我们详细分析指数映射 $exp: mathfrak{g} o G$ 的局部性质，特别是在邻域内的双射性。 李代数的结构理论： 转向纯代数结构。介绍李代数的基本概念，如子代数、理想、商代数。重点分析半单李代数（Semisimple Lie Algebras） 的结构理论，包括卡丹子代数（Cartan Subalgebras）的存在性与性质。 根空间分解（Root Space Decomposition）： 这一部分是本书的代数核心。我们运用卡丹子代数来分解任意半单李代数，引入根的概念，并推导出根系的代数约束（如根的正交性、反射性）。读者将在此处建立起根系分类（如 $A_n, B_n, C_n, D_n$）的几何直觉。 第三部分：表示论的分类与特征 表示论是将抽象的李群/李代数结构映射到线性空间上的具体操作。本书将侧重于使用几何和代数工具对有限维表示进行分类。 表示的定义与代数化： 将李群的表示自然地转化为李代数的表示，通过微分得到 $mathfrak{g}$ 上的线性映射。分析不可约表示的定义，以及完备性（Complete Reducibility）在半单情况下的成立。 权理论（Weight Theory）： 对于半单李代数，表示论的关键在于权重理论。我们介绍最高权重（Highest Weight）的概念，并详细阐述最高权重模块的结构。这部分将严格证明：对于半单李代数，所有的有限维不可约表示都由一个唯一的最高权重向量（及其对应的根向量）所生成。 维度的计算与特征： 引入庞加莱-伯克霍夫-维格纳（Poincaré-Birkhoff-Wigner）公式或其他现代方法来计算不可约表示的维度，并讨论如何利用特征指标（Character Formulae）来识别和区分不同的表示。 复化与实化： 探讨复化李代数（Complexification）在分类中的核心作用，以及如何从复化结构回归到实李代数和实李群的表示，特别关注紧致群（如 $SU(N)$）的表示性质。 应用视角：几何与物理的桥梁 全书贯穿一个重要的思想：李群和李代数是描述对称性的语言。本书在每一部分都嵌入了必要的背景，以展示其在以下领域的桥梁作用： 微分几何： 李群作为主纤维丛的结构群，李代数作为联络形式的代数描述。 数学物理： 在经典场论中，对称性的生成元即是李代数的元素；在量子力学中，表示论提供了描述量子态的数学框架。 本书的独特性 本书避免了对特定经典案例（如 $SL(2, mathbb{C})$ 的完全解耦）的过度机械化处理，而是强调一般结构理论的普适性。通过强调根系几何、卡丹子代数的选择，以及权重理论的内在逻辑，读者将被引导去理解“为什么”某些结构必须如此存在，而非仅仅记忆分类的结果。本书适合于具备扎实的抽象代数和基础微分几何知识的研究生和高年级本科生。

评分☆☆☆☆☆

对于一个关心对称函数，关心表示论的组合方向的人来说，这本书有着致命的诱惑。最早发现这本书是在网上看到它的先行版本，只有100多页，现在的书加上附录有三百多页，新版更厚。 诱惑的原因，是这本书试图躲开分析的影子，也就是丢掉一般性的，流形上的方法来讨论矩阵Lie群。...

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

这本书的厚重感，不仅体现在其物理的篇幅上，更在于其内容所蕴含的深刻数学思想。作者在开篇就点明了李群和李代数在现代数学和物理学中的基石地位，仿佛为读者指明了一条通往更广阔数学宇宙的路径。对于李群的定义，作者采用了严谨的流形理论框架，强调了群结构与微分结构之间的相容性，这使得我们对李群的理解，不仅停留在代数层面，更拓展到了几何和拓扑层面。书中对几种重要李群（如SO(n), SU(n)）的详细分析，为我们理解这些具体数学对象提供了坚实的理论基础。李代数作为李群的“线性化”描述，其重要性不言而喻。作者通过对李括号的引入，揭示了李代数的代数结构，并进一步探讨了李代数与李群之间通过指数映射的联系。书中关于李代数分类的讨论，特别是单李代数的根系，展现了数学结构的精妙和普适性。我特别欣赏作者在表示论部分所展现的洞察力。表示论是将抽象的群或代数“具象化”的关键。通过研究李群或李代数在向量空间上的线性表示，我们可以揭示其内在的对称性和结构。书中关于权、根、以及权重函数的定义和性质，是理解不可约表示的基础。作者通过大量的例子，如SU(2)和SU(3)的表示，生动地将这些抽象概念与具体的数学计算联系起来，让我对表示论的理解更加深刻。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事方式并非是单调乏味的“定理-证明”模式，而是穿插了大量引人入胜的历史背景和应用实例，使得整个学习过程充满了探索的乐趣。例如，在介绍李群的起源时，作者追溯了李群在微分方程和几何学中的早期应用，这让我了解到这些数学工具是如何在解决实际问题中诞生的。书中对矩阵群，特别是正交群、酉群和辛群的深入讨论，为我理解更一般的李群提供了一个良好的起点。这些具体的例子不仅帮助我理解了抽象定义，更让我看到了李群在几何和物理学中的直观体现。作者在解释李代数时，也巧妙地将抽象的线性代数结构与李群的生成元联系起来，通过“换位关系”来刻画李代数的结构。这种从“生成元”到“结构”的转变，让我对李代数的理解更加深入。在我看来，书中关于表示论的章节是整本书的精华所在。它不仅解释了如何将抽象的群或代数映射到向量空间上，更重要的是，它揭示了如何通过研究这些表示来揭示群或代数本身的性质。作者对权、根、权重等概念的清晰讲解，以及它们在表示分解中的作用，是我在学习表示论过程中受益匪浅的部分。我特别欣赏作者在解释不可约表示时，通过具体的例子（如SU(2)的表示）来阐述权和权重的作用，这种方法让我能够深刻地理解数学概念的实际运用。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字就足以让人产生探索的冲动，而翻开它，我发现我的期待得到了充分的回报。作者以一种非常专业且清晰的方式，将李群、李代数及其表示论这三个相互关联的数学分支呈现在读者面前。我对书中对李群的定义方式印象深刻，它不仅仅是一个代数结构，更是一个具有光滑流形结构的数学对象，这使得我们可以对其进行微积分意义上的研究。书中对几种重要的李群，如旋转群SO(n)和酉群SU(n)的详细分析，让我能够将抽象的概念具体化，并理解它们在几何和物理中的应用。李代数作为李群的“局部线性化”，其引入为我们研究李群提供了强大的工具。作者对李代数定义的清晰阐述，以及通过李括号揭示其代数结构，都为我理解李群的内在性质打下了基础。我特别喜欢书中关于李代数分类的内容，特别是根系的研究，它展现了数学结构的内在简洁性和普适性。表示论部分是整本书的精华，它将抽象的代数对象“活化”了。作者通过研究李群或李代数在向量空间上的线性表示，揭示了其对称性。书中关于权、根、以及权重函数的定义和性质，是理解不可约表示的关键。作者以SU(2)和SU(3)的表示为例，生动地展示了这些抽象概念的实际应用，让我对数学理论的强大力量有了更深的体会。

评分☆☆☆☆☆

我不得不说，这本书的阅读体验超出了我的预期。从一本以如此高深数学概念命名的书籍中，我原本期待的是一场艰涩的智力挑战，但作者却用一种令人着迷的方式，将这些复杂的理论娓娓道来。首先，对李群的介绍，作者并没有急于给出抽象的定义，而是从更直观的几何角度出发，将李群描绘成一种“光滑的群”，这种描述立刻拉近了理论与直觉的距离。随后，作者循序渐进地引入了李代数，将其视为李群在单位元处的“切空间”，并通过指数映射这一关键工具，巧妙地连接了李群的全局性质与李代数的局部性质。书中对李代数结构（特别是李括号）的细致分析，以及由此衍生的各种代数性质，都让我领略到数学抽象的魅力。我特别喜欢书中关于李代数分类的章节，特别是对单李代数的介绍，以及根系在分类中的作用，这展现了数学的内在规律和简洁性。而表示论的部分，则是将前面的理论推向了一个新的高度。作者通过研究李群或李代数在向量空间上的线性变换，揭示了这些代数结构的对称性。书中关于权、根、以及权重函数的定义和性质，是理解不可约表示的基石。作者以SU(2)和SU(3)的表示为例，生动地展示了这些抽象概念的实际应用，让我看到了数学理论的强大力量。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字本身就给我一种深刻的吸引力，仿佛打开了数学王国中一个隐藏的宝藏。初次翻开它，我并没有立刻去深究那些抽象的概念，而是先被它那严谨而又充满诗意的文字所打动。作者在开篇就勾勒出了李群和李代数在现代数学和物理学中的核心地位，那种宏大叙事的气势，让我仿佛置身于一个由对称性编织而成的宇宙之中。从群论的坚实基础，到李群的连续变换，再到李代数的线性化描述，每一步都如同精密的齿轮咬合，将我引向更深层次的理解。我对书中关于李群分类的讨论尤为着迷，那些经典的A、B、C、D型李代数的存在，以及它们与几何、拓扑的深刻联系，让我不禁惊叹于数学的优雅和统一。书中对表示论的介绍，更是将抽象的代数结构赋予了生动的几何图像，让我看到了这些代数对象如何在向量空间中“跳舞”和“旋转”。那种将抽象概念转化为可理解模型的能力，正是这本书的魅力所在。我尤其欣赏作者在解释复杂概念时所采用的循序渐进的方法，无论是通过直观的例子，还是通过精心设计的定理证明，都让我感觉自己能够一步步地掌握这些知识。尽管某些章节的证明过程颇具挑战性，但我总能从中找到通往理解的路径。这本书不仅仅是一本教科书，它更像是一次探险，一次对数学世界深处奥秘的探索。

评分☆☆☆☆☆

翻阅此书，犹如踏上一段穿越数学殿堂的旅程。作者以其深厚的学养和独特的视角，将李群、李代数及其表示论这些既深奥又迷人的数学分支，以一种逻辑清晰、条理分明的方式呈现给读者。这本书的结构安排极具匠心，从李群的初步概念入手，逐步深入到其代数结构——李代数，再到将两者联系起来的表示论。对于李群的介绍，作者并没有止步于抽象的拓扑群定义，而是强调了其光滑流形和群结构的兼容性，这为理解其微积分性质奠定了基础。书中对于几种重要李群（如SO(n), SU(n), Sp(2n)）的详细分析，让我们能够将抽象理论与具体的数学对象联系起来。而李代数作为李群的“线性化”近似，其引入更是为我们提供了研究李群的有力工具。作者对李代数定义的阐释，以及其与李群之间通过指数映射的关系，是理解整个理论框架的关键。书中对各种李代数（特别是单李代数）的分类，以及根系的研究，展现了数学结构内在的和谐与美感。我尤其赞赏作者在表示论部分所付出的努力。通过研究李群或李代数作用在向量空间上的线性变换，我们得以窥见其更深层次的对称性。书中关于权、根、以及权空间的定义和性质，是理解不可约表示的关键。作者通过大量例子，如SU(2)和SU(3)的表示，将这些抽象概念具象化，让我能够更加直观地理解数学理论的实际操作。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，在我拿起这本书之前，对李群和李代数领域的认知是模糊且零散的。然而，这本书的作者以其非凡的洞察力和清晰的逻辑，为我构建了一个完整且深刻的理解框架。从一开始，作者就以一种引人入胜的方式，将李群描绘成一种“光滑的群”，强调了其连续性和可微性，这与我之前对离散群的认知形成了鲜明的对比。随后，李代数作为李群在单位元处的“切空间”，其引入让我看到了将连续群的性质“局部线性化”的可能性。书中对李括号的精确定义和性质的推导，让我对李代数的代数结构有了透彻的认识。而指数映射作为连接李群和李代数的桥梁，其重要性被作者反复强调，并进行了深入的解析，这为我理解它们之间的关系打下了坚实的基础。我尤其着迷于书中对单李代数分类的研究，特别是根系的概念，它如同数学中的DNA，揭示了李代数结构内在的简洁和普适性。表示论部分则是我学习过程中最大的收获之一。作者以一种非常系统的方式，介绍了如何将抽象的李群或李代数映射到向量空间上的线性变换，从而揭示其内在的对称性。书中关于权、根、以及权重函数的定义和性质，是理解不可约表示的关键，而作者通过SU(2)和SU(3)的表示实例，将这些抽象概念生动地展现在我面前，让我对数学理论的应用有了更深的体会。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读过程，对我而言，更像是一次智识的洗礼。作者在处理李群、李代数和表示论这样复杂而抽象的数学主题时，展现出了非凡的驾驭能力。开篇对李群的引入，不仅仅是给出定义，更是通过强调其作为光滑流形和群结构的兼容性，让我看到了数学的严谨与优美。书中对几种重要的矩阵群（如SO(n), SU(n)）的深入探讨，为我提供了具体的理解李群概念的窗口，让我能够将抽象理论与实际数学对象联系起来。而李代数，作为李群在单位元处的“线性化”描述，其引入是整个理论体系的关键。作者对李括号的定义及其性质的详细阐述，让我得以深入理解李代数的代数结构。连接李群和李代数的指数映射，在书中得到了详尽的解释，这为我理解它们之间的内在联系至关重要。我特别欣赏作者在对李代数进行分类时，对根系概念的巧妙运用，它如同数学世界的“万能钥匙”，解锁了李代数结构的内在规律。表示论部分更是整本书的亮点。作者以一种系统性的方法，介绍了如何研究李群或李代数在向量空间上的线性表示，从而揭示其对称性。书中关于权、根、以及权重函数的定义和性质，是理解不可约表示的关键，而作者通过SU(2)和SU(3)的表示实例，将这些抽象概念具象化，让我对数学理论的实际应用有了更深的认知。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，当我拿到这本《Lie Groups, Lie Algebras, and Representations》时，我的内心是既期待又有些许忐忑的。毕竟，李群和李代数这两个概念在许多数学分支中都扮演着至关重要的角色，但其抽象性也常常让初学者望而却步。然而，这本书的作者用一种令人惊喜的方式，化抽象为具体，化繁为简。开篇关于群论基础的回顾，虽然简洁，却为后续内容的展开奠定了坚实的基础。作者对李群的几何直观描述，特别是将李群看作是一种“平滑的群”，让我对连续对称性有了更深刻的理解。书中对于李群与李代数之间联系的阐述，堪称经典。作者通过“指数映射”这一桥梁，将全局的李群结构与局部的李代数结构紧密地联系起来，这种“局部线性化”的思想，是理解李群和李代数理论的关键。随后，书中对不同类型李代数（如单李代数）的分类及其根系的研究，更是展现了数学结构的精妙和规律性。我特别欣赏作者在解释根系时所使用的几何语言，将抽象的代数概念转化为可形象化的几何对象，让我得以从视觉上把握这些概念。此外，表示论的引入，则将这些抽象的代数对象“活化”了。通过研究李群或李代数在向量空间上的线性表示，我们能够更深入地理解其内在结构，并将其应用于物理学等领域。书中对于不可约表示的分类，以及权、余根等概念的介绍，都为我打开了理解更高级数学工具的大门。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和排版就给人一种沉稳而厚重的专业感，封面上的设计虽然简洁，却透露出一种数学的严谨和抽象之美。在阅读过程中，我最深刻的感受是作者对每一个概念的细致打磨。比如，在介绍李群的定义时，作者并没有直接给出抽象的公理化定义，而是先从一些具体的例子入手，如旋转群SO(n)和射影群PGL(n, R)，让读者对李群有一个直观的认识，然后再逐步引出其流形和群结构的兼容性要求。这种由具体到抽象的教学方式，极大地降低了初学者的门槛，也让我能够更深刻地理解李群的本质。书中对于李代数的讨论，也让我看到了它与李群之间不可分割的联系。李代数作为李群的“切空间”，在很多方面都比李群本身更容易处理，尤其是在表示论的研究中。作者巧妙地将李群的结构映射到其李代数的线性结构上，让我得以利用线性代数的方法来研究非线性问题。关于表示论的部分，更是将全书的知识融会贯通。通过对不同李群的表示的研究，我们可以揭示出李群更深层次的对称性和结构。作者在这一部分提供了大量的例子，包括对称群、旋转群、洛伦兹群等的表示，以及它们在量子力学等领域的应用，这让我看到了抽象数学理论的强大生命力。我特别喜欢书中关于权和根的讨论，以及它们在研究李代数表示中的作用，这为我理解更复杂的数学结构打下了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

以矩阵为例讲李群李代数，非常直观清晰，是一本很好的入门书，但是过于数学化，不知道如何用于物理，这是GTM的通病，毕竟人家是写给学数学的人看的。

评分☆☆☆☆☆

以矩阵为例讲李群李代数，非常直观清晰，是一本很好的入门书，但是过于数学化，不知道如何用于物理，这是GTM的通病，毕竟人家是写给学数学的人看的。

评分☆☆☆☆☆

没看完，暂时不看了，至于将来是否会补完不是很确定，毕竟李群教材有很多。书本身不错。整本书的讲法上，因为对象是矩阵李群，有点过于具体，有好处也有坏处，看个人需求吧。

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以矩阵为例讲李群李代数，非常直观清晰，是一本很好的入门书，但是过于数学化，不知道如何用于物理，这是GTM的通病，毕竟人家是写给学数学的人看的。