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出版者:Cambridge University Press

作者:Joseph P. S. Kung

出品人:

页数:408

译者:

出版时间:2009-2-9

价格:USD 59.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521737944

丛书系列:

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好的，这是一本名为《几何变换与拓扑学导论》的图书简介，力求详尽，绝不提及“Combinatorics”或任何相关主题。 --- 几何变换与拓扑学导论 探索空间、连续性与结构的基本范式 图书概述 《几何变换与拓扑学导论》是一部为数学、物理、工程及理论科学领域的初级和中级学习者量身定制的著作。本书的核心目标是构建一座坚实的桥梁，连接直观的几何感知与严谨的数学分析，深入探讨空间形态的内在属性、连续映射的本质，以及如何通过变换的视角理解对象的根本结构。 本书摒弃了仅仅停留在欧几里得平面上对图形的传统描述，转而关注更高级别的空间概念——拓扑空间。我们着重于那些在连续形变（拉伸、弯曲、扭曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质，这些性质构成了拓扑学的基石。 全书的叙事结构遵循从具体到抽象的逻辑路径：首先从基础的度量空间和等距变换入手，逐步引入拓扑空间这一普适的框架，最终探索连通性、紧致性以及同胚等核心概念。每一章都致力于清晰地阐述定义、提供丰富的示例，并通过精选的习题来巩固读者的理解和分析能力。 详细内容结构 本书共分为七个主要部分，涵盖了从基础几何结构到抽象拓扑理论的关键领域。 第一部分：度量空间与等距变换的视角（基础与直觉） 本部分奠定了本书的分析基础。我们首先复习实数集上的完备性，并将其推广到一般的度量空间 $(X, d)$。重点讨论了开集、闭集、邻域的定义，以及收敛序列在度量空间中的行为。 核心内容： 完备度量空间、巴拿赫不动点定理（及其在微分方程中的应用）、连续函数的定义与性质（统一连续性、紧致性的初步讨论）。 变换聚焦： 引入等距变换（Isometries）的概念，这些变换保持了点间距离，是刚性运动的数学表达。我们探讨了欧几里得空间中的刚性运动群（旋转、平移、反射）的结构。 第二部分：拓扑空间的构建（从度量到抽象） 这是全书概念转变的关键部分。我们从度量空间中“由距离诱导的拓扑”出发，抽象出拓扑空间 $ au$ 的基本公理（开集的定义）。本书强调，许多重要的几何性质可以脱离距离的概念来研究。 核心内容： 拓扑、基（Basis）、子空间拓扑、商拓扑的构造。我们详细讨论了初等拓扑构造，如环面和射影平面（作为 $mathbb{R}^3$ 的嵌入子集）的构建过程。 变换聚焦： 连续映射（Continuous Maps）在抽象拓扑空间中的定义。这比度量空间中的定义更为根本，它关注的是原像下开集的保持性。 第三部分：连续性、同胚与结构保持 本部分深入探讨了拓扑学中最核心的工具——同胚（Homeomorphism）。同胚是拓扑空间之间的“结构保持”的连续双射。 核心内容： 介绍紧致性（Compactness）的概念，特别是 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中）及其在一般拓扑空间中的推广。我们详细论证了连续函数在紧致集上的性质（如达到最大值、将紧致集映射到紧致集）。 变换聚焦： 探讨开映射、闭映射，以及同胚的逆映射的连续性。通过大量的拓扑“形变”例子（如咖啡杯与甜甜圈的同胚性），直观阐明拓扑不变性。 第四部分：连通性与路径连通性 几何对象的“一块”性质，即连通性，是拓扑学的另一个关键不变量。本书区分了更弱的连通性概念和更强的路径连通性概念。 核心内容： 连通空间的定义，分离集的讨论。我们证明了连通集的任意连续像仍是连通的。路径连通性的引入，并证明了路径连通蕴含连通性，但在一般拓扑空间中逆命题不成立。 应用实例： 探讨 $mathbb{R}^n$ 中开集的连通分支。 第五部分：分离公理与特殊空间结构 本部分开始深入研究那些具有更强分离性质的空间，这些性质使得我们可以使用更强大的分析工具。 核心内容： Hausdorff 空间（T2 空间）的性质，以及其在收敛性理论中的重要性。我们随后介绍了正则性（T3）和完全正则性（T3.5）的概念。 乌雷松定理（Urysohn's Theorem）： 阐述了如何利用这些分离性质来构造连续函数。 第六部分：基础群与变换的循环（初步代数拓扑） 本部分引入了代数拓扑学的第一个基本工具——基础群（Fundamental Group，$pi_1$）。这使得我们可以通过代数对象（群论）来区分拓扑上不同的空间。 核心内容： 路径、路径的同伦（Homotopy of paths）。基础群的定义及其运算（乘法）。 变换聚焦： 我们利用基础群来证明著名的非平面性定理：圆周 $S^1$ 与实数线 $mathbb{R}$ 在拓扑上是不可区分的，但圆周与平面（去中心点）在拓扑上是等价的。基础群特别擅长区分“有洞”的空间。 第七部分：纤维丛与流形的概念性引入 最后一部分将读者的视野扩展到更现代的领域，为后续学习微分几何和更高阶拓扑学打下概念基础。 核心内容： 引入局部欧几里得性（Locally Euclidean）的概念，这是拓扑流形（Topological Manifolds）的定义核心。 变换聚焦： 讨论 $mathbb{R}^n$ 上的微分同胚，并简要介绍纤维丛（Fiber Bundles）的基本思想——即在局部看起来像积空间，但在整体上可能具有更复杂的结构。 本书特色 1. 严谨性与直观性的平衡： 每一理论的提出都辅以丰富的几何可视化实例，确保抽象概念能被稳固把握。 2. 强调变换视角： 始终关注哪些属性在连续形变下保持不变，而非仅仅关注点的位置关系。 3. 丰富的习题集： 每章末尾均提供分级练习，从基础验证到高级证明，培养读者的分析和构建能力。 4. 现代数学的铺垫： 为后续学习偏微分方程的解空间、微分几何、以及广义相对论中的流形概念提供必要的拓扑语言基础。 本书的目标是让读者在完成阅读后，能够以一种全新的、更具弹性和普适性的视角来审视任何空间对象。

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我最近入手的一本关于《数论的优雅世界》彻底颠覆了我对整数性质的认知。这本书的笔触是如此细腻和富有情感，完全不像一本纯粹的数学著作，倒更像是一部关于数字之间“爱恨情仇”的历史传记。作者对费马大定理的漫长证明历程的描述，简直可以拍成史诗级的纪录片。他不仅解释了数论的原理，更着重描绘了那些伟大数学家们在面对看似简单却难以逾越的难题时所展现出的那种近乎偏执的执着和智慧的闪光。书中对模运算的讲解，没有使用晦涩的术语，而是通过古代日历的推算和密码学的应用场景来阐释，读起来充满了“哇，原来如此！”的惊喜感。我尤其被其中关于素数分布的章节所吸引，那些看似杂乱无章的素数背后，隐藏着一种宏大而神秘的秩序，作者将这种美感表达得淋漓尽致。这本书让人深刻体会到，数学的美不仅仅在于逻辑的完美，更在于其历史的厚重和人类精神的探索历程。

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坦白说，我一直在寻找一本能系统性地梳理“计算复杂性理论”的书，而《算法的极限：P与NP的边界》这本书，简直就是我心中的完美指南。这本书的结构设计非常巧妙，它没有一开始就抛出图灵机和不可判定性等概念，而是从解决问题的效率和资源消耗的角度切入，这对于工程背景出身的我来说，非常友好。作者对于NP完全问题的讲解，特别是针对背包问题和旅行商问题的详尽分析，让我对什么是“本质上困难的问题”有了全新的认识。书中对“证明”的哲学思考也令人深思——我们如何才能确信一个解是正确的，以及我们如何才能确信一个问题在当前算力下是无解的？书中的图表清晰地勾勒出了不同复杂度类之间的包含关系，那些黑色的、难以逾越的边界感，在视觉上就给予了读者极大的震撼。这本书的价值在于，它不仅传授了知识，更培养了一种审慎的计算思维，让你在设计任何解决方案时，都会先问自己一句：“这个问题的复杂度到底在哪里？”

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天哪，我最近翻阅的那本《几何的奥秘》简直是打开了我对空间想象力的新大门！这本书的作者在处理那些复杂的立体图形时，展现出了一种近乎诗意的精确性。我特别喜欢其中关于非欧几何的那一部分，它不仅仅是枯燥的公式堆砌，而是通过一系列巧妙的思维实验，引导读者去质疑我们习以为常的平面直觉。记得有一章详细解析了黎曼几何如何影响爱因斯坦的相对论，作者用极其生动的语言将高维空间的弯曲概念具象化，让我这个之前对高等数学望而却步的人，竟然能隐约感受到那种宇宙尺度的壮阔。更难得的是，书中的插图设计极其用心，那些复杂的拓扑结构图，色彩和线条的运用都恰到好处，既保持了学术的严谨，又不失艺术的美感。读完之后，我感觉自己看世界的角度都发生了一些微妙的变化，比如散步时会不自觉地去观察建筑线条的交汇与曲率，那种由内而外的启迪感，是很多同类书籍无法比拟的。这本书绝对是几何爱好者，乃至任何对世界本质好奇的人的案头必备。

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刚读完《线性代数的应用与矩阵分析》，我只有一个想法：为什么我大学时学这本书的时候没有遇到它！这本书的特点是极强的应用导向性，它几乎完全避开了那些为了证明而证明的冗余章节，直接将读者带入了矩阵运算的实际应用场景。作者花费了大量篇幅讲解奇异值分解（SVD）在数据降维和图像压缩中的强大威力，那种将一个复杂的数据集分解成几个核心“特征”的过程，描述得如同魔术般精彩。我特别喜欢它关于傅里叶变换在信号处理中地位的阐述，它完美地诠释了如何从时域转换到频域来解决实际问题。书中的案例库非常丰富，从PageRank算法到最小二乘拟合，每一个例子都配有详细的步骤和代码注释（基于Python），使得理论和实践之间几乎没有脱节。这本书的风格非常务实、干练，它不是在教你“什么是线性代数”，而是在教你“如何用线性代数解决你遇到的那些棘手问题”。对于工程师、数据科学家和需要经常处理大规模数据的专业人士来说，这本书的实用价值无可估量。

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如果说有些数学书读起来像是在攀登一座布满冰霜的悬崖，那么我手里的这本《概率论与随机过程导论》简直就像在夏日午后沿着一条宁静的溪流漫步。作者的叙事风格极其平易近人，他似乎深谙读者在面对“大数定律”和“中心极限定理”时的那种天然的畏惧感，于是便用生活中的无数小例子——从抛硬币的次数到股票市场的波动——来层层递进地构建理论框架。我尤其欣赏作者在解释马尔可夫链时所采用的“状态转移”比喻，非常直观，几乎不需要复杂的演算就能理解其核心思想。书中提供的那些R语言代码示例也是恰到好处，既提供了实践的机会，又不会过度干扰纯粹的理论学习。对我而言，最大的收获是书中关于金融风险建模的章节，它让我清晰地看到，那些抽象的随机变量如何被用来预测和管理现实世界中的不确定性。这本书的价值不在于它有多深奥，而在于它能把最令人费解的随机性，用最清晰、最人性化的方式呈现出来，让人读完后不觉枯燥，反而充满了探索的欲望。

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