An Introduction to Mathematical Logic and Type Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Peter B. Andrews

出品人:

页数:390

译者:

出版时间:2002-7-31

价格:USD 169.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781402007637

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逻辑与集合论导论：形式系统的基础 本书旨在为读者提供一个严谨而全面的逻辑学和集合论基础，重点关注形式系统的构建、推理规则的有效性，以及现代数学的根基——集合论的公理化方法。本书不涉及类型论或高级元逻辑分析，而是专注于经典逻辑的精髓与集合论的经典框架。 第一部分：命题逻辑与谓词逻辑的基石 本部分将导引读者进入形式化推理的世界，从最基础的符号语言开始，逐步构建起描述性语句和推理结构的精确框架。 第一章：命题演算与真值函数 本章首先介绍命题逻辑的基本元素：原子命题、逻辑联结词（如否定、合取、析取、蕴含和双条件）。我们将详细阐述这些联结词的真值函数定义，并引入真值表作为判断复合命题真值的标准工具。重点将放在理解逻辑等价性、重言式、矛盾式以及可满足式的概念。此外，本章还将探讨如何使用这些概念来分析日常语言中的论证结构，揭示其中隐藏的逻辑谬误。我们将精确定义有效论证的含义，即结论的真值必然由前提的真值所决定。 第二章：推理规则与自然演绎系统 在掌握了命题的符号表示后，本章转向推理的构建。我们将系统地介绍一系列基本推理规则，如肯定前件（Modus Ponens）、否定后件（Modus Tollens）以及合取引入/消除等。本书将着重介绍一种清晰、直观的自然演绎系统（Natural Deduction），通过一系列合乎规范的推导步骤，展示如何从一组公理或假设中得出新的结论。我们不仅会演示如何进行推导，还会深入探讨为何这些规则是“直观正确”的，以及它们在形式系统中的必要性。对于每个规则，都将提供详细的例子和反例分析。 第三章：一阶谓词逻辑的扩展 命题逻辑的局限在于它无法处理量词（“所有”、“存在”）以及个体和谓词之间的关系。本章将引入一阶谓词逻辑（First-Order Logic, FOL）的符号系统，包括个体常量、变量、函数符号、谓词符号以及最重要的——全称量词（$forall$）和存在量词（$exists$）。我们将阐述如何用这些符号构建出更丰富的逻辑语句，例如描述数学对象之间的关系。 第四章：一阶逻辑的推理与模型论基础 本章的核心在于将自然演绎系统扩展到一阶逻辑。我们将介绍量词的引入和消除规则，这些规则是理解量化语句推理的关键。随后，本章将初步探讨模型论的概念。我们将定义“结构”（Structure）或“模型”，用以解释这些形式语言的语义。通过定义满足关系，我们可以精确地判断一个语句在一个给定结构中是否为真。这一部分将为理解逻辑的有效性（Validity）提供严格的语义基础。 第二部分：集合论的公理化基础 逻辑系统需要一个坚实的语境来描述数学对象和关系。本部分将聚焦于公理化集合论，这是现代数学的通用语言。 第五章：朴素集合论的直觉与局限 本章从历史角度回顾集合论的早期发展，介绍康托尔的直觉，如集合的定义、隶属关系（$in$）以及集合的基本运算（并集、交集、补集、笛卡尔积）。我们将通过具体的例子来阐述这些概念。然而，本章的更重要目标是指出朴素集合论的内在矛盾，特别是罗素悖论。通过详细分析罗素悖论的构造，我们将论证为何需要一个更严格的、公理化的方法来构建集合论。 第六章：策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）的公理系统 本书将详细阐述构建现代数学基础的Zermelo-Fraenkel（ZF）集合论的公理系统。我们将逐一介绍并解释每一条公理的意义和必要性，包括： 1. 外延性公理 (Axiom of Extensionality): 决定集合相等性的原则。 2. 空集公理 (Axiom of Empty Set): 保证空集的存在。 3. 配对公理 (Axiom of Pairing): 保证任意两个集合可以组成一个集合。 4. 并集公理 (Axiom of Union): 保证集合的集合的并集存在。 5. 分离公理模式 (Axiom Schema of Separation): 保证从一个已有集合中抽取满足特定性质的子集是可能的，这是避免罗素悖论的关键。 6. 幂集公理 (Axiom of Power Set): 保证任何集合的幂集存在。 7. 无穷公理 (Axiom of Infinity): 保证至少存在一个无限集合，这是构建自然数集合的基础。 第七章：构建自然数与良序关系 在ZF公理系统的基础上，本章将展示如何严格地构建数学中最基本的对象——自然数。我们将利用冯·诺伊曼的构造法来定义序数和自然数（零被定义为空集，后继由$S(x) = x cup {x}$定义）。随后，我们将重点讨论替换公理模式 (Axiom Schema of Replacement) 的重要性（通常在ZFC中包含，本书将解释其在构建复杂集合中的必要性，即使在ZF的某些讨论中可能将其作为延伸）。 本章的高潮是良序定理 (Well-Ordering Theorem) 和选择公理 (Axiom of Choice, AC) 的引入。我们将讨论选择公理的表述，并证明在ZF集合论的框架下，以下陈述是相互等价的： 选择公理（AC）。 良序定理（任何集合都可以被良序化）。 良基性原理（每个非空集合都存在最小元）。 我们将详细探讨选择公理的非构造性性质及其在集合论和抽象代数中的应用，同时也会简要提及如何使用ZFC（包含AC的ZF集合论）来处理需要选择公理的证明，例如哈恩-巴拿赫定理等。 第三部分：逻辑与集合论的交汇 本部分将回顾逻辑的完备性与可靠性，并展示集合论如何作为逻辑推理的语境。 第八章：一阶逻辑的可靠性与完备性 本章将回到逻辑部分，探讨形式系统的两个核心元性质：可靠性（Soundness）和完备性（Completeness）。 可靠性： 证明所有在自然演绎系统中可推导出的公式在所有模型中都为真（即，逻辑蕴含关系）。 完备性： 证明所有在所有模型中都为真的公式（即，逻辑有效式）都可以在形式系统中推导出来。 我们将简要概述哥德尔（Gödel）关于一阶逻辑完备性的关键思想，强调这证明了我们的形式推理系统在捕捉“真”的概念上是完全充分的。 第九章：算术的局限性（概述） 最后，本章将触及形式系统在描述自身方面的局限性。我们将简要介绍哥德尔第一不完备性定理的结论，即在一个足够强大的、包含基础算术的（如皮亚诺算术或ZF算术）形式系统中，如果它是可靠的，那么它必然是不可判定的——即存在在该系统中既不能被证明为真也不能被证明为假的陈述。这为读者理解形式系统作为数学基础的内在界限提供了深刻的洞察。 本书的特点： 本书采用清晰的代数式结构和严谨的数学证明，避免了过于花哨的符号操作，致力于为读者建立扎实的逻辑思维习惯和对数学公理化基础的深刻理解。本书的重点在于对形式系统如何运作的精确描述，而非其在高级理论中的应用。

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我最近在学习形式化验证和高级编程语言语义，因此对这类书籍的需求很高。这本书在处理类型论部分，尤其是与Lambda演算的联系上，展现了作者深厚的功底。它没有简单地罗列定义，而是通过一系列巧妙的例子，逐步引导读者理解“证明即程序”这一深刻思想。我特别欣赏它在区分不同类型的逻辑系统时所采用的清晰框架——它不仅仅是描述性的，更像是提供了一个可供操作和比较的工具箱。例如，它对比了Curry-Howard同构在不同逻辑框架下的具体体现，这一点在其他许多入门读物中往往是一笔带过。不过，这本书的排版和符号系统有时会让人感到一丝困惑。在某些章节，公式的嵌套层次非常深，配合相对紧凑的行间距，使得长时间阅读后眼睛很容易疲劳，需要频繁地回头查找定义，这在处理复杂的类型构造时尤其明显。

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作为一名对计算复杂性理论有一定基础的数学系研究生，我期待这本书能提供更具前瞻性的视角。这本书的优点在于其对基础理论的奠基非常扎实，对于涉及一阶逻辑的完备性定理（如哥德尔完备性定理）的证明过程，作者给出了非常详尽的步骤，避免了许多教科书为了简洁而省略的关键推导环节。这对于我重新巩固这些经典理论的细节非常有帮助。然而，当内容转向更现代的主题时，比如涉及到范畴论在逻辑学中的应用或者交互式定理证明器的实现细节时，篇幅明显受限，很多前沿的研究方向只是点到为止，仿佛作者只是在介绍一个目录，而非深入探讨。对于希望将逻辑理论直接应用到前沿研究，例如构建新的证明助手工具的读者来说，这本书更像是起点而非终点，后续还需要大量参考更专业的领域论文集。

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这本书的封面设计得相当朴实，有一种老派教科书的厚重感。初次翻开时，我最大的感受是其内容的密度和广度。它似乎试图在一本书中涵盖从经典数理逻辑的基础公理系统，到更现代的类型论及其在计算机科学，尤其是函数式编程中的应用。阅读过程中，我发现作者在解释一些核心概念时，比如“可判定性”或者“构造性证明”，会引用大量的历史背景和哲学思辨，这使得文本不仅仅是冰冷的公式堆砌，而更像是一次对数学思维根源的探索。然而，对于那些希望快速掌握具体技术细节的读者来说，这种深入的哲学探讨有时会显得有些冗余，使得主线进展稍显缓慢。例如，在讲解高阶逻辑时，书中花了大量的篇幅来讨论其与直觉主义逻辑的关系，虽然严谨，但对于需要将其直接应用于模型检验的工程师而言，可能需要快速跳过这部分理论铺陈。总的来说，这是一本为志在深入理解数理逻辑底层原理而非仅仅应用工具的读者准备的深度读物。

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这本书的阅读体验可以说是“挑战与回报并存”。对于那些初次接触数理逻辑的本科生来说，这本书的难度曲线可能过于陡峭。作者似乎默认读者已经对集合论和初步的离散数学有很强的直觉。在介绍某些非经典逻辑时，例如直觉主义逻辑的Kripke语义，讲解过程非常跳跃，缺乏足够的图形化辅助或类比说明，使得概念的内化过程变得非常依赖读者的个人悟性。我发现，为了真正理解其中的一个论证，我不得不参照其他辅助教材来补充背景知识。但另一方面，一旦跨越了那些初始的认知障碍，你会发现这本书构建的逻辑体系非常自洽和优美。它没有过多地掺杂现代软件工具的“花哨”功能，而是专注于逻辑本身的纯粹性和严谨性，这对于培养扎实的理论思维是极其宝贵的。

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我购买这本书主要是为了系统学习类型论在软件工程中的应用潜力。这本书在早期部分对逻辑基础的梳理非常到位，特别是关于一阶逻辑的证明论方法，如自然演绎系统和序列演算，讲解得一丝不苟，展示了公理化系统的美感。然而，真正让我感到失望的是，尽管书名中提到了“Type Theory”，但后半部分关于高阶类型论（如Coq或Agda所依赖的结构）的介绍，显得有些力不从心和保守。它更多地停留在理论模型的描述上，对于如何将这些理论有效地转化为可操作的编程范式，或者如何处理现代类型论中复杂的递归类型和上下文敏感的类型检查，着墨不多。感觉作者的重心似乎更偏向于逻辑学的哲学根基和经典范畴，而对当代计算逻辑的快速发展稍有滞后。因此，如果你是想把它当作一本高级编程语言语义的实践手册，可能会觉得它不够“实用”。

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很有趣 这本书前半部分教读者如何一步一步地构造逻辑系统 对我而言可谓“雪中送炭”.

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翻过：本书引言部分直接把类型论叫做高阶逻辑，这个观点让人一下子明了起来。比先从解决悖论的历史开始讲起然后引入类型论的方法好得多。对稍微了解一点儿一阶逻辑的读者，能一下子对类型论有个简单直观的感受。

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翻过：本书引言部分直接把类型论叫做高阶逻辑，这个观点让人一下子明了起来。比先从解决悖论的历史开始讲起然后引入类型论的方法好得多。对稍微了解一点儿一阶逻辑的读者，能一下子对类型论有个简单直观的感受。

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翻过：本书引言部分直接把类型论叫做高阶逻辑，这个观点让人一下子明了起来。比先从解决悖论的历史开始讲起然后引入类型论的方法好得多。对稍微了解一点儿一阶逻辑的读者，能一下子对类型论有个简单直观的感受。

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翻过：本书引言部分直接把类型论叫做高阶逻辑，这个观点让人一下子明了起来。比先从解决悖论的历史开始讲起然后引入类型论的方法好得多。对稍微了解一点儿一阶逻辑的读者，能一下子对类型论有个简单直观的感受。