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出版者:Wiley-Interscience

作者:Mokhtar S. Bazaraa

出品人:

页数:872

译者:

出版时间:2006-5-5

价格:USD 159.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780471486008

丛书系列:

图书标签:

• 非线性优化
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《深入探索：线性规划的理论与实践》 本书简介 《深入探索：线性规划的理论与实践》是一部旨在为读者提供扎实线性规划（Linear Programming, LP）理论基础和丰富实际应用经验的权威著作。本书聚焦于线性规划模型构建、求解算法的深入剖析，以及在经济学、运筹学、工程管理等多个领域的广泛应用。 第一部分：线性规划基础与模型构建 本书的开篇部分，我们将系统地回顾线性规划的数学基础。首先，清晰界定线性规划问题的基本要素：目标函数、决策变量、约束条件以及非负性假设。我们深入探讨了标准形式（Standard Form）和基本可行解（Basic Feasible Solution）的概念，为后续的算法介绍奠定理论基石。 重点章节之一在于模型构建艺术。我们通过大量的案例分析，指导读者如何将复杂的实际问题转化为精确的数学模型。这包括资源分配问题、生产计划问题、混合配料问题以及网络流问题的线性规划表述。我们特别强调了模型建模过程中的关键挑战，如如何恰当地处理整数约束（为后续的混合整数规划埋下伏笔，但本书主要聚焦纯线性规划）、如何识别和处理冗余约束，以及如何通过敏感性分析来理解模型对参数变化的鲁棒性。 为了帮助读者建立直观理解，我们将线性规划问题置于几何空间进行解释。二维和三维空间中的可行域（Feasible Region）的几何特性，以及最优解位于可行域的顶点这一核心原理，都将通过清晰的图示和直观的推导进行阐述。 第二部分：经典求解算法的原理与实现 本书的核心价值在于对单纯形法（Simplex Method）的详尽解析。我们不仅仅是介绍单纯形法的步骤，而是深入挖掘其背后的代数几何逻辑。从初始基本可行解的选取（大M法与两阶段法），到如何通过主元选择（Pivot Selection）规则高效地移动到相邻的顶点，直至达到最优性判据。本书详细分析了单纯形法的收敛性、退化现象（Degeneracy）的处理，以及如何通过在迭代过程中计算影子价格（Shadow Prices）来揭示约束条件的经济含义。 紧接着，我们转向一类更现代、更具计算效率的求解方法：内点法（Interior Point Methods, IPMs）。本书清晰阐述了内点法与单纯形法的根本区别——前者在可行域内部迭代，后者沿着边界移动。我们将重点剖析中心路径（Central Path）的概念，以及如何利用牛顿法对KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件进行求解。书中详细介绍了对偶内点法（Dual Interior Point Method）和混合内点法（Primal-Dual Interior Point Method）的数学框架和计算流程，为理解现代优化求解器的底层机制提供了必要的工具。 此外，本书还专门辟出章节讨论对偶理论（Duality Theory）。我们将严格证明强对偶性和弱对偶性，并展示对偶问题如何提供最优解的界限和经济解释。对偶变量（Dual Variables）的物理意义——即资源的边际价值——将是本部分的重点讨论内容。 第三部分：高级主题与应用拓展 在掌握了基础算法后，本书进一步拓展到线性规划的复杂情境与高级应用。 敏感性分析（Sensitivity Analysis）是本书不可或缺的一环。我们将探讨最优解对目标函数系数和约束右侧常数变化的敏感程度。通过分析最优解集（Optimal Solution Set）的变化范围，读者可以学会如何对实际决策进行前瞻性规划和风险评估。 我们深入探讨了大范围问题的处理策略，包括如何利用分解算法（Decomposition Algorithms），如Benders分解或Dantzig-Wolfe分解，来处理具有特定结构的大规模线性规划问题。这些方法对于解决能源规划、大规模供应链管理等实际问题至关重要。 网络流问题（Network Flow Problems）作为线性规划的特例，拥有更高效的专用算法。本书将展示如何将最小费用流、最大流等问题转化为线性规划模型，并简要介绍这些专用算法（如增广路径算法）的效率优势。 计算实践与软件实现：本书的最后部分侧重于理论知识向实践的转化。我们选取了当前主流的商业和开源LP求解器（如CPLEX、Gurobi、GLPK）作为范例，指导读者使用标准的建模语言（如AMPL或Pyomo）来精确表达模型。通过实际的编程练习，读者将学会如何高效地输入模型、调用求解器，并对求解结果进行可靠的后处理分析。 本书的特色 《深入探索：线性规划的理论与实践》的独特之处在于其理论的严谨性与应用的广泛性达到了完美的平衡。书中所有的算法推导都力求清晰、无缝衔接，避免了在关键数学步骤上的跳跃。通过对算法收敛性、稳定性的深入探讨，本书旨在培养读者对优化问题的深刻洞察力，使其不仅能“使用”线性规划工具，更能“理解”并“改进”这些工具。无论是作为本科高年级或研究生优化课程的教材，还是作为工业界专业人士的案头参考书，本书都将成为一座连接理论深度与工程实践的坚实桥梁。

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作为一个对数值稳定性和计算效率有较高要求的工程背景人士，我对这本书中关于大规模问题的处理部分给予了高度评价。很多教科书在讲解完理论基础后，在实际应用层面就显得力不从心，但《Nonlinear Programming》在这方面展现了非凡的深度。它专门辟出一个章节详细讨论了约束处理的技术，特别是罚函数法和增广拉格朗日法的比较分析，这在许多标准教材中往往是一笔带过的内容。作者细致地比较了不同罚因子对病态问题的敏感性，并清晰地论证了为什么增广拉格朗日法在处理硬约束时通常表现出更好的数值鲁棒性。此外，对于内点法（Interior-Point Methods）的介绍，并非停留在其作为一种“前沿”方法的表面，而是深入探讨了障碍函数的设计以及如何利用牛顿法的思想来求解中心路径。这部分的数学推导虽然密集，但作者通过对“自对偶”特性和预测-修正策略的解释，使得这种复杂算法的内在逻辑得以彰显。读完这部分，我感觉自己对如何构建一个高效、稳定的非线性求解器有了更深层次的理解，而不仅仅是会调用现有的软件库函数。

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这本书的阅读体验，从排版和细节来看，反映出作者对读者的尊重和严谨的学术态度。装帧精美自不必说，但真正让我印象深刻的是那些随处可见的“脚注”和“旁注”。它们不是简单的引用文献，而是作者对某些历史发展脉络的补充说明，或是对某些数学结论适用范围的特别提醒。例如，在讨论共轭梯度法（CG）的迭代性质时，书中特意指出其在严格凸情况下的优越性，但在非凸问题中，如果没有配合线搜索策略，其性能可能会急剧下降。这种对细节的把控，避免了读者在实际应用中因为误解前提条件而导致失败的优化尝试。再者，书中所配的习题设计也极具匠心。习题并非清一色的数值计算，而是巧妙地结合了理论分析和建模实践。有些题目要求证明某个特定函数的拟牛顿方法的收敛速度，有些则要求读者根据实际工况设计一个合适的约束松弛策略。这种教学上的平衡感，使得读者在掌握知识的同时，也培养了批判性思考和解决实际问题的能力。这是一本真正“会说话”的教材。

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这本书，坦率地说，初次捧读时，我的内心是忐忑不安的。我一直对数学建模抱有浓厚的兴趣，但“非线性”这个词汇本身就自带一种令人望而生畏的气场，仿佛预示着无尽的复杂和晦涩。然而，作者在开篇部分的叙述却出乎意料地平易近人。他没有一上来就抛出那些令人头晕目眩的公式和抽象定义，而是从实际工程和经济学中的具体问题切入，比如资源的最优化配置、成本函数的非线性变化趋势等，成功地勾勒出了一个清晰的“为什么我们需要研究非线性规划”的蓝图。这种从应用到理论的渐进式引导，极大地缓解了初学者的焦虑感。接着，关于凸集和凸函数的基础部分，讲解得尤为扎实，很多以往模糊不清的概念，比如分离超平面定理的几何意义，在书中通过精妙的图示和直观的语言被清晰地阐释出来。整体阅读体验如同攀登一座陡峭的山峰，虽然起始阶段需要一定的体力储备，但每向上一个台阶，视野都会开阔一分，让人充满继续探索的动力。它成功地将一个“高冷”的数学分支，拉到了我们触手可及的实践层面。我特别欣赏作者在引入KKT条件时所采用的对比手法，通过与线性规划的松弛性条件进行对照，使得非线性约束下的最优性判据不再是孤立的教条，而是一种逻辑上的自然延伸。

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综合来看，这本书的价值远超一本常规的数学工具书。它更像是一部系统而深入的“非线性规划思想史与实践指南”。我特别欣赏作者在全书贯穿始终的一种哲学观：优化问题的求解是一个在可行性、最优性和计算复杂度之间不断权衡和妥协的过程。书的后半部分，对随机规划和大规模优化（如分解算法）的简要介绍，更是为读者指明了未来的研究方向。它提醒我们，现实世界中的许多问题都带有不确定性，完全依赖于确定性模型是不够的。虽然书中的某些高级章节，例如关于半定规划（SDP）松弛的介绍，确实需要读者具备扎实的线性代数基础，但作者在引入新概念时，总是能用最简洁的方式提炼出其核心思想，即“将非线性问题转化为更容易处理的凸子问题”。这本书成功地架设了一座坚实的桥梁，连接了纯粹的数学理论与复杂的工程应用，是任何想要深入理解和有效应用非线性优化方法的专业人士案头不可或缺的经典之作。

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这本书的结构安排堪称精妙，尤其是在处理算法的迭代和收敛性证明方面，展现出了作者深厚的学术功底和高超的教学艺术。它没有满足于简单地罗列一堆算法的名称，比如梯度下降法、牛顿法、序列二次规划（SQP）等，而是深入剖析了它们背后的数学原理和各自的局限性。对于早期的入门算法，比如最速下降法，作者不仅展示了其一阶收敛的慢速特性，还通过具体的例子展示了“锯齿效应”是如何浪费计算资源的。随后，引出准牛顿法的思想，特别是BFGS公式的推导过程，被拆解成了几个逻辑严密的步骤，让人能够清楚地追踪到误差是如何被有效修正的。更令人称道的是，作者在讨论全局收敛性时，并没有采用过于复杂的拓扑学语言，而是聚焦于对步长选择和搜索方向确定的严格要求。这使得读者在面对实际优化问题时，能够根据问题的特性，审慎地选择最合适的求解策略，而不是盲目地套用模板。书中对鞍点问题的讨论也极其细致，揭示了许多看似收敛的迭代过程实则陷入了局部最优的陷阱，这对于处理更复杂的、非凸的实际问题提供了极具价值的警示。这种由内而外的解析，将“黑箱”算法还原成了可理解的数学操作链条。

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