Mathematical Discovery on Understanding, Learning, and Teaching Problem Solving, Volume II pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Ishi Press

作者:George Polya

出品人:

页数:218

译者:

出版时间:2009-7-7

价格:USD 25.95

装帧:Paperback

isbn号码:9784871878326

丛书系列:

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• 数学
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数学发现：理解、学习与教授问题解决，第二卷 探索数学思维的核心：从理论到实践的深度拓展 本书是《数学发现：理解、学习与教授问题解决》系列的第二卷，聚焦于将复杂数学问题的解决过程进行系统化、可视化和可迁移性的深入探讨。它并非对第一卷内容的简单重复或补充，而是建立在对基础问题解决理论（如启发法、元认知策略和问题表征）已有理解的基础上，进一步挖掘数学家和优秀学生在解决复杂、非标准问题时所采用的深层认知结构、情感投入以及教学实践中的创新路径。 本卷旨在填补现有数学教育文献中，关于“高阶问题解决能力如何被有效培养和量化”的鸿沟。它突破了传统的解题步骤罗列，转而探讨解决问题的“内在动力学”——即学生和教师如何建构、修正和应用数学模型来应对未曾谋面的挑战。 第一部分：问题解决的认知架构与高阶表征 本部分深入剖析了高级问题解决者（包括专业数学家和表现出色的学习者）在处理开放性或结构模糊问题时的思维模式。我们不再仅仅关注于“使用”已知公式，而是探究“构建”新公式和新概念的过程。 1. 隐性知识的显性化：从直觉到形式化 我们首先考察了数学直觉（Mathematical Intuition）在问题解决中的作用。直觉并非神秘的力量，而是大量经验在潜意识中快速模式匹配的结果。本章详细区分了“经验性直觉”与“基于原理的直觉”，并提供了通过案例研究（如拓扑学中的一些早期发现）来分析直觉如何被逐步转化为严谨的数学证明或解题算法的路径。我们引入了一种“思维轨迹追踪法”，用以捕捉学习者在解决开放性问题时，从最初的猜测、模型选择到最终验证过程中的认知跳跃点。 2. 多尺度表征（Multi-Scale Representation）的构建 成功的数学问题解决往往依赖于在不同抽象层次之间灵活切换的能力。本章侧重于“表征的转换”这一关键技能。我们分析了以下几种核心表征模式的转换机制： 符号-几何-语义的循环转换： 探讨了代数表达式如何被转化为几何结构（如向量空间的可视化），以及语义描述如何启发更优化的符号操作。重点分析了在微分几何和数论中的具体实例。 微观结构与宏观系统的关联： 尤其关注复杂系统（如网络科学或组合优化）中，如何通过分析局部单元的属性来推导出整体系统的特性，反之亦然。我们探讨了分形几何作为一种多尺度表征的典范。 动态表征的应用： 引入了时间维度（或迭代次数）作为一种重要的表征变量，用于分析递归关系和动态系统的稳定性问题。 3. 复杂性认知负荷的管理 面对信息过载的复杂问题时，个体的短期记忆和工作记忆的限制成为瓶颈。本部分引入了“信息压缩与结构锚定”的理论。通过研究那些能够高效分解复杂问题的专家，我们提炼出他们用来锚定关键概念和限制问题空间的认知工具集。这包括对“不变量”（Invariants）的早期识别能力，以及如何利用这些不变量来显著减少需要同时处理的变量数量。 第二部分：教学实践中的创新：促进深层理解 第二部分将焦点从认知科学转向教育学，探讨如何设计出能够有效激发和培养上述高阶问题解决能力的教学环境和课程设计。 4. 问题的“深度”与“广度”设计原则 本章批判性地审视了现有教材中问题的分类方法，并提出了基于“概念迁移潜能”（Potential for Conceptual Transfer）的问题设计框架。我们认为，一个好的问题不仅要考察对特定知识点的掌握，更要强制学习者去激活和重组跨领域的知识模块。 “桥梁问题”的设计： 详细阐述了如何构造那些表面上看似属于一个领域（如代数），但其有效解法却依赖于另一个领域（如概率或逻辑）的“桥梁问题”。 反例驱动的学习路径： 探讨了系统性地引入具有误导性的或“边缘案例”反例，如何迫使学生深化对基本定义和定理适用范围的理解，从而避免“死记硬背公式”的浅层学习。 5. 元认知指导的结构化：从“提示”到“自我调节” 元认知（Metacognition）的指导是培养独立问题解决者的关键。本卷提出了比传统“提问式提示”（Prompting）更具系统性的方法——“结构化自我提问循环”。 我们设计了一套在解题过程中逐步收紧和放宽焦点的指导脚本，旨在帮助学生内化以下关键的元认知活动： 问题重构（Reframing）： 在遇到障碍时，学生应如何系统地质疑最初的假设和表征方式。 资源评估（Resource Assessment）： 如何准确评估当前掌握的知识工具箱中哪些是适用的，哪些是需要暂时搁置的。 失败分析与知识整合： 将解题失败视为一种“数据点”，而非终点，并指导学生如何从错误中提取新的解题规则或改进策略。 6. 协作环境中的问题解决：群体智慧的激发 当问题复杂到单个个体难以处理时，团队协作变得至关重要。本部分研究了在数学学习小组中，如何设计角色分配和互动规范，以最大化“群体认知收益”。 我们关注“认知冲突的建设性使用”——即如何引导小组内部成员基于不同但有效的解题视角进行辩论，从而避免群体思维（Groupthink）。通过对跨学科项目（如应用数学建模竞赛）的观察，本章提炼出了促进有效知识共享和分歧解决的沟通策略。 结论：走向自适应的问题解决者 本书的最终目标是描绘一条清晰的路径，使学习者能够从一个依赖外部指导的解题者，成长为一个能够自主识别、定义、分解并最终解决新颖复杂问题的自适应数学思考者。第二卷提供的工具和框架，旨在深化教师对问题解决过程的理解，从而在课堂上创造出更具认知挑战性和知识深度的学习体验。它强调，真正的数学发现源于对已知知识进行大胆重组的勇气和系统的认知方法论。

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这是一本只看前几页而根本无需看后续内容就可以给出五星的书。摘要两句： “译者的话”第一页最后一段：“任何学问都包括知识的积累和能力的训练两个方面，按作者的看法，在数学上，能力的训练比起单纯的知识的积累要重要的多”；第二页第一段：“作者把解题看做是人类的最富有...  

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第14章 关于学、教和学教 那些曾使你不得不亲自动手发现了的东西，会在你脑中留下一条途径，一旦有所需要，你就可以重新运用它。-李希坦伯格《格言》 人的认识从感觉开始，再从感觉上升到概念，最后形成思想。-康德《纯粹理性批判》1978年英文版 我（打算）把初学者学习的那...  

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对数学之美有了一个新的体会！虽然只是讲如何解题这样的东西，尤其是例子是高中的，不过其中思路倒是很受益，所谓升学辅导书的题型跟他比起来弱爆了。笔记做在本上了，就不从中找什么名句了。跟作者一样，我也喜欢笛卡尔，即使我不喜欢笛卡尔万能方法

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对数学之美有了一个新的体会！虽然只是讲如何解题这样的东西，尤其是例子是高中的，不过其中思路倒是很受益，所谓升学辅导书的题型跟他比起来弱爆了。笔记做在本上了，就不从中找什么名句了。跟作者一样，我也喜欢笛卡尔，即使我不喜欢笛卡尔万能方法  

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我差点想去复印图书馆的老书了。谢谢科学出版社。 刚拿到书，封面的颜色很难看。两本变成一本使得书有点厚，不好。 还是喜欢合情推理的那套的厚度。 又可以重温经典了。高兴。  

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初读这套书的引言部分，我立刻感受到了一种不同于传统教科书的叙事风格。它没有一上来就抛出冰冷的概念和公式，而是通过一系列精心设计的启发性问题，巧妙地将读者带入到对“问题解决”这一核心活动的哲学思考之中。作者的笔触是那样富有洞察力，他似乎能洞察到每一个学习者在面对难题时内心的挣扎与困惑，并用一种近乎对话的方式，温柔而坚定地引导我们去审视自身思维模式的局限。这种叙述方式极大地降低了学术著作的门槛，使得原本可能显得枯燥的数学理论，焕发出了一种充满生命力的探索欲。更令人称道的是，它并不满足于描述“如何做题”，而是深入探究了“为何如此思考”，这种对认知过程的深度剖析，对于任何希望提升解决问题能力的个体来说，都是一次醍醐灌顶的体验。

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在内容结构上，这本书展现出一种令人赞叹的宏观视野与微观精确性的完美平衡。它似乎构建了一个从基础认知原理到高级策略应用的完整知识图谱。我注意到，作者在讨论某一特定数学领域的问题解决技巧时，总是会不自觉地将其置于更广阔的教育学或认知心理学框架下进行考察。这使得书中的每一个论断都有着坚实的理论后盾，而非空中楼阁般的经验之谈。例如，书中对于‘模式识别’与‘类比推理’的深入剖析，不仅仅停留在操作层面，更是对人类心智如何在大数据中提取有效信息进行了深刻的描绘。这种跨学科的视野极大地拓宽了我的思路，让我开始用一种更系统、更本质的眼光去审视自己过去那些凭直觉完成的“灵光一现”的解题过程，试图将其规律化、可复制化。

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这本书的语言风格，在我看来，是一种极其高阶的“技术文学”。它既保持了数学论述的严谨性与清晰度，又充满了富有哲理的思辨色彩。阅读过程中，我时常会遇到一些措辞精妙的句子，它们用最简洁的语言概括了极其复杂的认知现象，让人不禁停下来反复咀嚼。这种文本的张力，使得阅读体验远超于信息获取的层面，而更像是一种智力上的交锋与共鸣。作者似乎非常擅长使用反问句和排比结构来加强论点，使得那些原本可能被忽略的细微差别，得到了强有力的凸显。总而言之，这本书不仅是知识的宝库，更是一部关于如何有效运用心智工具的“操作手册”，它教会我的，不仅仅是关于数学的知识，更是关于如何更智慧地思考和学习的方法论。

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这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，封面采用了深邃的蓝色调，搭配着烫金的标题字体，散发出一种古典而又严谨的学术气息。内页的纸张质感也相当出色，触感温润，墨迹清晰，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到明显的疲劳。排版上，作者显然在细节之处下了不少功夫，公式和定理的引用规范且醒目，关键概念的强调也处理得恰到好处，使得复杂的数学逻辑在视觉上变得井井有条。我特别喜欢它在章节之间的过渡处理，虽然主题宏大，但逻辑链条的衔接却做得极为流畅，仿佛一位经验丰富的向导，引领着读者逐步深入这片思维的迷宫。整体而言，从物理属性到视觉呈现，这本书都散发出一种匠心独运的品质，让人在捧读之初就对即将展开的数学探索充满了期待与尊重。这种对书籍本身的尊重，也反过来激励着我们更加认真地对待书中所承载的知识体系。

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深入阅读后，我发现这本书最宝贵的价值在于它对“错误”和“失败”的重新定义。在许多强调速度和正确率的数学学习环境中，犯错往往被视为负面信号。然而，作者却花了大量篇幅来论证，恰当的错误分析才是通往深刻理解的必经之路。书中提供的案例分析，往往不是展示标准解法的典范，而是选取那些充满陷阱、考验心智韧性的典型错误案例进行“解剖”。通过对这些失败路径的细致追踪，读者能够清晰地看到认知偏差是如何产生的，以及如何通过迭代和反思来修正这些偏差。这种“拥抱不确定性”的学习态度，对于培养学习者的心理韧性（Grit）至关重要，它将学习过程从一场追求完美答案的竞赛，转变成了一场持续优化的螺旋上升之旅。

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