A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 2, 3rd Edition pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Publish or Perish

作者:Michael Spivak

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1999-1-1

价格:USD 40.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780914098713

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好的，以下是关于一本不包含《A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 2, 3rd Edition》内容的图书的详细简介，侧重于介绍其他可能与之主题相关或形成对比的经典数学著作。 --- 经典数学著作深度导览：解析几何与拓扑的基石 专题聚焦：《微分几何与黎曼几何的早期奠基之作》 本书系对二十世纪中叶以来，在微分几何与拓扑学领域产生深远影响的几部关键著作的系统性梳理与深入剖析。我们聚焦于那些在特定领域确立了基本范式，但其叙述风格、侧重点或具体内容与当代标准教科书（如被广泛引用的《A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 2》系列）存在显著区别的里程碑式作品。 本导览旨在为严肃的数学学习者提供一个历史的、方法的视角，理解数学思想是如何在不同作者的笔下萌芽、发展并最终定型的。 --- 第一部分：拓扑学范畴的先驱——庞加莱与勒雷的遗产 本部分将详细审视Hassler Whitney的《Geometric Integration Theory》（1957年版，普林斯顿大学出版社）的精髓。 1.1 对测度和积分的几何化处理 Whitney的这部著作，虽然在更广泛的拓扑和微分几何背景下被提及，但其核心贡献在于对测度论、光滑流形上的积分理论以及向量场的流的早期几何化尝试。与现代处理流形上的微分形式和外导数的方法（如德拉姆上同调的成熟框架）相比，Whitney的方法更加根植于测度论的严谨性以及对连续映射的拓扑性质的深刻洞察。 内容侧重分析： 微分形式的早期引入： 本书如何通过“正则测度”和“几何测度”的概念来构建积分的底层结构，这与现代通过楔积和霍奇理论构建的积分框架有着本质的区别。我们着重分析其在流形上定义积分泛函的过程，这在当时的几何学界是极具开创性的。 嵌入定理的局限性讨论： 尽管Whitney本人是嵌入定理的奠基人，但该书中关于在低维空间中嵌入拓扑流形的部分，其技术细节和证明的侧重点，与后来基于微分拓扑工具（如斯梅尔的证明）的论述形成了鲜明的对比。本书更强调代数拓扑作为嵌入可行性的先决条件。 1.2 从测度到结构——勒雷的预见 紧接着，我们将对比分析Jean Leray的早期关于流形上的分布理论（Distributions on Manifolds）的未完成手稿（或其基于1950年代讲义整理的早期版本）。勒雷的工作，特别是其对函数空间和谱序列的早期应用，为后来分析几何的发展（如L-2上同调的出现）奠定了基础。 对比洞察： 我们将探究，在没有成熟的纤维丛理论和现代指标理论的背景下，勒雷如何利用拓扑方法来解决偏微分方程在光滑空间中的解的存在性问题。这与依赖于黎曼度量和联络的现代几何分析方法截然不同。 --- 第二部分：经典解析几何的深度回归——韦伊与代数几何的融合 本部分将转向解析几何的经典高峰，分析一本极具影响力的著作——André Weil的《Foundations of Algebraic Geometry》（1946年版，即“红皮书”的早期版本）。 2.1 抽象范畴与代数基础 韦伊的这部作品，虽然在后来的版本中被修正和发展，但其初版集中于将代数几何建立在交换代数和范畴论的萌芽思想之上。它与现代微分几何的关注点——光滑性、度量和曲率——几乎处于平行宇宙。 核心区别与分析： 对“点”的理解： 韦伊的几何对象是概形（Schemes）的前身，建立在环和理想之上。我们详细考察其如何使用代数工具来定义“切空间”和“局部性质”，与微分几何中通过极限过程和线性逼近定义切空间的方法进行对照。 拓扑的缺位： 在韦伊的框架中，拓扑结构（如我们熟悉的欧几里得拓扑或流形拓扑）是被隐去或完全由代数结构替代的。例如，书中对“闭集”的定义完全依赖于理想的性质，而非集合的开集补集性质。 2.2 黎曼几何视角的缺失 我们特别指出，在这部专注于代数基础的著作中，黎曼度量、测地线方程、曲率张量等微分几何的核心概念是完全缺失的。韦伊的工作旨在为代数簇提供一个无悖论的、纯代数的框架，其关注点在于相交理论和韦伊上同调的代数对应物，而非度量几何的物理或分析性质。 阅读建议： 对于习惯于使用张量分析和微分形式的读者，阅读韦伊的早期工作需要极大的思维转换，理解其如何将“光滑性”的概念抽象为“正则环”的性质。 --- 第三部分：经典微分几何的英国学派——经典场论的残留与张量分析 本部分聚焦于T. J. Willmore的《Total Curvature in Riemannian Geometry》（1973年版，牛津大学出版社）的早期章节，特别关注其在总曲率理论上的开创性工作。 3.1 强调几何直观而非抽象上同调 Willmore的这部作品，虽然深刻，但其叙事风格明显带有早期英国几何学派的痕迹：高度依赖于物理直觉、经典场论的类比以及对黎曼曲面的深入研究。 内容对比： 曲率的积分公式： Willmore的重点是高斯-邦内定理的推广和各种拓扑不变量（如欧拉示性数）的几何积分表示。这与现代教材中通过德拉姆上同调的积分理论推导出这些公式的严谨路径不同，Willmore的论述更侧重于对曲率的直接几何求和。 联络的讨论： 在涉及主丛和规范场论的现代讨论之前，Willmore对仿射联络和Levi-Civita联络的介绍，更多地采用坐标变换下的张量变换法则来进行定义和计算，而非现代教材中基于纤维丛上的微分形式的抽象定义。 3.2 对流形理论的依赖程度 与讨论流形作为抽象拓扑空间的现代方法相比，Willmore的早期部分在建立基础时，对嵌入空间 $mathbb{R}^N$ 上的光滑子集的依赖性更强。这反映了当时几何学界尚未完全拥抱抽象流形概念的过渡时期特征。读者将看到对高斯曲率和平均曲率等经典概念的详尽计算，这些计算往往不涉及抽象纤维丛的语言。 总结： 本导览所探讨的这些著作，共同勾勒出了微分几何从经典分析向现代代数拓扑和抽象几何过渡时期的丰富面貌。它们各自从不同的方向（测度论、代数基础、经典张量分析）对几何学的核心问题进行了独立的、具有时代特征的解答。阅读这些经典，能帮助我们更深刻地理解现代数学语言的形成过程及其背后的历史选择。

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拿起这本书，首先感受到的是它沉甸甸的分量，这绝不是那种轻飘飘、只能放在书架上做摆设的“花架子”。它的内容密度是惊人的，每一页都像是经过了千锤百炼的提炼，几乎没有一句废话。我记得我尝试去理解其中关于黎曼曲率张量的介绍部分，那段文字的叙述方式非常巧妙，它没有直接抛出最难懂的定义，而是先从一个非常直观的物理图像入手，循循善诱，直到你自然而然地接受那个抽象的数学结构。这种教学上的匠心，对于我们这些在自学道路上摸索的人来说，简直是雪中送炭。我尤其欣赏作者在引入新概念时，总会穿插一些历史背景或重要应用案例的简短叙述，这使得原本枯燥的理论学习过程变得鲜活起来，让人体会到这些数学工具是如何一步步发展起来，并解决实际问题的。读完其中一章，我感觉自己的思维框架都被重塑了一遍，那种知识体系被强行拔高到新层次的体验，是极度令人满足的。

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这本书的封面设计简直是一场视觉的盛宴，那种深邃的蓝色调配上烫金的书名，立刻就给人一种庄重而又不失现代感的专业气息。我是在一家老式书店里偶然发现它的，当时正值午后，阳光透过玻璃窗洒在书脊上，那低调的奢华感立刻吸引了我。我轻轻翻开扉页，那些印着复杂公式和精美图表的页面，空气中似乎都弥漫着一种理性与美学的交织味道。虽然我对微分几何的理解还停留在基础阶段，但仅仅是看到排版和图示的精良，我就能预感到这本书在学术上的严谨性。它不像某些教科书那样死板僵硬，它仿佛在邀请读者进入一个由张量和流形构筑的优雅世界。我花了很长时间在书店里只是研究它的目录结构，那种清晰的逻辑递进，让人对作者的深厚功力不寒而栗。即便是外行人，也能感受到这并非是一本可以轻易征服的著作，它需要时间和敬畏心去对待。这本书的装帧质量也无可挑剔，纸张的触感温润而厚实，保证了即便是经常翻阅，也不会轻易磨损，这对于一本需要反复研读的工具书来说，是极其重要的细节。

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我最欣赏这本书的一点，是它在复杂理论框架下的“内在一致性”维护得非常好。不像有些参考书，不同章节之间的理论衔接常常显得生硬或者前后矛盾。但在这本书里，无论是欧几里得空间上的经典几何，还是过渡到更抽象的微分流形，乃至于最终探讨纤维丛和联络的现代结构，所有的概念都像是从同一个源头流淌出来的，逻辑链条异常清晰。例如，作者处理曲率的概念时，他没有简单地重复定义，而是展示了不同几何背景下（如曲面、黎曼流形）曲率概念是如何被统一起来的，这种深层次的洞察力，才真正体现了这本巨著的价值所在。它教你的不仅仅是如何计算，更是“如何思考”几何问题，如何从本质上理解空间的弯曲与度量。读完后，你会发现自己看待世界的方式都变得更几何化了，仿佛能“看到”那些看不见的张量场在空间中流动。

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从学术工具的角度来看，这本书的参考价值几乎是无可替代的。我注意到，许多最新的研究论文在引用微分几何的基石性结论时，都会指向类似这种权威著作。它的习题设置，绝不是为了凑数而存在的，每一个练习题都像是对该章节核心思想的一次深度挖掘。我做了一些难度较高的证明题，发现它们不仅考验计算能力，更考验对定理理解的深度和运用灵活性的。有些习题的解答甚至需要结合好几章的内容才能完成，这迫使你必须建立起一个宏观的知识网络，而不是零散地记忆知识点。虽然完成这些习题需要巨大的毅力和时间投入，但一旦攻克，那种对材料的掌握程度就达到了一个全新的水平。可以说，这本书不仅仅是教材，更像是一份高质量的“问题集与解答框架”，是任何严肃从事几何学研究的人书架上不可或缺的镇山之宝。

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这本书的阅读体验，很大程度上取决于你对自身数学素养的评估。如果你是初次接触高阶几何学的新手，我必须诚恳地说，直接啃这本书可能会让你怀疑人生。它更像是一位经验丰富的老教授，站在讲台上，用一种毫不妥协的精确性在阐述问题。它的每一个符号、每一个引理的证明，都要求读者具备扎实的线性代数和多变量微积分基础。我曾经试图跳过一些基础的代数预备知识直接进入流形部分，结果很快就被那些复杂的坐标变换和外微分的记号淹没了。后来我退回去，仔细补习了前面几章关于微分形式的部分，情况才豁然开朗。所以，这本书的价值在于它不降低难度来迎合读者，而是设定了一个极高的标准，迫使读者提升自己去适应它。这种挑战性，反过来也成了它最大的吸引力——只有真正啃下来的人，才能感受到那种智力上的征服感。

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这本写得特别得经典，挺适合本科时学微分几何作为参考书来用

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这本写得特别得经典，挺适合本科时学微分几何作为参考书来用

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按照数学史的进展来讲解微分几何的概念和命题：高斯之前的微分几何，高斯的那篇文章

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这本写得特别得经典，挺适合本科时学微分几何作为参考书来用

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62reference, show that how curvature determines the metric under various definitions of a connection. must read before taking grad level diff (Riemann) geo.