The book presents the basics of Riemannian geometry in its modern form as geometry of differentiable manifolds and the most important structures on them. The authors' approach is that the source of all constructions in Riemannian geometry is a manifold that allows one to compute scalar products of tangent vectors. With this approach, the authors show that Riemannian geometry has a great influence to several fundamental areas of modern mathematics and its applications. In particular, Geometry is a bridge between pure mathematics and natural sciences, first of all physics. Fundamental laws of nature are formulated as relations between geometric fields describing various physical quantities. The study of global properties of geometric objects leads to the far-reaching development of topology, including topology and geometry of fiber bundles. Geometric theory of Hamiltonian systems, which describe many physical phenomena, led to the development of symplectic and Poisson geometry. Field theory and the multidimensional calculus of variations, presented in the book, unify mathematics with theoretical physics. Geometry of complex and algebraic manifolds unifies Riemannian geometry with modern complex analysis, as well as with algebra and number theory. Prerequisites for using the book include several basic undergraduate courses, such as advanced calculus, linear algebra, ordinary differential equations, and elements of topology.
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老实说,市面上关于高级数学结构的书籍汗牛充栋,但真正能做到深入浅出,同时又不失严谨性的,凤毛麟角。这本书恰恰占据了这样一个微妙的平衡点。它的语言风格极其克制,几乎没有一句废话,每一个句子都承载着精确的信息量。我尤其欣赏作者在处理“对称性”这一核心主题时所采用的视角——将群论和纤维丛理论有机地结合起来,展现了结构如何决定了场的行为。这种处理方式,极大地拓宽了我对“几何”概念的认知边界,它不再仅仅是关于形状和空间,而是关于内在的、不变的规律。对于已经有一定分析基础的读者来说,这本书就像一个高效率的知识放大器,它能迅速地将你的现有认知提升到可以理解前沿研究的水平。当然,这绝非易读之作,它要求读者具备强大的抽象思维能力和对符号逻辑的绝对忠诚,但对于那些有志于在理论物理、代数几何或相关领域深耕的人来说,它提供了一个近乎完美的知识蓝图。
评分每一次阅读这本书的体验都是一次精神上的洗礼。它不同于那些侧重于计算技巧的书籍,它更像是在教你如何“思考”几何问题,如何在多维度的空间中构建直觉。作者在阐述诸如德拉姆上同调或特征类时,没有采用那种回避困难的简化手法,而是直面了问题的复杂性,并通过一系列精心构造的例子和类比,将这些高深的工具“接地气”。我特别喜欢其中穿插的一些历史小注,它们不是为了炫耀知识,而是为了解释为什么某个概念会以特定的形式被发展出来,这极大地增强了阅读的沉浸感和历史厚重感。这本书的排版和符号规范也值得称赞,极大地减少了阅读过程中的视觉干扰,让人可以全身心地投入到那精妙的数学推演之中。它成功地构建了一个自洽的知识生态系统,一旦你进入其中,便能感受到数学逻辑的强大魅力。
评分这本书给我最深刻的印象是其构建的整体框架——它不仅仅是关于“结构”和“场”的集合,更是一部关于“不变性”的哲学宣言。作者似乎在用最纯粹的数学语言探讨万物的基本规律。我发现自己经常会停下来,思考作者如何将看似不相关的代数工具与空间描述紧密地缝合在一起,这种洞察力是极其罕见的。阅读这本书的过程,更像是一场与一位顶级数学家的深度对话,他既有渊博的知识,更重要的是,有独特的、能穿透表象的洞察力。它对某些高级主题的处理,比如规范场论的数学基础,简直是教科书级别的典范,简洁、有力,且具有极强的启发性。对于研究生阶段的学生或者资深研究人员来说,这本书很可能成为一本需要反复翻阅、每次都能提供新视角的案头宝典。它不仅传授了知识,更塑造了一种处理复杂数学问题的思维模式。
评分这本书的叙事节奏掌控得非常高明,它不像某些数学著作那样,一上来就陷入无休止的定义和定理堆砌,反而更像是一部精心编排的交响乐。开篇的引言部分,作者就巧妙地将历史背景与现代研究的迫切需求融合在一起,让人立刻感受到研究这些“几何结构与场”的必要性和紧迫性。随后,章节间的过渡极其自然,一个概念的引入,往往是前一个概念遗留问题的必然解法,这种内在的逻辑连贯性,使得阅读过程中的“顿悟”时刻频繁出现。我必须承认,在深入探讨黎曼几何那几章时,我的进度慢了下来,但这种“慢”并非源于困惑,而是源于一种想要仔细品味每一步论证的冲动。作者对于那些看似微小却至关重要的细节的处理,体现了其深厚的学术功底。读完后,我感觉自己对物理学中某些场论的理解也得到了本质性的提升,因为它揭示了隐藏在现象背后的纯粹数学骨架。这本书的价值,在于它能将抽象的数学工具,转化为洞察物理世界的锐利视角。
评分这本书的封面设计就给人一种极其现代和严谨的视觉冲击。那种冷峻的线条和清晰的几何图形,仿佛在无声地宣告着内容的深度与广博。我最初翻开它的时候,是被那些精美的插图和图表深深吸引的。它们不仅仅是装饰,更是理解复杂概念的钥匙。作者在构建理论体系时,展现出一种近乎建筑师般精确的逻辑感,每一步推导都像是精心铺设的基石,稳固而不可动摇。我尤其欣赏它在处理基础拓扑和微分几何概念时的那种“庖丁解牛”式的清晰度,很多我过去在其他教材中感到晦涩难懂的地方,在这本书里被剥离了不必要的复杂性,直指核心。它迫使你慢下来,去真正理解“结构”在数学意义上是如何被定义的,以及“场”的概念是如何从微积分的直观想象跃升到抽象代数和流形理论的严密框架之中的。对于那些渴望从扎实的基础出发,向更高维度的数学世界探索的读者来说,这本书无疑提供了一个坚实且令人信服的起点。它不是那种走马观花的科普读物,而是要求你投入时间与心力,进行一场真正的智力攀登。
评分是《现代几何 俄罗斯译丛》的凝聚版本。杨米尔斯方程建立在带联络的主纤维丛上的理论。联络在纤维丛引入微分结构。切丛联络相容与度量产生了旋量场。纤维丛几何与规范场物理的翻译词典:连接函数就是规范变换 ;联络1-形式是规范场势(证明通过水平提升)是主丛外的新结构,曲率2-形式是规范场强,曲率要满足恒等式;物质场是伴矢量从的截面,协变导数是物质场和规范场的作用,kibble方程 的分类 。 狭义相对论和广义相对论区分在于广义相对论的度规张量(引力就是度规张量)不平凡,广义相对论是弯曲的,狄拉克方程的基础建立在克劳福德代数基础上:SO(1,3)的半自旋表示和SL(2,C)的标准表示相同,SL(2,C)的李代数和洛伦茨群同构,狄拉克方程式是自旋场,当质量为0描述光子时候,就是不相关的两个外尔方程。
评分是《现代几何 俄罗斯译丛》的凝聚版本。杨米尔斯方程建立在带联络的主纤维丛上的理论。联络在纤维丛引入微分结构。切丛联络相容与度量产生了旋量场。纤维丛几何与规范场物理的翻译词典:连接函数就是规范变换 ;联络1-形式是规范场势(证明通过水平提升)是主丛外的新结构,曲率2-形式是规范场强,曲率要满足恒等式;物质场是伴矢量从的截面,协变导数是物质场和规范场的作用,kibble方程 的分类 。 狭义相对论和广义相对论区分在于广义相对论的度规张量(引力就是度规张量)不平凡,广义相对论是弯曲的,狄拉克方程的基础建立在克劳福德代数基础上:SO(1,3)的半自旋表示和SL(2,C)的标准表示相同,SL(2,C)的李代数和洛伦茨群同构,狄拉克方程式是自旋场,当质量为0描述光子时候,就是不相关的两个外尔方程。
评分是《现代几何 俄罗斯译丛》的凝聚版本。杨米尔斯方程建立在带联络的主纤维丛上的理论。联络在纤维丛引入微分结构。切丛联络相容与度量产生了旋量场。纤维丛几何与规范场物理的翻译词典:连接函数就是规范变换 ;联络1-形式是规范场势(证明通过水平提升)是主丛外的新结构,曲率2-形式是规范场强,曲率要满足恒等式;物质场是伴矢量从的截面,协变导数是物质场和规范场的作用,kibble方程 的分类 。 狭义相对论和广义相对论区分在于广义相对论的度规张量(引力就是度规张量)不平凡,广义相对论是弯曲的,狄拉克方程的基础建立在克劳福德代数基础上:SO(1,3)的半自旋表示和SL(2,C)的标准表示相同,SL(2,C)的李代数和洛伦茨群同构,狄拉克方程式是自旋场,当质量为0描述光子时候,就是不相关的两个外尔方程。
评分典型俄罗斯教材-科普的手法将专业知识
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