An Introduction to Riemann-Finsler Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:[美]David Dai-Wai Bao

出品人:

页数:451

译者:

出版时间:2000-3-17

价格:USD 84.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387989488

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 黎曼几何
• 数学
• 几何
• 微分几何
• Mathematics
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• 微分几何7
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《黎曼-芬斯勒几何导论》图书简介 本书聚焦于现代微分几何的核心分支——黎曼-芬斯勒几何，旨在为读者提供一个全面而深入的理解框架。 本书的叙述风格力求严谨、清晰，同时保持数学内容的趣味性和几何直觉的引导性。它不仅是数学研究生和研究人员的理想参考书，也适合具备扎实微积分和基础微分几何知识的物理学、理论工程学背景的读者深入探索。 第一部分：基础与预备知识的巩固 本书伊始，我们首先回顾和系统化了读者在进入黎曼-芬斯勒世界之前所需掌握的关键数学工具。这部分内容并非简单的知识点罗列，而是着重于从几何直觉出发，建立起必要的解析基础。 流形基础与张量分析的重述： 我们从光滑流形的概念出发，详细阐述了切空间、向量场、微分形式以及张量场的构造。特别地，我们深入探讨了流形上的积分和Stokes定理的推广形式，为后续引入度量结构打下坚实基础。张量分析部分，侧重于协变导数、联络的唯一性（Levi-Civita联络的引入前提）以及黎曼曲率张量的具体计算。 黎曼几何的内涵： 黎曼几何作为芬斯勒几何的特例，其理论的精髓被细致剖析。测地线的概念，通过变分原理（作用量最小化）和利用Christoffel符号得到的测地线方程，被赋予了清晰的几何意义。我们详细讨论了测地线完备性、空间曲率（如截面曲率）的意义及其对拓扑和全局结构的影响。指数映射的构造及其性质，特别是其局部可逆性，是理解小邻域内几何结构的关键。此外，本书还对黎曼度量的能量泛式、时空（伪黎曼流形）的引入及其在广义相对论中的地位进行了铺垫性的介绍。 第二部分：芬斯勒几何的拓扑与代数结构 进入芬斯勒几何的核心领域，本书强调了与黎曼几何在概念上的细微差别及其带来的巨大结构变化。芬斯勒几何的核心在于其对度量张量 $g_{ij}(x, dot{x})$ 依赖于速度 $dot{x}$ 的处理。 芬斯勒结构： 我们正式引入芬斯勒结构，即一个定义在总空间 $TM$ 上的二次型函数 $F(x, dot{x})$，它满足正齐次性和关于 $dot{x}$ 的正定性。这一结构的引入，使得度量依赖于切向向量，极大地丰富了几何的内涵。与黎曼几何的度量张量 $g_{ij}(x)$ 不同，芬斯勒度量 $g_{ij}(x, dot{x})$ 使得“长度”的概念依赖于运动的方向。 张量与芬斯勒联络： 核心的挑战是如何在非对称的情况下定义导数和曲率。本书详细介绍了芬斯勒几何中主要的分析工具： 1. 基本张量（The Metric Tensor and the Canonical Semimetric）： 详细阐述了 $g_{ij}(x, dot{x})$ 的偏导数，特别是 $partial_k g_{ij}$ 的重要性。 2. 芬斯勒联络（Finsler Connections）： 与黎曼几何中唯一的Levi-Civita联络不同，芬斯勒几何中存在着丰富的一族联络。我们重点讨论了 Ehresmann联络、垂直/水平联络 的概念，以及如何利用这些联络定义 张量分解（如垂直和水平分量）。 3. 张量分解和张量导数： 为了在切空间上进行合理的微分操作，我们引入了垂直算子 $V$ 和水平算子 $H$ 的概念，并基于此定义了张量的垂直导数和水平导数，这对于后续的曲率计算至关重要。 第三部分：芬斯勒曲率与几何性质的深化 本部分是全书的重点，专注于刻画芬斯勒流形的内在几何特征——芬斯勒曲率。 芬斯勒曲率张量： 由于缺乏对称性，芬斯勒曲率的定义更为复杂。我们系统地引入了 张量 $C_{ijk}$（也称为 张量 $C$，与 $dot{x}$ 的二阶偏导相关）和 张量 $T_{ijk}$（用于刻画非对称性）。我们详细分析了 杨氏恒等式（the Identities of Yang） 在芬斯勒结构下的推广，并引入了 张量 $R$（曲率张量）和 张量 $W$，它们分别对应于经典黎曼曲率张量的推广。 核心几何量： 1. 截面曲率（Curvature in the Finsler Sense）： 芬斯勒截面曲率的定义与黎曼几何的截面曲率不再是简单的相似关系，它依赖于两个向量在切空间中的相互作用。本书将讨论 双测地曲率（Bisectional Curvature）的概念，并分析其与 $C_{ijk}$ 的内在联系。 2. 张量 $S$ 与 $T$： 引入了刻画度量函数 $F$ 偏离二次齐次性的重要张量 $S_{ijk}$ 和 $T_{ijk}$（或称 $B_{ijk}$ 和 $T_{ijk}$），它们是判别一个芬斯勒流形是黎曼流形（即 $S=0, T=0$）的关键代数工具。 测地线方程的推广： 在没有Levi-Civita联络的情况下，测地线方程的表达形式依赖于选择的联络。我们导出了最常用的 张量形式的测地线方程，并探讨了在特定联络下（如 Chern联络 或 Armstrong联络）测地线如何表现出与经典测地线相似的性质。 第四部分：特殊结构与应用展望 最后，本书将目光投向具有特殊性质的芬斯勒流形，并探讨了该理论在现代物理和数学中的潜在应用方向。 特殊类型的芬斯勒流形： 1. 欧拉-拉格朗日方程的几何解释： 将芬斯勒几何视为经典力学（拉格朗日力学）的内在几何表述，其中 $F^2$ 扮演拉格朗日函数 $L$ 的角色。 2. 类黎曼与类量规流形（Almost-Riemannian and Quasi-Finsler Manifolds）： 讨论了那些“接近”黎曼流形的结构，例如对称的 $C$ 张量，以及它们在拓扑性质上的保留。 3. 对称性与 Killing 向量场： 在芬斯勒几何中， Killing 向量场的概念更为复杂，因为其定义必须考虑度量对速度的依赖性。我们探讨了如何定义和寻找保持芬斯勒结构不变的映射。 应用前沿： 虽然本书主要聚焦于纯数学基础，但我们简要展望了芬斯勒几何在以下领域的应用： 引力理论与时空几何： 芬斯勒时空作为对广义相对论的修正，如何处理物质和能量的各向异性效应。 信息几何： 费雪信息矩阵的推广形式在统计流形上的应用。 最优控制理论： 芬斯勒度量与最小时间或最小能量控制问题的内在联系。 本书的特点在于： 结构上从基础到复杂层层递进，数学推导细致严谨，力求在概念的抽象性与几何的直观性之间找到最佳平衡点。它不仅教授“如何计算”，更深刻阐释了“为什么这样计算”以及这种几何结构带来的深远影响。

评分☆☆☆☆☆

Finsler几何作为Riemann几何的推广之一是Riemann 1854年报告中提及的，它首先是一种度量几何学。 Finsler度量并不是切空间上的任意一个抽象度量，它需要满足强凸性，这种性质对于整体结果的建立是必要的。而所谓强凸性的引入甚至可以追溯到Blaschke的《微分几何》第二卷把经典...

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Finsler几何作为Riemann几何的推广之一是Riemann 1854年报告中提及的，它首先是一种度量几何学。 Finsler度量并不是切空间上的任意一个抽象度量，它需要满足强凸性，这种性质对于整体结果的建立是必要的。而所谓强凸性的引入甚至可以追溯到Blaschke的《微分几何》第二卷把经典...

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Finsler几何作为Riemann几何的推广之一是Riemann 1854年报告中提及的，它首先是一种度量几何学。 Finsler度量并不是切空间上的任意一个抽象度量，它需要满足强凸性，这种性质对于整体结果的建立是必要的。而所谓强凸性的引入甚至可以追溯到Blaschke的《微分几何》第二卷把经典...

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和装帧倒是出乎意料地精良，这点必须点赞。厚实的纸张，清晰的印刷字体，即使长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。这对于一本需要反复查阅公式和定义的专业书籍来说至关重要。但是，阅读体验上的舒适感似乎仅限于物理层面。内容上，我最欣赏的一点是它在引入费尔马几何（Finsler Geometry）概念时所展现出的逻辑连贯性。它没有将黎曼几何（Riemann Geometry）作为背景知识直接跳过，而是巧妙地将两者进行对比和过渡，逐步引入非对称的度量结构，这使得理解起来比单纯阅读费尔马几何的独立教材要顺畅得多。然而，这种对比有时也显得过于学术化，缺乏一些图示或更生活化的例子来辅助理解那些高维空间中的路径优化问题。如果能在关键的几何直觉形成点上多配几张高质量的插图，哪怕只是二维或三维的示意图，相信能帮助更多的读者跨越最初的抽象障碍。

评分☆☆☆☆☆

总的来说，这本书在我心中的定位非常明确：这是一部为严肃的几何学家准备的、百科全书式的参考手册。它的价值在于其内容的全面性和论证的绝对严谨性。任何想要在该领域进行原创性研究的人，都无法绕开这本书所建立的理论框架。然而，对于那些仅仅希望了解黎曼-费尔马几何的基本概念或者寻求快速应用指导的读者，我可能会建议他们先寻找一些更具介绍性的读物。这本书的“门槛”设置得太高了，它要求读者已经具备了相当高的数学成熟度。我个人对其中关于某些非经典连络的讨论印象深刻，它确实提供了一些前沿的视角，但要完全掌握这些视角，需要投入数倍于阅读其他教材的时间。它更像是一部等待被深入挖掘的“宝藏”，而不是一艘快速通往目的地的渡轮。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名实在是太硬核了，拿到手就有一种“我得静下心来啃好久”的预感。翻开第一页，那密密麻麻的符号和定义差点让我望而却步。我本来以为它会像很多入门教材那样，先用一些直观的比喻来铺垫，结果它上来就直奔主题，各种张量、微分形式、联络的定义扑面而来。对于一个数学背景不算特别扎实（尤其是在微分几何方面）的读者来说，这绝对是一个巨大的挑战。我花了整整一个下午的时间才把前三章的内容勉强捋顺，感觉自己像是在攀登一座陡峭的山峰，每一步都走得异常艰难。不过，正是这种毫不妥协的严谨性，让我对作者的专业程度深信不疑。它没有试图简化概念，而是要求读者自己去消化吸收那些抽象的结构。可以想象，这本书绝不是那种可以抱着咖啡轻松阅读的休闲读物，它需要的是专注、耐心，以及对数学之美的深度热爱。我目前的体会是，它更像是一本为研究生或专业研究人员准备的工具书，而不是给初学者准备的友好向导。

评分☆☆☆☆☆

关于这本书的行文风格，我得说，它非常“德式”，或者说非常注重逻辑的无可辩驳性。作者似乎完全没有考虑读者的“学习曲线”，而是直接陈述了最终的、最精炼的理论结构。每一个定理的证明都极其详尽，每一步推理都环环相扣，几乎不允许任何跳跃性的思考。这种风格的好处是显而易见的：它消除了理论上的歧义，为后续的更高阶研究打下了极其坚实的基础。但对于我这样习惯于循序渐进教学法的读者来说，阅读起来相当费力。我经常需要停下来，回溯前面的章节，或者借助其他辅助材料来验证某个中间步骤的合理性。这种高强度的智力投入，使得我的阅读速度非常缓慢，很多时候我感觉自己不是在“阅读”，而是在进行一场艰苦的“解密”工作。它更像是对已建立理论体系的权威性总结，而非一次愉快的知识传授之旅。

评分☆☆☆☆☆

我尝试着将这本书带入我的一个研究课题中作为参考资料，希望能从中找到新的思路。坦白说，对于具体应用层面的挖掘，这本书的侧重点似乎并不在于此。它更像是一份详尽的“数学建筑蓝图”，将黎曼-费尔马空间的内在结构描述得淋漓尽致，从李群作用下的不变性到各种曲率的计算，几乎涵盖了所有纯数学的深度挖掘。我发现自己花大量时间去理解它对某个特定拓扑空间上度量张量选择的探讨，这些讨论极其深入，但对于我目前需要解决的那个物理模型中的实际参数选择，并没有提供直接的指导。这让我产生了一种“好书，但似乎不是为我手头的这个问题量身定做”的感觉。它要求读者必须对现有的几何框架有非常扎实的掌握，否则很容易在概念的汪洋大海中迷失方向，找不到通往实际应用的出路。它更像是地图绘制者提供的完美地图，而不是探险家需要的指南针。

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