The Geometry of Four-Manifolds (Oxford Mathematical Monographs) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Oxford University Press, USA

作者:S. K. Donaldson

出品人:

页数:450

译者:

出版时间:1997-12-04

价格:USD 155.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780198502692

丛书系列:

图书标签:

数学
拓扑
几何
微分几何7
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具体描述

This book provides the first lucid and accessible account to the modern study of the geometry of four-manifolds. It has become required reading for postgraduates and research workers whose research touches on this topic. Pre-requisites are a firm grounding in differential topology, and geometry as may be gained from the first year of a graduate course. The subject matter of this book is the most significant breakthrough in mathematics of the last fifty years, and Professor Donaldson won a Fields medal for his work in the area. The authors start from the standpoint that the fundamental group and intersection form of a four-manifold provides information about its homology and characteristic classes, but little of its differential topology. It turns out that the classification up to diffeomorphism of four-manifolds is very different from the classification of unimodular forms and that the study of this question leads naturally to the new Donaldson invariants of four-manifolds. A central theme of this book is that the appropriate geometrical tools for investigating these questions come from mathematical physics: the Yang-Mills theory and anti-self dual connections over four-manifolds. One of the many consequences of this theory is that 'exotic' smooth manifolds exist which are homeomorphic but not diffeomorphic to 4, and that large classes of forms cannot be realized as intersection forms whereas distinct manifolds may share the same form. These results have had far-reaching consequences in algebraic geometry, topology, and mathematical physics, and will continue to be a mainspring of mathematical research for years to come.

拓扑几何学前沿：光滑流形与高维结构探索导言：对流形本质的深入剖析本书旨在系统性地探讨光滑流形理论在更高维度上的复杂性与精妙结构，特别是那些超越我们日常直觉的三维和四维空间的特性。我们将聚焦于如何利用代数拓扑、微分几何以及拓扑不变量的工具，来刻画和区分这些抽象空间。本书的重点在于构建严谨的数学框架，以理解流形上的整体几何性质如何由其局部结构所决定，并探讨拓扑结构在何种程度上可以被度量结构所约束。第一部分：基础结构的巩固与推广本部分将首先回顾和深化读者对微分流形、切丛以及纤维丛的理解。我们不满足于已知的低维例子，而是侧重于那些在高维空间中才显得尤为关键的构造。 1. 纤维丛与联络的细致考察：我们将详细分析主丛和向量丛的结构，特别是对Chern类和Pontryagin类的生成与性质进行深入推导。这些拓扑不变量是区分流形的关键工具，我们将展示如何利用它们来检测流形上是否存在特定的结构（如可积结构或特定的联络）。研究将扩展到Weil代数和Characteristic Ring的构建，阐明这些代数结构如何编码了流形上的曲率信息。 2. 相对同调论与截面空间的性质：传统的奇异同调论在高维空间中显得力不从心，因此我们转向De Rham上同调和更广义的相对上同调理论。重点将放在研究流形上向量丛的截面空间的性质，以及如何通过计算这些截面的模空间（Moduli Space）的拓扑特性来理解流形的形变空间。我们将探讨Thom同构在高维上的精确表述及其在谱序列计算中的应用。 3. 拓扑场的构造与欧拉类：对欧拉类及其相关不变量的讨论将是本部分的核心。我们将通过向量场零点的指数定理的推广，来阐述欧拉示性数的几何意义。随后，将引入Thom空间和截面同伦群的概念，用于对流形进行更精细的分类。我们将详细分析Thom-Siefert谱序列，它在连接局部数据与全局拓扑结构方面扮演的关键角色。第二部分：几何结构的内在约束与不变量在掌握了基础工具后，本书将转向研究特定几何结构对流形拓扑的深刻影响。这里的“流形”可以拥有任意光滑结构，但我们关注的是那些能承载丰富几何信息的结构。 4. 辛几何与泊松结构：虽然辛流形（Symplectic Manifolds）的维度通常为偶数，但其内在的结构（辛形式 $omega$）施加了极强的约束。我们将探讨泊松结构与辛结构之间的关系，以及如何通过Poisson-Lie群的理论来理解这些流形的局部形变。重点将放在Hamiltonian动力系统在这些流形上的作用，以及Maslov指数在轨道分类中的应用。 5. 黎曼曲率与拓扑：考察流形上的黎曼度量及其曲率张量。我们将深入研究爱因斯坦流形的性质，以及Ricci曲率如何影响流形的拓扑。本书将详细论述Willard-Petrie定理的推广版本，该定理揭示了曲率下界如何限制了流形的配边（Cobordism）性质。特别是对Yamabe问题在高维空间中的变体及其对流形规范性的影响将进行细致的分析。 6. 规范场论的几何视角：我们将以规范理论的眼光重新审视流形上的纤维丛。重点放在Chern-Simons泛函（对于三维流形）和更一般的Yang-Mills泛函上。虽然这些泛函的严格积分往往需要拓扑框架（如Wick转动），但我们主要关注的是其梯度流——Donaldson超曲面——如何刻画流形的拓扑等价性。我们将探讨Seiberg-Witten不变式的几何起源，并将其与传统的Pontryagin类进行对比，揭示它们在区分流形时的不同敏感度。第三部分：边界、配边与高维分类本部分关注流形的“边界行为”以及流形在拓扑分类中的地位。 7. 配边理论的深化：我们将超越标准的同伦群分类，深入研究流形配边群 ($Omega_n$)。重点放在Thom-Pontryagin构造上，该构造将$n$维流形与其在更高维度空间中的浸入（Immersion）联系起来。我们将详述Whitney 嵌入定理和Smale-Hirsch定理的精妙之处，并利用它们来构建配边的拓扑不变量。 8. 边界的拓扑信息：对于一个流形 $M$ 带有边界 $partial M$，我们将探究 $partial M$ 的拓扑如何反作用于 $M$ 的整体结构。研究将侧重于光滑边界的构造，例如如何通过纤维化（Fibrations）来分解一个高维流形。我们将分析Lefschetz纤维化的性质，以及在特定条件下，边界 $partial M$ 的同调群如何完全决定了 $M$ 的拓扑结构。 9. 局部平坦结构与奇异性：最后的章节将探讨当流形结构不再是处处光滑时，即存在局部平坦结构或奇异点时，其拓扑性质的变化。我们将考察Orbifold（奇异空间）的理论，以及如何将经典流形理论中的工具（如切丛和曲率）推广到这些更一般的空间上。这涉及到对Gromov-Hausdorff距离在奇异空间上的收敛性的讨论，以及如何利用这些工具来构造新的拓扑不变量。结论：本书为读者提供了一套强大的、相互关联的数学工具，用以分析和区分那些在低维直觉之外的高维光滑流形。通过融合代数拓扑的抽象性与微分几何的精确性，我们得以洞察复杂空间背后的基本几何法则。

作者简介

目录信息

读后感

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用户评价

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阅读这本书的过程，更像是一次漫长而又引人入胜的智力探险。它不像一些教科书那样只顾着传递知识点，而是仿佛在与一位经验丰富的向导同行，他不仅展示了宏伟的风景，还耐心地指出了脚下的每一步陷阱与捷径。特别是关于黎曼度量和辛流形之间复杂联系的章节，作者的处理方式简直堪称教科书级别的典范。他没有简单地罗列定理，而是深入剖析了每一步证明背后的几何直觉。我尤其欣赏作者在处理那些非常抽象的概念时，总能适当地穿插一些历史背景或关键人物的贡献，这使得枯燥的数学推导瞬间鲜活了起来，让人感觉自己正在参与到人类知识构建的最前沿。这种叙事性的处理，极大地降低了理解高深理论的门槛，让我在攻克难关时，总能找到一丝精神上的慰藉。

评分☆☆☆☆☆

从内容深度上讲，这本书显然是面向专业研究人员和高年级研究生的。它没有提供大量的“傻瓜式”引导，而是直接切入了问题的核心要害。我发现书中对于某些前沿问题的讨论，即使是与我所熟悉的领域相邻的数学家朋友，也需要停下来反复咀嚼才能领会其深层含义。作者在构建理论框架时的那种宏大叙事能力令人震撼，他似乎能将看似分散的几何学分支，如微分拓扑、代数拓扑和广义相对论的某些侧面，巧妙地编织在一起，形成一个统一而严密的逻辑体系。每一次我以为自己找到了论证的薄弱环节，深入研究后才发现，那其实是作者故意留下的、通往更深层次洞见的伏笔，这种精妙的设计让人拍案叫绝。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，那种深邃的蓝色调配上精准的几何图形，一下子就抓住了我的眼球。拿到手的时候，那沉甸甸的分量感，让人立刻意识到这不是一本轻松的读物，而是真正的“硬核”数学。我记得第一次翻开它，映入眼帘的是那些密密麻麻的公式和图示，每一个符号都像是经过精心打磨的宝石，闪烁着理性的光芒。虽然我对拓扑学的理解还停留在初级阶段，但光是看着这些严谨的推导过程，就能感受到作者在构建这个四维世界时所付出的巨大心血。那种清晰的逻辑链条，即使是初学者也能感受到其背后蕴含的强大力量。书中对于某些基本概念的引入方式也相当巧妙，不是那种生硬的定义堆砌，而是通过一系列精心设计的思考路径，引导读者自然而然地进入到四维流形的奇妙境界中去。

评分☆☆☆☆☆

老实说，这本书的阅读难度是毋庸置疑的，它绝不是那种可以轻松放在床头消遣的书籍。我曾经在试图理解某一特定章节的同伦群计算时，不得不停下来，回去重温了好几本基础教材，才敢继续往下推进。然而，正是这种挑战性，赋予了阅读它巨大的成就感。每攻克一个看似不可能理解的定理，那种思维被拓展的喜悦是其他任何领域的阅读体验都无法比拟的。它像一个高难度的谜题，要求读者付出全部的专注和毅力，但最终解开谜题时所获得的知识的精确性和美感，是无与伦比的。这本书需要的不是一时的热情，而是持之以恒的学术热情和对数学真理的敬畏之心。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和印刷质量简直无可挑剔，对于长期与数学书籍打交道的我来说，这一点尤为重要。清晰的字体，适中的行距，以及那些高质量的图表插图，都极大地提升了阅读体验。我经常需要长时间盯着复杂的纤维丛结构图看，如果图示模糊不清或者出现套印不准的情况，那简直是灾难。然而，这本书在这方面做到了极致，每一个拓扑细节都清晰可见，这对于需要仔细比对和验证的读者来说，简直是福音。而且，装帧非常坚固，即使是经常翻阅和在咖啡馆里使用，书脊也丝毫没有松动的迹象，这体现了出版商对于学术著作的尊重和投入，让人感觉这本书是值得珍藏的长期伴侣。

评分☆☆☆☆☆