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☆☆☆☆☆

出版者:; 1 (201161)

作者:[英]Mark Gross

出品人:

页数:239

译者:

出版时间:2011-6

价格:29.00元

装帧:Paperback

isbn号码:9787510035128

丛书系列:Universitext

图书标签:

数学
卡拉比–丘流形
几何
物理&数学
math
geometry
微分几何7
Univertext
卡拉比-丘流形
微分几何
复几何
弦论
代数几何
卡拉比-丘空间
几何拓扑
高维几何
镜像对称
李群

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具体描述

《卡拉比–丘流形和相关几何》是由2001年夏天norway，nordfjordeid讲述辛几何的讲义扩展而成。突出讲述calabi-yau是本书的最大特点。第一部分讲述完整群和已校准子流形，强调特殊拉格朗日算符子流形和syz猜想；第二部分运用代数几何讲述calabi-yau流形和镜子对称。最后一部分讲述紧hyperkahler流形，它具有的几何结果和calabi-yau流形有很大的关系。各部分之间过渡自然，衔接紧密紧密，是一部很好的教程。目次：黎曼完整群和已校准的几何；calabi-yau流形和镜子对称；紧hyperk?hler流形。

读者对象：数学专业的高年级本科生，研究生和科研人员。

纯粹数学前沿探索：黎曼几何与拓扑学交汇的璀璨星河本书旨在为高等数学、理论物理学，特别是几何学和拓扑学领域的研究者与资深学生，呈现一套涵盖多方面深刻且前沿的数学结构与理论体系。我们将目光投向那些定义空间本质、揭示对称性奥秘的核心概念，构建一座连接经典微分几何、代数拓扑以及现代数学物理的桥梁。全书的核心结构建立在对黎曼几何的严谨阐述之上，并辅以必要的微分拓扑基础，以支撑后续对更复杂结构的分析。我们首先从基础的光滑流形概念出发，详细讨论了切空间、张量代数以及光滑函数在流形上的结构化处理。这部分内容不仅仅是概念的罗列，更着重于建立在经典向量微积分和线性代数基础上的“几何直觉”的提升，为读者理解非欧几何的复杂性打下坚实的基础。深入黎曼几何的殿堂，我们将重点剖析黎曼度量的定义及其对距离、角度和体积的决定性影响。书中将花费大量篇幅讨论联络的概念，区分仿射联络与协变导数，特别是列维-奇维塔联络的唯一性及其在度量结构下的重要性。通过对黎曼曲率张量的深入分析，本书详细探讨了曲率如何编码空间局部的几何特性。我们不仅会计算二维曲面上的高斯曲率，更会推广到更高维度的截面曲率和里奇曲率，并阐释这些不变量在描述空间弯曲程度上的关键作用。为连接纯粹几何与代数结构，本书精心设计了关于测地线的章节。测地线被视为流形上“最短路径”的推广，我们将使用变分法和欧拉-拉格朗日方程推导出测地线方程，并讨论其完备性问题。测地线的动力学行为与曲率的内在关系是理解空间测地流的关键，我们对此进行了详尽的数学建模和物理直观的结合阐述。在黎曼几何的框架下，我们不可避免地要触及拓扑学的语言。本书引入了向量场和微分形式，构建了德拉姆上同调理论的完整框架。从一形式的积分到 $n$ 形式的体积元，再到德拉姆定理，我们展示了如何利用微分工具来计算流形的拓扑不变量，例如贝蒂数。这种“几何与代数的融合”是理解现代几何物理的基石，读者将看到曲率（几何量）如何通过积分（拓扑不变量）体现出来。鉴于本书的前沿定位，我们将探讨一些现代几何研究中的核心主题： 1. 对称性与 Killing 向量场：深入分析流形上的等距变换群，即等距群。通过研究 Killing 向量场的代数结构，我们可以揭示具有高度对称性的空间（如球体、双曲空间）的内在美学和约束条件。这部分内容与李群理论紧密相连，为理解规范场论中的对称性原理提供了几何基础。 2. 辛几何（Symplectic Geometry）：作为经典力学和量子场论的数学骨架，辛几何在本篇有专门的介绍。我们定义了辛流形、辛形式，并探讨了泊松结构与李宁德曼括号之间的深刻联系。辛流形在相空间理论中的应用，以及它们与可积系统（Integrable Systems）之间的关系，将被详细阐述。 3. 霍奇理论与调和微分形式：在一个紧致的、具有黎曼度量的流形上，霍奇分解定理将上同调群分解为代数部分和几何（微分）部分。我们详细讨论了拉普拉斯算子在微分形式上的作用，引入了霍奇星算子，并阐明了霍奇定理在简化高维拓扑计算中的强大威力。本书的叙述风格力求严谨、精确，同时注重概念的几何直观性。大量的定理、引理和命题均附有详细的证明，旨在培养读者独立进行几何推理的能力。内容组织上，难度循序渐进，从欧氏空间的度量推广，逐步过渡到曲率张量的复杂计算，最终导向高维拓扑与代数结构的交汇点。本书不仅是研读黎曼几何的教材，更是一份深入探究现代数学物理核心结构的方法论指南。它将引导读者超越平面和曲面的直觉，进入一个由张量、联络和上同调共同编织而成的、充满挑战与无限美妙的几何世界。

作者简介

目录信息

preface
part i. riemannian holonomy groups and calibrated geometry
dominic joyce
1 introduction
2 introduction to holonomy groups
3 berger's classification of holonomy groups
4 kahler geometry and holonomy
5 the calabi conjecture
6 the exceptional holonomy groups
7 introduction to calibrated geometry
8 calibrated submanifolds in rn
9 constructions of sl m-folds in ctm
10 compact calibrated submanifolds
11 singularities of special lagrangian m-folds
12 the syz conjecture, and sl fibrations
part ii. calabi-yau manifolds and mirror symmetry
mark gross
13 introduction
14 the classical geometry of calabi-yau manifolds
.15 kahler moduli and gromov-witten invariants
16 variation and degeneration of hodge structures
17 a mirror conjecture
18 mirror symmetry in practice
19 the strominger-yau-zaslow approach to mirror symmetry
part iii. compact hyperkaihler manifolds
daniel huybrechts
20 introduction
21 holomorphic symplectlc manifolds
22 deformations of complex structures
23 the beauville-bogomolov form
24 cohomology of compact hyperkahler manifolds
25 twistor space and moduli space
26 projectivity of hyperkahler manifolds
27 birational hyperkahler manifolds
28 the (birational) kahler cone
references
index
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

老实说，这本书的深度是令人敬畏的，但更让我印象深刻的是它在处理历史脉络和前沿进展时的平衡把握。它没有沉溺于历史的细节，也没有一味地追逐最新的研究热点，而是将两者有机地融合在一个连贯的叙事中。你能清晰地看到，某些看似全新的理论，是如何在前辈们艰辛的探索中逐步成型的。这种对知识生成过程的尊重和展现，极大地增强了阅读的厚重感。特别是对于那些涉及多变量微积分和微分几何基础的铺垫，处理得既扎实又不拖沓，为后续的深入探讨打下了坚实的地基。对于希望构建完整知识体系的读者而言，这本书提供了一个极其可靠的路线图，让你知道从何处发力，又将抵达何方。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，对于我这种习惯了传统教科书的读者来说，算得上是一次颠覆性的体验。它的叙述方式更像是一位经验丰富的导师在进行一对一的深度交流，而非冷冰冰的知识灌输。作者的语言富有张力，总能在关键时刻抛出一个精妙的比喻，将原本抽象的代数结构与直观的几何图像紧密联系起来。例如，在讨论某些特定的对称群性质时，他引入了一个我从未想过的类比，瞬间点亮了我对该概念的理解。这不仅仅是一本知识的集合，更像是一份思维训练手册，它迫使你跳出固有的框架去思考问题。我尤其欣赏其在章节之间的过渡处理，衔接得自然流畅，仿佛每一步的推进都是逻辑链上不可或缺的一环，让人几乎无法停下来，只想一口气读完所有内容。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和插图设计，也值得大书特书一番。在如此高密度的数学内容中，清晰的图示往往是区分“能读懂”和“真正理解”的关键。这里的插图绝非点缀，而是核心论证的一部分，它们准确地揭示了空间中的形态关系，许多复杂的截面和投影被描绘得赏心悦目，让人一眼就能抓住问题的几何本质。这种对视觉辅助工具的重视，体现了作者深知读者在处理高维空间想象时所面临的挑战。每一次看到一个精美的图表，都像是为我的理解打上了一个坚实的锚点，避免了思维在纯符号运算中迷失方向。这是一本真正为学习者着想的书籍，每一个细节都流露出匠心。

评分☆☆☆☆☆

我花了很长时间才找到一本能够同时满足我对数学严谨性要求，又能在阅读过程中保持足够趣味性的著作，而这本恰恰做到了。它对某一类代数结构的研究，深入到了令人发指的程度，但作者总能在最关键的时刻，用一种近乎诗意的语言来总结和提炼核心思想，避免了陷入纯粹的技术细节泥潭。这种将严谨的逻辑美与抽象的哲学思考相结合的文风，让阅读过程充满了智力上的挑战和享受。我感觉自己不仅仅是在学习一套数学工具，更是在参与一场关于空间、对称性和本质结构的深刻对话。这本书无疑是该领域内值得反复研读的经典之作，其价值会随着时间的推移而愈发凸显。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是数学爱好者的一座灯塔，它的内容编排犹如一次精密的星际导航，带领读者穿梭于抽象概念的迷宫。我得说，作者在阐述那些极其深奥的拓扑学和代数几何概念时，展现出一种近乎魔术般的洞察力。他没有用那些让人望而生畏的术语堆砌出冰冷的知识墙，反而巧妙地将复杂的结构可视化，仿佛在沙盘上搭建精美的几何模型。特别是关于黎曼曲面的部分，讲解得丝丝入扣，每一个转折、每一个奇异点，都被赋予了清晰的几何直觉。读完这一章，我感觉自己不再是那个在公式海洋里挣扎的初学者，而是真正触摸到了高维空间脉络的探索者。那种豁然开朗的感觉，是只有真正理解了深层结构才能体会到的愉悦。这本书的严谨性毋庸置疑，但更难能可贵的是它在严谨外衣下包裹着的、对数学美学的执着追求。

评分☆☆☆☆☆

这本书的SYZ mirror symmetry是up to topology的，实际上是介绍Gross自己的重要工作：topological mirror symmetry。现在symplectic side的几何构造已经比较清楚了。

评分☆☆☆☆☆

这本书的SYZ mirror symmetry是up to topology的，实际上是介绍Gross自己的重要工作：topological mirror symmetry。现在symplectic side的几何构造已经比较清楚了。

评分☆☆☆☆☆

有关于卡拉比猜想的证明

评分☆☆☆☆☆

有关于卡拉比猜想的证明

评分☆☆☆☆☆

这本书的SYZ mirror symmetry是up to topology的，实际上是介绍Gross自己的重要工作：topological mirror symmetry。现在symplectic side的几何构造已经比较清楚了。