Linear Geometry (Applications of Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:K. W. Gruenberg

出品人:

页数:212 pages

译者:

出版时间:February 22, 2009

价格:$34.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387902272

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 数学
• 几何
• 线性
• 教材
• 微分几何7
• 代数
• math
• Linear Geometry
• Applications of Mathematics
• Mathematics
• Geometry
• Algebra
• Vector Spaces
• Transformations
• Euclidean Space
• Coordinate Geometry
• Computational Geometry

《线性代数：从基础到高级应用》 本书特色： 本书旨在为读者提供一个全面、深入且极具实用性的线性代数学习体验。我们不仅涵盖了从初级概念到高级理论的每一个核心知识点，更着重于展示这些理论在现代科学、工程和数据科学中的实际应用。本书的结构经过精心设计，旨在培养读者的直觉理解、严谨的证明能力以及解决复杂问题的计算技能。 第一部分：基础奠基——向量空间与线性变换 第一章：向量与域 本章从最基本的概念出发，详细介绍了向量的概念及其在 $mathbb{R}^n$ 和 $mathbb{C}^n$ 中的几何直观。我们探讨了向量加法和标量乘法的封闭性，引入了域（Field）的概念，并着重分析了实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 在线性代数中的核心作用。关键的子部分包括：向量的线性组合、张成（Span）的概念，以及如何使用坐标系来表示向量。本章强调了抽象向量空间与具体向量空间之间的联系，为后续的抽象化学习打下坚实的基础。 第二章：子空间、基与维数 本章是理解线性代数结构的关键。我们严格定义了子空间（Subspace），并深入分析了四种基本子空间：列空间（Column Space）、零空间（Null Space）、行空间（Row Space）和左零空间（Left Null Space）。重点在于如何利用行简化阶梯形（Reduced Row Echelon Form, RREF）来确定这些子空间的基（Basis）和维数（Dimension）。我们详细阐述了基的两个关键特性——线性无关性和张成性，并探讨了如何进行基的转换。 第三章：线性变换与矩阵表示 线性变换（Linear Transformation）是连接不同向量空间的核心桥梁。本章将线性变换的抽象概念具体化为矩阵。我们详细讨论了线性变换的性质，如核（Kernel，即零空间）和像（Range，即列空间）。至关重要的是，本章展示了如何为任意向量空间之间的线性变换构造一个特定的矩阵表示，并讨论了这种表示如何依赖于所选的基。我们深入分析了矩阵乘法的几何意义，即复合变换。 第四章：行列式——几何意义与代数计算 行列式（Determinant）是衡量线性变换对面积或体积如何缩放的一个重要量度。本章首先从代数上定义行列式，并展示了如何使用代数性质（如交错性、多重线性性）来计算 $n imes n$ 矩阵的行列式。随后，我们转向几何解释，展示行列式如何代表由基向量张成的平行多面体的“带符号体积”。本章的最后部分将行列式与矩阵的可逆性（Invertibility）紧密联系起来。 第二部分：核心计算技术——正交性与特征值 第五章：正交性与最小二乘法 本章探讨了向量空间中的“距离”和“角度”概念，即内积（Inner Product）。我们定义了内积空间，并基于内积定义了正交性（Orthogonality）和范数（Norm）。格拉姆-施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process）被详细讲解，用于构建任何有限维向量空间的一组正交基。这一基础直接引出了在线性回归和数据拟合中至关重要的最小二乘法（Least Squares Method），展示了如何求解超定方程组。 第六章：对称矩阵与正交对角化 对称矩阵在应用中具有特殊的重要性。本章的核心在于谱定理（Spectral Theorem），它指出实对称矩阵总是可以被正交对角化。我们详细阐述了对角化的过程，即找到一组正交的特征向量作为新基。这极大地简化了矩阵的幂次计算，并在二次型（Quadratic Forms）的分析中发挥核心作用，为优化问题和主成分分析（PCA）奠定基础。 第七章：特征值与特征向量 特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）揭示了线性变换作用下保持方向不变的特定向量。本章首先介绍如何通过求解特征方程来计算它们，并讨论了代数重数与几何重数的概念。我们深入探讨了相似变换（Similarity Transformation）对特征值的影响，并处理了非对称矩阵的对角化问题，包括若尔当标准型（Jordan Normal Form）在不可对角化情况下的重要性。 第三部分：进阶主题与应用 第八章：矩阵分解技术 本章聚焦于将复杂的矩阵分解为结构更简单、性质更优越的矩阵乘积。我们详尽分析了以下关键分解：LU 分解（用于高效求解线性方程组）、QR 分解（在数值计算和最小二乘法中至关重要）以及奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）。SVD 作为最强大的分解工具，将被详细介绍其在数据压缩、降噪和推荐系统中的应用。 第九章：应用：微分方程与动力系统 线性代数在处理微分方程组时展现出强大的威力。本章展示如何利用特征值和特征向量来求解具有常数系数的线性微分方程组，特别是对于稳定性和长期行为的分析。我们引入了离散时间动力系统，并使用迭代矩阵分析其收敛性，这对于理解反馈控制系统至关重要。 第十章：应用：概率与马尔可夫链 本章探讨线性代数在概率论中的应用。我们重点讨论了随机矩阵（Stochastic Matrices）及其特征值结构，特别是与马尔可夫链（Markov Chains）相关的稳态分布（Steady-State Distribution）。通过分析转移矩阵的特征向量，读者可以理解系统在长时间运行后的长期概率分布，这广泛应用于网络排名算法（如 PageRank 的基础思想）和状态转移分析中。 对读者的期望： 本书假设读者具备微积分的基础知识。我们鼓励读者不仅要掌握计算技巧，更要培养对抽象概念的深刻洞察力。每一章都配有大量的习题，从基础验证到复杂的理论证明和应用建模，旨在确保读者能够真正驾驭线性代数的强大工具。本书是为工程、物理、计算机科学、统计学及经济学等需要坚实数学基础的专业人士和高年级本科生量身定制的教材。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事节奏处理得相当高明，它不像某些教材那样，在开篇就用大量的篇幅夯实基础，而是采取了一种“先见森林，后识树木”的策略。对于已经有一定数学背景的读者来说，这种处理方式无疑是高效且令人兴奋的。作者的语言风格带着一种老派数学家的严谨和精确，但又不失现代数学的灵活性。阅读过程中，我明显感觉到作者对内容的选择是经过精心筛选的，避免了不必要的冗余和重复，所有章节的衔接都显得水到渠成。例如，在讲解行列式时，它不是孤立地给出计算法则，而是将其置于线性映射体积或方向变化的背景下进行解释，这种“为什么是这样”的深度探讨，远比“如何计算”来得更有价值。尽管如此，对于完全的新手来说，或许会因为跳跃性略大而需要额外的辅助材料来弥补基础概念的缺失。但对于追求效率和深度理解的进阶学习者而言，这无疑是一本不可多得的良师益友，它训练的不仅是计算能力，更是对数学结构之间联系的洞察力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和印刷质量也值得一提，清晰的字体和恰到好处的行距，使得长时间的阅读也不会感到视觉疲劳。更重要的是，图表的绘制质量非常高，那些描述高维空间投影和变换的插图，简洁明了，极大地辅助了空间想象力的构建。相较于市面上许多充斥着密密麻麻文字的教材，这本书在视觉上传达信息的方式更加高效和人性化。我感觉作者在编写时，充分考虑了读者的认知负荷，力求在信息密度和可读性之间找到最佳平衡点。它不仅仅是一本学习资料，更像是一本可以反复翻阅的参考手册，即便在完成学习后，回顾特定章节时，依然能从中汲取新的理解。对我来说，这本书已经超越了“教科书”的范畴，更像是一部关于线性结构美学的深度探索之作，其价值将伴随我的整个学术生涯。

评分☆☆☆☆☆

从一个侧重于应用层面的学习者的角度来看，这本书的优势在于其对“模型”构建的重视程度。它清楚地阐明了，线性代数不是一套孤立的数学分支，而是连接现实世界问题与抽象数学工具的桥梁。书中对最小二乘法在回归分析中的应用讲解得尤为细致，它不仅给出了求解公式，更深入剖析了为什么在数据存在噪声时，最小二乘法是“最优”的近似解，这涉及到了误差向量空间的投影理论，处理得非常到位。唯一让我感到略微遗憾的是，在涉及大规模稀疏矩阵的优化算法方面，篇幅相对较少，更多地聚焦于理论推导而非高性能计算的实际考量。但这或许是这本书的定位所决定的——它更偏向于数学基础和理论框架的构建，而非具体的工程实现细节。尽管如此，它所奠定的坚实理论基础，是任何想深入研究计算科学或工程领域的人都必须跨越的里程碑。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《线性几何（数学应用）》时，我首先被它封面的设计吸引了，那种简约而不失深度的感觉，似乎预示着即将展开的数学旅程不会是枯燥的公式堆砌。然而，当我真正翻开书页，深入阅读其中的内容时，我发现它远比我想象的要更为广阔和深入。这本书并没有过多纠缠于那些基础概念的冗长定义，而是直奔主题，将线性代数的核心思想——向量空间、线性变换以及矩阵理论——以一种非常直观且富有洞察力的方式呈现出来。特别值得称赞的是，作者在引入抽象概念时，总是能巧妙地结合实际的几何直觉，比如通过三维空间中的旋转和平移来解释特征值和特征向量的物理意义。这使得原本可能令人望而生畏的数学结构变得触手可及。我尤其欣赏它对应用层面的强调，书中的每一个理论推导后，几乎都能找到一个清晰的现实世界案例作为支撑，从计算机图形学中的变换矩阵到数据科学中的主成分分析（PCA），都得到了详尽的解析，这极大地激发了我将理论知识付诸实践的动力。总而言之，这本书提供了一种全新的视角去看待线性代数，它不是一本工具书，更像是一份邀请函，邀请读者去探索更高维度的思维空间。

评分☆☆☆☆☆

我花了大量时间研究了书中关于“矩阵分解”那一部分，深感作者在知识体系的组织上有着非凡的功力。它不仅仅是将SVD、LU分解等技术堆砌起来，而是将这些分解视为解决不同类型线性系统问题的“手术刀”。书中对每种分解的几何意义和计算复杂度的讨论都非常到位，这使得读者能够根据实际需求选择最合适的工具，而不是盲目套用公式。特别是作者在证明过程中所展现的清晰逻辑链条，简直可以作为范例来学习如何构造严密的数学论证。我特别留意到，作者在讲解正交性时，并没有止步于欧几里得空间，而是将其推广到了更抽象的内积空间，这极大地拓宽了我对“距离”和“角度”的理解。这种由浅入深、由具体到抽象的递进，充分体现了编写者对这门学科的深刻理解和教学艺术。这本书的价值在于，它教会你如何像数学家一样思考，而不是仅仅记住结论。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆