射影几何 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:方德植

出品人:

页数:318

译者:

出版时间:1983

价格:1.60

装帧:

isbn号码:9781124103204

丛书系列:

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几何学的迷宫：一部跨越维度的探索之旅 图书简介 本书并非聚焦于欧几里得空间内对直观图形的严谨描述，也避开了传统教材中对初等几何定理的反复论证。相反，我们踏入了一个更为广袤、更具抽象美感的数学领域——非欧几何与拓扑学的边界地带。 《几何学的迷宫》旨在引导读者走出习惯的平面和三维直观思维的桎梏，深入探索那些颠覆我们对“直线”、“平行”乃至“距离”概念认知的数学结构。全书围绕“形变与不变量”的核心思想展开，通过对特定几何系统的剖析，揭示了宇宙形态在不同观测尺度下的内在逻辑。 第一部分：空间形态的重塑——非欧几何的哲学根基 本卷首先从历史的视角切入，探讨了在数个世纪以来被奉为圭臬的欧几里得第五公设（平行公设）是如何被成功地动摇的。我们详细考察了罗巴切夫斯基（双曲）几何和黎曼（椭圆）几何的构建过程。 在双曲几何部分，我们将深入研究庞加莱圆盘模型和克莱因半平面模型。这些模型并非简单的图形描绘，而是对一个内在曲率恒为负的空间的精确“嵌入”。读者将看到，在一个曲率恒为负的空间中，过直线外一点可以引出无数条不与已知直线相交的直线（或测地线）。我们将详细推导双曲三角学中的余弦定理，展示其与欧氏三角学截然不同的形式，并探讨双曲空间中“角盈亏”的现象，理解为什么三角形内角和总是小于180度。 接着，我们将转向黎曼几何——一个曲率恒为正的空间模型，即球面几何的推广。在这里，我们探究了测地线如何表现为“大圆”，以及任何两条测地线（在适当的延伸下）最终必然相交这一事实。球面几何中的三角形内角和总是大于180度，这不仅是航海和天文计算的基础，更是理解广义相对论中时空弯曲特性的重要前奏。本部分的核心在于，引导读者理解“平坦”并非空间的唯一状态，弯曲的内在几何结构才是决定其基本性质的关键。 第二部分：从测量到拓扑——形态的持久性 抛弃了对精确长度和角度的依赖，本部分将焦点转向拓扑学。拓扑学，常被称为“橡皮泥几何学”，关注的是在连续形变下保持不变的属性。 我们将详细分析同胚（Homeomorphism）的概念，它是拓扑学中最核心的等价关系。通过大量的实例，如区分圆环面（甜甜圈形状）与球面（篮球形状）的不同，我们确立了亏格（Genus）这一重要的拓扑不变量。读者将学习到如何通过计算“洞的数量”来区分本质上不同的几何体，即使它们可以被连续拉伸、扭曲到面目全非。 专题讨论中，我们将引入欧拉示性数（Euler Characteristic） $chi = V - E + F$ 在多面体分类中的应用。虽然欧拉示性数源自对凸多面体的观察，但它具有深刻的拓扑意义，特别是与曲面的分类理论紧密相关。我们还将探讨单连通性的概念，并引入基本群（Fundamental Group），用代数工具来精确描述一个空间中“环路”的缠绕方式。例如，一根绳子如何在球面（可以解开）和环面上（会缠绕）进行环绕，正是基本群差异的直观体现。 第三部分：射影变换的视角与对偶性 本部分深入探讨了射影几何的精髓——它关注的是透视和交比（Cross-Ratio）的不变性。不同于前两部分的内在曲率和连续形变，射影几何研究的是在中心投影下保持不变的性质。 我们详细分析了射影平面的构造，理解“无穷远点”和“无穷远线”是如何被系统地纳入几何结构中，从而消除了“平行线”这一特殊情况。通过研究射影变换（Projective Transformation），我们将看到如何将直线映为直线，但角度和距离则可能被任意改变。 核心概念之一是对偶性原理。在射影几何中，点和线的作用可以互换，一个关于点的定理可以通过互换“点”和“线”的描述而立即得到一个对应的关于线的定理。我们将用庞加莱的“对偶原理”来展示这种深刻的对称性。著名的帕普斯定理和笛沙格定理将被放在射影不变性的框架下重新审视，揭示它们超越了欧氏度量限制的本质。 结语：通往更深层次的结构 本书的最终目的，是为读者搭建一座从直观几何通往现代微分几何和代数拓扑的桥梁。我们探索的非欧空间、拓扑不变量和射影结构，是理解广义相对论、微分流形理论以及计算机图形学中变换理论的基石。它告诉我们，几何学的力量不在于精确测量，而在于发现隐藏在表象之下的、能够在各种形变下保持稳定的深层结构。本书需要读者具备扎实的代数基础和对抽象概念的强烈兴趣，它将是一次智力上的深刻冒险。

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这本书的装帧设计着实令人眼前一亮，那种沉甸甸的纸质感和内页的排版布局，透着一股古典与严谨并存的学究气。初次翻阅，感觉自己像是走进了一座古老的图书馆，空气中弥漫着纸张特有的微弱霉香。书中的插图，特别是那些繁复的几何图形和投影关系，线条极为清晰，即便是初学者也能从这些图示中窥见一丝秩序的美感。作者在引入概念时，总是不急不缓，像是耐心地领着你穿过一条幽深的隧道，每一步都有明确的指引。我特别欣赏它在基础公理体系构建上的扎实，没有急于跳跃到那些令人望而生畏的复杂定理，而是先确保读者对“点”、“线”、“面”在投影变换下的不变性有了深刻的理解。阅读过程本身就是一种智力上的享受，它要求你调动空间想象力，去感受那些在三维空间中看似分离的元素，如何在投影变换的魔力下，奇妙地联系起来。这种体验，远非那些轻飘飘的入门读物所能比拟的。

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从实战应用的角度来看，这本书的侧重点明显偏向于理论的严谨性而非工程上的即时效用。如果你期望找到关于计算机图形学中矩阵变换的快速参考手册，这本书可能会让你失望。它更像是一本为纯粹的数学家准备的哲学论著，关注的是结构、不变性和从不同视角看待世界的可能性。书中对“无穷远点”和“无穷远线”的讨论，远比教科书上简单提及要深刻得多，它探讨了这些概念如何统一了平行线和相交线的关系。我尤其喜欢作者在论证中穿插的那些哲学思辨，比如关于“绝对真理”在不同几何体系中的相对性。这使得阅读过程充满了思辨的乐趣，让人在解开数学难题的同时，也在反思我们如何看待视觉和空间本身。

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这本书的阅读体验，对于长期脱离纯数学环境的人来说，无疑是一次重塑思维模型的洗礼。它强迫你忘记那些根深蒂固的欧氏直觉，去接受一种全新的、更具包容性的空间观。例如，书中对“交比”（Cross-Ratio）的细致阐述，不仅仅是公式的堆砌，而是深入挖掘了它作为投影不变量的本质。作者通过大量的例子和思想实验，展示了交比如何像一个“尺子”，即使经过任意的透视投影，其数值依然保持不变，这简直是数学中的魔术。每完成一个小节的学习，都会有一种“豁然开朗”的成就感，感觉自己的思维边界被轻轻地推开了一点。它不是一本容易消化的读物，但它所提供的智力回报，是其他任何同类书籍都难以比拟的深度和广度。

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坦白说，这本书的章节安排显得有些“固执”。它似乎完全没有迎合当代读者对“碎片化学习”的偏好，而是坚持按照历史发展的脉络来组织内容。第一部分花费了大量的篇幅来回顾欧氏几何的局限性，并铺陈了透视学的早期发展，这对于只想快速掌握现代射影理论的人来说，可能会显得有些拖沓。但我后来意识到，这种“固执”恰恰是它的价值所在。通过理解“为什么”需要射影几何，我们才能真正理解它解决了什么根本问题。作者没有将理论当作凭空出现的真理，而是将其置于一个历史和问题的背景之下。这种叙事手法，让原本抽象的数学结构拥有了“生命力”和“目的性”。读完这部分，你会觉得你不是在学习一套新的规则，而是在见证一场伟大的数学革命是如何发生的。

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这本书的语言风格，初看之下，略显晦涩，充满了严密的逻辑推导和德法数学家留下的经典术语，这无疑给门槛设置得很高。我用了好几天时间才适应这种略带“古风”的数学叙述方式，它不像现代教材那样力求通俗易懂，而是更倾向于保持原始理论的纯粹性与精确性。然而，一旦你攻克了最初的理解障碍，你会发现其内在的逻辑链条是多么的精妙和无懈可击。每一次定理的证明，都像是在拼凑一幅复杂的机械装置图，每一个齿轮的咬合都恰到好处，没有一丝冗余。尤其是关于对偶原理的论述部分，作者的处理方式极其巧妙，将原本可能令人困惑的双向关系，阐释得犹如镜面反射般自然。对于那些真正想深入探究几何学根基的读者来说，这本书无疑是一座需要攀登的险峰，但山顶的风景绝对值得。

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前两章引入从变换群的概念看几何研究的对象还是写得不错的。但是射影坐标的建立似乎没讲好。想去看一般维数射影空间上坐标的建立，可是P244，变换矩阵(a_ij)的定义呢??以后想看补充知识里面的代数曲线曲面的部分

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前两章引入从变换群的概念看几何研究的对象还是写得不错的。但是射影坐标的建立似乎没讲好。想去看一般维数射影空间上坐标的建立，可是P244，变换矩阵(a_ij)的定义呢??以后想看补充知识里面的代数曲线曲面的部分

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前两章引入从变换群的概念看几何研究的对象还是写得不错的。但是射影坐标的建立似乎没讲好。想去看一般维数射影空间上坐标的建立，可是P244，变换矩阵(a_ij)的定义呢??以后想看补充知识里面的代数曲线曲面的部分

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代数几何的萌芽，同时也是线性代数中对偶含义的标准，第三还是克莱因纲领的一个基础射影几何变换群统一了仿射和度量几何，点和线的对合变换就是对偶：非退化对射变换是配极的条件是系数矩阵是对称的，而配极在线性代数的二次型中使用非常广泛；二次曲线（点坐标）和二阶曲线（线坐标）是射影平面的对偶图形；两个直线束的交点轨迹是二次曲线；五点决定一条二次曲线 则一条二次曲线上六点关联--这条定理就规定了复分析中三个点就决定曲面性质的定理

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代数几何的萌芽，同时也是线性代数中对偶含义的标准，第三还是克莱因纲领的一个基础射影几何变换群统一了仿射和度量几何，点和线的对合变换就是对偶：非退化对射变换是配极的条件是系数矩阵是对称的，而配极在线性代数的二次型中使用非常广泛；二次曲线（点坐标）和二阶曲线（线坐标）是射影平面的对偶图形；两个直线束的交点轨迹是二次曲线；五点决定一条二次曲线 则一条二次曲线上六点关联--这条定理就规定了复分析中三个点就决定曲面性质的定理