Visualizing Quaternions (The Morgan Kaufmann Series in Interactive 3D Technology) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Morgan Kaufmann

作者:Andrew J. Hanson

出品人:

页数:600

译者:

出版时间:2005-12-29

价格:USD 78.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780120884001

丛书系列:

图书标签:

• 四元数
• 计算机图形学
• 数学
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• 几何
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• 计算机科学
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《动态几何的无限疆域：从黎曼空间到拓扑变换》 聚焦于几何学在现代科学与工程中的前沿应用与理论深度 本书深入探讨了在传统欧几里得几何框架之外，那些支撑现代物理学、计算机图形学、数据科学以及高级工程分析的复杂几何结构和动态系统。它摒弃了对单一、静态空间模型的依赖，转而聚焦于那些依赖于微分结构、曲率信息和内在拓扑属性来定义和描述的数学实体。 全书分为五个紧密关联的部分，构建了一个从基础理论到尖端应用的知识体系。 第一部分：微分几何基础与黎曼流形探秘 本部分是理解高维非线性空间的基石。我们首先回顾经典微分几何的要义，但迅速过渡到现代流形理论的核心概念。 1. 坐标无关的语言：张量分析与外微分 详细阐述了协变与反变张量的区别，它们如何允许我们在任何坐标系下表达物理定律。重点解析了李群与李代数在描述连续对称性中的作用，并通过外微分形式（wedge products）系统地构建了微分形式理论。这不仅仅是形式上的操作，更是理解向量场、通量和旋度的现代语言。我们将探讨外导数、德拉姆上同调的初步概念，展示它们如何在不依赖度量张量的情况下揭示空间的内在拓扑信息。 2. 度量、测地线与曲率：黎曼几何的灵魂 本章详尽讨论了黎曼度量张量 ($mathbf{g}$) 如何赋予流形长度和角度的概念，从而定义了“距离”。我们推导了克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）的必要性，并深入研究了测地线的变分原理——即两点间“最短”路径的严格定义。 核心内容集中在曲率的表达上：里奇曲率张量（Ricci Curvature Tensor）和里曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。我们分析了二维（高斯曲率）、三维和四维空间中曲率的几何意义，并讨论了爱因斯坦场方程（不涉及广义相对论的具体物理应用，而仅作为曲率驱动时空动态的数学模型）中里奇张量扮演的关键角色。重点案例研究将包括二维球面和双曲面的内在几何性质分析。 第二部分：拓扑学在几何系统中的体现 几何学的本质在于空间如何“连接”和“变形”。本部分将拓扑学的刚性概念引入到可微流形的分析中。 3. 连续形变与同胚：拓扑不变量 本章从直观的拓扑概念出发——拉伸、挤压而不撕裂——引向严格的数学定义。我们介绍同胚（Homeomorphism）和同伦（Homotopy）的概念。随后，我们深入讲解了拓扑不变量，特别是欧拉示性数（Euler Characteristic）。我们将展示如何利用拓扑方法来判断一个流形是否可以嵌入到特定维度的空间中，以及如何通过计算其同调群来区分本质上不同的空间结构，例如环面与球面。 4. 纤维丛与联络：结构化的几何 现代几何分析往往需要在流形上“携带”额外的结构信息。纤维丛理论提供了一个框架来系统地处理这些结构。我们定义了基础空间、纤维和投影映射，构建了向量丛和主丛。 本章的重点在于“联络”（Connection）。联络定义了如何在相邻的纤维间进行有意义的比较和移动。我们将推导切线丛上的联络形式，并详细解释平行移动（Parallel Transport）的概念。这为理解如何在外曲率空间中定义向量导数奠定了数学基础，是现代规范场理论和深入理解微分几何的关键桥梁。 第三部分：复杂流形与非交换几何的序曲 突破实数空间的限制，探索更具挑战性的数学环境。 5. Kähler 几何与辛几何：结构化的复数空间 本部分引入了复数结构到微分流形上。Kähler 流形是那些同时拥有黎曼度量、复结构和可积的辛结构的流形，它们在代数几何和理论物理中至关重要。我们定义了斜对称的辛形式 ($omega$)，并展示了如何利用它来构造李克扣子（Lie Brackets）和定义相空间（Phase Space）。 我们将分析辛流形上的泊松括号（Poisson Bracket）如何从辛结构中自然导出，并讨论这种结构在描述保守系统动力学时的优越性。 6. 边界值问题与形变空间 本章关注于几何对象如何在约束条件下存在和演化。我们讨论了狄利克雷和诺伊曼边界条件的数学基础，以及它们在椭圆型偏微分方程中的应用。 此外，我们引入了莫尔斯理论（Morse Theory），它将流形的拓扑结构与其上的标量函数（能量函数）的极小值点联系起来。通过分析函数的临界点和海森矩阵的性质，我们可以非侵入性地推导出流形的同调群信息。 第四部分：动态系统的几何视角 本部分将几何理论应用于时间演化的系统，侧重于相空间分析和稳定性理论。 7. 流与常微分方程的几何集成 将常微分方程（ODE）视为相空间上的向量场 $mathbf{X}$。我们定义了李导数（Lie Derivative） $mathcal{L}_{mathbf{X}}$，用以衡量一个向量场如何改变流形上的几何对象（如度量或微分形式）。 重点分析了流对度量、体积形式和微分形式的影响。在保守系统中，体积形式通常是不变的（刘维尔定理的几何解释）。我们进一步探讨了流在线性化下的稳定性分析，引入了李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）的概念，用以量化动态系统的混沌特性——这是衡量系统对初始条件敏感度的几何量度。 8. 拓扑动力学与吸引子 本章超越了线性稳定性分析，进入非线性动力学的领域。我们考察相空间中特定轨迹集合的几何特性，特别是吸引子（Attractors）。我们分析了奇异吸引子（如洛伦兹吸引子）的几何结构，尽管它们不是标准的流形，但其吸引子的“分形”维度和拓扑结构暗示了底层的复杂几何特性。本节将介绍庞加莱截面法（Poincaré Sections）作为一种从高维动态中提取低维拓扑结构的技术。 第五部分：几何分析在现代计算中的映射 将理论工具转化为可计算的框架。 9. 离散微分几何与网格流形 为了在计算机中处理复杂的几何形状，必须对连续几何进行有效离散化。本部分探讨了如何将在连续流形上定义的几何运算（如拉普拉斯-贝特拉米算子、曲率）映射到离散网格（如三角网格或多面体网格）上。 我们详细分析了离散拉普拉斯算子（如“硬边”或“平均曲率流”算子）的构造，它们如何保持关键的几何不变性（如体积或共形因子）。这部分内容是现代几何处理算法和表面重建技术的核心理论支柱。 10. 几何处理中的优化与变分法 本章将黎曼几何中的变分原理应用于实际的几何优化问题。例如，研究曲面如何演化以最小化其平均曲率（最小曲面问题），或在特定约束下寻找最优的映射。我们探讨了梯度流在黎曼流形上的定义，并将其应用于网格光滑化、网格重构以及计算几何中常见的能量最小化问题。 --- 目标读者： 本书面向具备扎实微积分和线性代数基础的研究生、高级本科生、以及需要深入理解几何基础以支持其在计算机图形学、数据分析、控制理论或理论物理学研究中的工程师和科学家。它旨在提供一个严谨、深入且具有前瞻性的几何学视野。

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这本书的装帧设计和印刷质量绝对是顶级水准，这一点从我拆开包装的那一刻起就深有体会。封面的触感非常细腻，那种哑光处理的质感让人爱不释手，即便是经常翻阅也不会轻易留下指纹。内页的纸张选材也十分考究，厚实且韧性好，即使用荧光笔做了大量标记，也不会出现墨水洇透到下一页的情况，这对于需要反复研读的专业书籍来说至关重要。排版布局的设计同样体现了出版方的专业素养，字体选择清晰易读，字号大小适中，即便是长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。更值得称赞的是，书中的图表和插图部分，色彩还原度极高，线条的精细度也无可挑剔，这无疑为理解复杂概念提供了极大的视觉便利。整体来看，这本书的物理形态本身就是一种享受，它不仅仅是一本知识的载体，更像是一件精心制作的艺术品，让人在阅读之前就已经对内容充满了敬意和期待。

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这本书的实用性远超出了我最初的预期，我原本以为它会偏重于纯粹的理论探讨，但实际内容中，工程实践的影子无处不在。书中关于如何将这些复杂的数学结构有效地映射到现代图形硬件上进行实时渲染的讨论，简直是教科书级别的指导。它没有停留在纸上谈兵，而是直接指向了性能优化和实际应用中的常见陷阱。我尝试着将书中介绍的一种优化技巧应用到我手头的一个小项目中，结果编译速度和内存占用都有了显著的改善，这种即时反馈的成功体验，极大地增强了学习的积极性。这本书真正做到了理论与实践的完美结合，它不仅教会了你“怎么做”，更重要的是教会了你“为什么这样做会更优”，对于从事相关领域研发的人来说，这简直是一本不可或缺的“工具书”和“思想库”。

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这本书的内容深度和广度是令人咋舌的，它显然不是一本面向初学者的入门读物，而是为那些已经具备一定数学基础，渴望在特定领域深耕的专业人士量身打造的“进阶指南”。书中涉及的许多算法和实现细节，都详细到令人发指的地步，几乎每一个步骤都有清晰的推导和注释。我花了整整一个下午来对照书中给出的一个复杂的变换模型进行手动验证，那种“豁然开朗”的感觉，是单纯看别人代码或PPT演示所无法获得的震撼。更妙的是，作者不仅仅局限于理论的陈述，还穿插了大量历史背景和不同学派观点的对比，这使得整个知识体系更加立体和丰满，避免了单一视角带来的偏颇，体现了作者深厚的学术积累和批判性思维。

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我是在一个学术研讨会上偶然接触到这本书的作者的讲座，当时我就被他那种抽丝剥茧、深入浅出的讲解风格深深吸引。这本书继承了作者演讲时那种清晰的逻辑脉络，从最基础的数学定义出发，循序渐进地搭建起复杂的理论框架，完全没有那种晦涩难懂的“天书感”。尤其是在处理那些抽象的数学概念时，作者总能巧妙地引入一些非常生活化或工程上的类比，使得原本高高在上的理论瞬间变得触手可及。我特别欣赏作者在书中对于“为什么”的探讨，而不是仅仅停留在“是什么”的层面，这种对事物本质的追问，极大地提升了阅读的深度和思考的广度。它不是那种填鸭式的教材，更像是一位经验丰富的导师在你身边，耐心地引导你，让你自己去发现和构建知识体系，这种学习体验是其他同类书籍难以比拟的。

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读完这本书后，我感觉自己的思维方式似乎被重塑了一遍，它提供了一种全新的、更具结构性的视角来观察和处理三维空间中的各种问题。书中对于抽象概念进行视觉化表达的尝试，虽然有时需要读者付出额外的努力去跟进，但一旦理解到位，那种洞察力是难以用言语形容的。它迫使我跳出日常习惯的笛卡尔坐标系思维定势，去拥抱一种更加优雅和高效的代数结构来描述旋转和变化。这种思维上的提升，价值远远超过了书本本身的定价。我尤其喜欢作者在每章末尾设置的“挑战性思考题”，它们不是简单的回顾性问题，而是引导读者去探索尚未被完全开发的领域，这种开放式的结尾，为后续的独立研究留下了巨大的想象空间，让这本书的价值得以持续延展，而不是在合上封面时戛然而止。

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好书，适合初学者也适合作为参考,不过蛋疼的是quaternion lives in S3，embedding in R4所以visualize 起来比较痛苦

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这本书内容非常详尽，并且有很多图例，如果你需要非常详细的了解四元数的各个方面的话，适合阅读，如果只是CG领域的话建议建议读这一篇https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf 就够了

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